Mathematik Sekundarstufe II Petra Konitzer-Haars

zwischen Gender und Golf
zwischen Gender Mainstreaming und Golfclub Lohersand

f(1) = 2

Gesamtinhalt der Rechtecke: 1,3984375


Definition des bestimmten Integrals

Es sein nun f eine beliebige Funktion, die in einem Intervall [a; b] definiert ist und in jedem
abgeschlossenem Teilintervall von [a; b] einen kleinsten und einen größten Funktionswert hat.


Das geschlossene Intervall [a; b] wird zerlegt in 2^n gleich lange Teilintervalle.

Länge des Teilintervalls = Δx = (b - a) / 2^n

in jedem Teilintervall größter Funktionswert = Mi
in jedem Teilintervall kleinster Funktionswert = mi
(Ist f eine konstante Funktion, so ist stets mi = Mi.)

Sn =

2^n
 Σ Mi * Δx
i=1                     

sn =

2^n
 Σ mi * Δx
i=1                     

mi * Δx = Flächeninhalt des größten Rechtecks innerhalb der Fläche im Intervall [xi-1; xi]

Mi * Δx = Flächeninhalt des kleinsten Rechtecks außerhalb der Fläche im Intervall [xi-1; xi]

Es sei m der kleinste und M der größte Funktionswert von f in [a; b].

m(b - a) ≤ sn ≤ Sn ≤ M(b - a)

(sn) ist nach oben beschränkt
(Sn) ist nach unten beschränkt


21.11.2009

Seite 235

es existieren

lim sn
n→∞

und

lim Sn
n→∞

Definition bestimmtes Integral
Es sei f eine im Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedem abgeschlossenen Teilintervall von [a; b]
einen kleinsten und einen größten Funktionswert hat. Haben die Folgen (sn) und (Sn) einen gemeinsamen Grenzwert,
so heißt dieser gemeinsame Grenzwert das bestimmte Integral der Funktion f im Intervall [a; b].

lim sn
n→∞

=

lim Sn
n→∞

Das bestimmte Integral einer Funktion f im Intervall [a; b], ist also eine reelle Zahl und zwar der
gemeinsame Grenzwert der Folgen (sn) und (Sn).

Man bezeichnet das bestimmte Integral von f in [a; b] durch:

b
∫ f(x) dx
a

Lies: "Integral f von x-d-x von a bis b.
Das von Leibnitz eingeführte Zeichen "∫" ist ein stilisiertes "S" und soll an die Summenbildung erinnern.

Beispiel 1)

bestimmtes Integral für die Funktion f(x)= x im Intervall [0; b]

Die Funktion f ist stetig und monoton und hat daher in jedem abgeschlossenen Intervall einen kleinsten und einen
größten Funktionswert.


1. Zerlegen des Intervalls

[0; b] in 2^n gleich lange Teilintervalle

Δx = b / 2^n

2^n = k

Δx = b / k


2. Bilden der Summen sn und Sn

[xi-1; xi]

i = 1,2,..., k

Summe sn

mi = f(xi-1) = xi-1 = (i - 1) * Δx = (i - 1) * b/k

sn =

2^n
 Σ mi * Δx
i=1                   

sn =

k
Σ mi * Δx
i=1                   

sn =

k
Σ (i - 1) * b/k * b/k
i=1            

sn =

k
Σ (i - 1) * b²/k²
i=1            

Da alle Summanden von sn den Faktor b²/k² enthalten gilt

                    k
sn = b²/k² * Σ (i - 1).
                   i=1            

k
Σ (i - 1) = ((k - 1) * k) / 2
i=1            

Beispiel:

5
Σ (i - 1) = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = ((k - 1) * k) / 2 = ((5 - 1) * 5) / 2
i=1            

sn = b²/k² * ((k - 1) * k) / 2

sn = b²/k * (k - 1) / 2

sn = b²/2 - b²/2k

sn =  b²/2 * (1 - 1/k)

2^n = k

sn =  b²/2 * (1 - 1/2^n)


Summe Sn

Mi = f(xi) = xi = i * Δx = i * b/k

Sn =

2^n
 Σ Mi * Δx
i=1                   

Sn =

k
Σ Mi * Δx
i=1                   

Sn =

k
Σ i * b/k * b/k
i=1            

Sn =

k
Σ i * b²/k²
i=1            

Da alle Summanden von Sn den Faktor b²/k² enthalten gilt

                    k
Sn = b²/k² * Σ i.
                   i=1            

k
Σ i = (k * (k + 1)) / 2
i=1            

Beispiel:

5
Σ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = (k * (k + 1)) / 2 = (5 * (5 + 1)) / 2
i=1            

Sn = b²/k² * (k * (k + 1)) / 2

Sn = b²/k * (k + 1) / 2

Sn = b²/2 + b²/2k

Sn = b²/2 * (1 + 1/k)

2^n = k

Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)


3. Berechnen des Grenzwertes der Folgen (sn) und (Sn)

sn = b²/2 * (1 - 1/2^n)

lim (1 - 1/2^n) = 1
n→∞

lim sn = b²/2
n→∞


Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)

lim (1 + 1/2^n) = 1
n→∞

lim Sn = b²/2
n→∞

b
∫ f(x) dx = b²/2
0


2) Gegeben sei die Funktion f(x) = x.

a) Skizzieren Sie die Punktmenge unter dem Graph der Funktion im Intervall [0; 5]!

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge mit Hilfe der Inhaltsformel für Dreiecke!

A = (ab)/2

A = 25/2

c) Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Resultat des Beispiels 1!

b
∫ f(x) dx = b²/2 = 25/2
0


Definition
Es sei f eine im Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedem abgeschlossenen Teilintervall von [a; b] einen
kleinsten und einen größten Funktionswert hat. Ferner gelte f(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a; b].
Unter dem Flächeninhalt der Punktmenge, die von dem Graph von f, der x-Achse und den Parallelen zur y-Achse
durch a und b begrenzt wird, versteht man das bestimmte Integral
b
∫ f(x) dx.
a


Aufgaben:

1) Berechnen Sie die im Beispiel 1 angegebenen Summen sn und Sn für n = 0, 1, 2, 3 und 4 falls b = 4 ist!

sn = b²/2 * (1 - 1/2^n)

n = 0

sn = 8 * 0 = 0

n = 1

sn = 8 * 0,5 = 4

n = 2

sn = 8 * 0,75 = 6

n = 3

sn = 8 * 0,875 = 7

n = 4

sn = 8 * 0,9375 = 7,5


Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)

n = 0

Sn = 8 * 2 = 16

n = 1

Sn = 8 * 1,5 = 12

n = 2

Sn = 8 * 1,25 = 10

n = 3

Sn = 8 * 1,125 = 9

n = 4

Sn = 8 * 1,0625 = 8,5


2) Gegeben sei die Funktion f(x) = x.

a) Skizzieren Sie die Punktmenge, die durch den Graph von f, die x-Achse und die Geraden x = 2 und x = 7 begrenzt wird!


27.11.2009
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge unter Verwendung Ihnen bereits bekannter Inhaltsformeln!

A1= 2 * 5

A1 = 10

A2 = (5 * 5) / 2

A2 = 12,5

A = 22,5


c) Wie kann man den Flächeninhalt dieser Punktmenge unter Verwendung des Ergebnisses des Beispiels 1 erhalten?

b
∫ f(x) dx = b²/2 = 25/2
0

7
∫ f(x) dx = 7²/2 = 49/2 = 24,5
0

2
∫ f(x) dx = 4/2 = 2
0

24,5 - 2 = 22,5


3a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f(x) = (1/4)x² - 5 im Intervall [0; 4]!

x        0        1        2        3        4

f(x)   -5    -4,75    -4    -2,75    -1


b) Berechnen Sie sn und Sn für n = 0, 1 und 2!

in jedem Teilintervall größter Funktionswert = Mi
in jedem Teilintervall kleinster Funktionswert = mi
(Ist f eine konstante Funktion, so ist stets mi = Mi.)

2^n Teilintervalle

Sn =

2^n
Σ Mi * Δx
i=1

n = 0

Sn = -1 * 4 = -4

n = 1

Sn = -8 - 2 = -10

n = 2

Sn = -4,75 - 4 - 2,75 - 1 = -12,5

Sn wird mit zunehmendem n immer kleiner.


sn =

2^n
Σ mi * Δx
i=1

n = 0

sn = -20

n = 1

sn = -10 - 8 = -18

n = 2

sn = -5 - 4,75 - 4 - 2,75 = -16,5

sn wird mit zunehmendem n immer größer


c) Zeichnen Sie für die unter b) vorgenommenen Zerlegungen des Intervalls [0; 4] die entsprechenden Rechtecke.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Inhalten der Rechtecke und den Zahlen sn und Sn?

sn = gesamter Flächeninhalt der größten Rechtecke innerhalb der Fläche

Sn = gesamter Flächeninhalt der kleinsten Rechtecke außerhalb der Fläche


Existenz des bestimmten Integrals

3) Berechnen Sie
lim k/2ⁿ
n→∞     

lim k/2ⁿ = 0
n→∞     


4) Geben Sie drei rationale und drei irrationale Zahlen an, und markieren Sie diese auf der Zahlengeraden!

rational: 2, 3, 4

irrational: √2, √3, √5


Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =
1, wenn x rational
2, wenn x irrational.

Diese Funktion ist nicht stetig und auch nicht monoton.
Sie hat aber in jedem abgeschlossenen Teilintervall einen kleinsten und einen größten Funktionswert.

[a; b] in 2^n Teilintervalle

Δx = (b - a) / 2^n

In jedem der 2^n Teilintervalle liegt wenigstens eine rationale und eine irrationale Zahl.

kleinster Funktionswert mi = 1
größter Funktionswert Mi = 2

sn =

2^n
Σ mi * Δx =
i=1

2^n
Σ Δx =
i=1

2^n * (b - a) / 2^n = b - a

Sn =

2^n
Σ Mi * Δx =
i=1

2^n
Σ 2 * Δx =
i=1

2 * 2^n * (b - a) / 2^n = 2(b - a)

Die Folgen (sn) und (Sn) sind konstant.

lim sn = b - a
n→∞

lim Sn = 2(b - a)
n→∞

Ergebnis: Wegen

lim sn
n→∞

≠

lim Sn
n→∞

existiert das bestimmte Integral der Funktion f im Intervall [a; b] nicht.


Sowohl die Monotonie als auch die Stetigkeit sind hinreichend (ausreichend), aber nicht
notwendig für die Existenz des bestimmten Integrals.

Satz 1
Wenn f eine im Intervall [a; b] monotone Funktion ist, so existiert
b
∫ f(x) dx.
a


Satz 2
Wenn f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion ist, so existiert
b
∫ f(x) dx.
a


Beweis Satz 1

Es sei f eine im Intervall [a; b] monotone wachsende Funktion.

2^n gleich lange Teilintervalle

Δx = (b - a) / 2^n

i-te Teilintervall [xi-1; xi]

i = 1,2, ...,2^n

f wächst monoton deshalb:

kleinster Funktionswert im i-ten Intervall mi = f(xi-1)
größter Funktionswert im i-ten Intervall Mi = f(xi)

sn =

2^n
Σ mi * Δx
i=1

sn =

2^n
Σ f(xi-1) * Δx
i=1

Sn =

2^n
Σ Mi * Δx
i=1

2^n
Σ f(xi) * Δx
i=1

lim sn
n→∞

= oder ≠

lim Sn
n→∞


lim sn
n→∞

=

lim Sn
n→∞

ist gewiss erfüllt wenn (Sn - sn) eine Nullfolge ist.

Sn - sn = Δx[f(x2^n) - f(x0)]

x2^n = b

x0 = a

Δx = (b - a) / 2^n

Sn - sn = (b - a) / 2^n * [f(b) - f(a)]

für (b - a) * [f(b) - f(a)] wird k gesetzt


Seite 240

Die Folge (k / 2^n) ist eine Nullfolge. Also gilt

lim sn
n→∞

=

lim Sn.
n→∞


5) Berechnen Sie

k
Σ 1!
i=1             

k
Σ 1 = k
i=1     


Beispiel 3)
Zu berechnen ist der Flächeninhalt der Punktmenge Q, die vom Graph der Funktion f(x) = x² + 1, der x-Achse, der y-Achse und
der Geraden x = 1 begrenzt wird.

Lösung:

f(x) = x² + 1 ist im Intervall [0; 1] monoton
es existiert danach das bestimmte Integral

1
∫ x² + 1 dx
0

=

lim sn
n→∞

=

lim Sn.
n→∞


Seite 241


24.12.2009

Dieser gemeinsame Grenzwert ist der Flächeninhalt A der Punktmenge Q.
Es reicht also die Ermittlung des Grenzwerts der Folge (Sn).

Sn = 1/2^n *

2^n
Σ [(i/2^n)² + 1]
i=1

Beispiel

4 Rechtecke:

Intervalle (x-Werte):

Intervalle (x-Werte): [0; 0,25], [0,25; 0,5], [0,5; 0,75], [0,75; 1]

f(0,25) = 1,0625

f(0,5) = 1,25

f(0,75) = 1,5625

f(1) = 2

Gesamtinhalt der Rechtecke: (1,0625 + 1,25 + 1,5625 + 2) / 4 = 1,46875

4 Rechtecke, n = 2

Sn = 1/4 *

4
Σ [(i/4)² + 1] = 1,46875
i=1


Sn = 1/2^n *

2^n
Σ [(i/2^n)² + 1]
i=1


für 2^n = k


Sn = 1/k *

k
Σ [(i/k)² + 1]
i=1


Sn = 1/k * [

k
Σ i²/k²
i=1

+

k
Σ 1 ]
i=1


laut Aufgabe 5)

k
Σ 1 = k
i=1     


Sn = 1/k * [

k
Σ (i²/k²) + k]
i=1


Sn = 1/k *

k
Σ (i²/k²) + 1
i=1


Sn = 1/k³ *

k
Σ i² + 1
i=1


Summenformel für

k
Σ i²
i=1


k
Σ i² = [k(k + 1)(2k + 1)] / 6
i=1


Sn = 1/k³ * [(k(k + 1)(2k + 1)) / 6] + 1


Sn = 1/k³ * [(2k³ + 3k² + k) / 6] + 1


lim Sn = ((2 + 3/k + 1/k²) / 6) + 1
n→∞


lim Sn = (2/6) + 1
n→∞


lim Sn = 8/6 = 4/3
n→∞


A =

1
∫ (x² + 1) dx = 4/3
0


Aufgaben:

1) Begründen Sie, dass folgende Integrale existieren!

3
∫ 1/x dx
2

Die Funktion f(x) = 1/x ist im geschlossenen Intervall [2; 3] stetig und monoton. Entsprechend Satz 1 und Satz 2 existiert das bestimmte Integral.

π/3
∫ sin x dx
π/6

Die Funktion f(x) = sin x ist im geschlossenen Intervall [π/6; π/3] stetig und monoton. Entsprechend Satz 1 und Satz 2 existiert das bestimmte Integral.


2) Gegeben sei die Funktion f mit
        
f(x) = 0,5x + 1, wenn -1 ≤ x ≤ 2
      = x + 1, wenn 2 < x ≤ 4.

a) Skizzieren Sie den Graph dieser Funktion!

b) Begründen Sie, dass

4
∫ f(x) dx existiert!
-1

Die Funktion f wächst im geschlossenen Intervall [-1; 4] monoton. Entsprechend Satz 1 existiert das bestimmte Integral.


3) Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x + 1.

a) Skizzieren Sie die Punktmenge Q, die durch den Graph von f, die x-Achse und die Geraden x = 1 und x = 4 begrenzt wird!

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von Q unter Verwendung Ihnen bereits bekannter Inhaltsformeln!

Ages = A1 + A2

A1 = 3 * 3 = 9

A2 = (3 * 6) / 2 = 9

Ages = 18

c) Berechnen Sie den Flächeninhalt von Q mit Hilfe der Integralrechnung!

Sn = gesamter Flächeninhalt der kleinsten Rechtecke außerhalb der Fläche

n = 0 (1 Teilintervall)
S0 = 27

n = 1 (2 Teilintervalle)
S1 = 9 + 13,5 = 22,5


Sn =

2^n
Σ [(3 + i6/2^n) * 3/2^n]
i=1


2^n
Σ 3 = 3k
i=1


für 2^n = k

k
Σ i = k(k + 1) / 2
i=1


2^n
Σ i6/2^n = 6k(k + 1) / 2k = (6k² + 6k) / 2k = 3k + 3
i=1


3k * 3/k = 9

(3k + 3) * 3/k = 9 + 9/k


für k = 2^n


lim Sn = 9 + 9 + 9/k
n→∞

lim Sn = 9 + 9 + 9/2^n
n→∞

lim Sn = 18
n→∞


einfacher über Stammfunktion

f(x) = 2x + 1

[1; 4]

F(x) = x² + x

F(4) = 20

F(1) = 2

F(4) - F(1) = 18


30.12.2009

Erweiterung des Integralbegriffs, Additivität

[a; b] a und b sind Integrationsgrenzen

a = untere Integrationsgrenze
b= obere Integrationsgrenze


Definition:

b
∫ f(x) dx = -
a

a
∫ f(x) dx
b

a
∫ f(x) dx = -
a

a
∫ f(x) dx
a

Definition:

a
∫ f(x) dx = 0
a


Auftrag 6)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der im Bild D 21 blau gerasterten Punktmenge!

A1 = 6 * 5 = 30

A2 = (2 * 4) / 2 = 4

A3 = (2 * 2) / 2 = 2

Ages = 36

mittels Integralrechnung:

7
∫ 0,5x + 3,5 dx = 24
3
 
+

9
∫  -x + 14 dx = 12
7


Seite 243

31.12.2009

Additivität des bestimmten Integrals

Satz
Existiert das bestimmte Integral einer Funktion f in einem Intervall [a; b] und ist c eine beliebige
Zahl aus [a; b], so ist

b
∫ f(x)dx =
a

c
∫ f(x)dx +
a

b
∫ f(x)dx.
c


Aufgaben

Ermitteln Sie folgende Zahlen!

1a)

0
∫ x dx = 0
0


b)

π
∫ x^5 dx = 0
π


2a)

5
∫ sin x dx = 0
5


b)

-2
∫ (x² + x + 1) dx = 0
-2


3a)

b
∫ x dx = b²/2
0


b)

0
∫ x dx = -b²/2
b


4a)

b
∫ z dz = b²/2
0


b)

0
∫ t dt = -b²/2
b


5)

4
∫ (x³ + x) dx +
1

7
∫ (x³ + x) dx +
4

1
∫ (x³ + x) dx = 0
7


f(x) = x³ + x

Stammfunktion

F(x) = (x^4) / 4 + x² / 2

F4 = 72

F1 = 0,25 + 0,5 = 0,75

Fges1 = F4 - F1 = 71,25

F7 = 624,75

Fges2 = F7 - F4

Fges2 = 624,75 - 72 = 552,75

Fges3 = F1 - F7

Fges3 = 0,75 - 624,75

Fges3 = -624

Fges = Fges1 + Fges2 + Fges3 = 71,25 + 552,75 - 624 = 0


6)

0,3
∫ (x² + 1) dx +
0

1
∫ (x² + 1) dx = 4/3
0,3


f(x) = x² + 1

Stammfunktion

F(x) = x³ / 3 + x

F0,3 = 3,009

F1 = 4/3

Fges = F0,3 + F1 - F0,3 = F1 = 4/3


02.01.2010

Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze


Auftrag 7)

Berechnen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(x) = 2x² an einer beliebigen Stelle x0,
und ermitteln Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0.

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (2(x0 + h)² - 2x0²) / h

D(h) = (2x0² + 4x0h + 2h² - 2x0²) / h

D(h) = (4xoh + 2h²) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = h * (4x0 + 2h) / h

D(h) = 4x0 + 2h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (4x0 + 2h) = (4x0 + 0)
h→0

lim D(h) = 4x0
h→0

Die Funktion f(x) = 2x² ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = 4x0.


Auftrag 8)

Begründen Sie: Die Funktion F(x) = 2,5x² + √x ist eine Stammfunktion von
f(x) = 5x + 1/2√x!

laut Definition des Begriffs Stammfunktion:
f und F sind in einem Intervall I definiert
F ' (x) = f(x) für jedes x ∈ I


Die Berechnung des bestimmten Integrals durch Rückgang auf die Folgen (sn) und (Sn) ist
selbst bei einfachen Funktionen sehr aufwendig.


b
∫ x dx = b²/2
0

0
∫ x dx = 0
0

1
∫ x dx = 0,5
0

7
∫ x dx = 49/2
0

10
∫ x dx = 50
0

0,5
∫ x dx = 0,125
0

√2
∫ x dx = 1
0

10000
∫ x dx = 50000000 = 5 * 10^7
0

π
∫ x dx = π²/2
0


Seite 246

03.01.2010

b
∫ x dx = b²/2
0

Die Menge der geordneten Paare [b, b²/2] ist die Funktion Φ.

           b
Φ(b) = ∫ x dx = b²/2
           0

Φ ist also eine Funktion, deren Argument die obere Integrationsgrenze eines bestimmten Integrals ist.

           x
Φ(x) = ∫ t dt = x²/2
           0

Φ ' (x) = x


Satz
Wenn f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion ist, so ist die Funktion Φ mit
            x
Φ(x) = ∫ f(t) dt eine Stammfunktion von f in [a; b].
            a


Beweis:

Es sei f eine beliebige im Intervall [a; b] stetige Funktion, Φ die Funktion
           x
Φ(x) = ∫ f(t) dt.
           a

1. Differenzenquotienten der Funktion Φ bilden

           x
Φ(x) = ∫ f(t) dt
           a

             x+h
Φ(x+h) = ∫ f(t) dt
               a

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (Φ(x+h) - Φ(x)) / h

h muss so gewählt werden, das x + h im Intervall [a; b] liegt.

Additivität des bestimmten Integrals

x
∫ f(t) dt +
a

x+h
∫ f(t) dt =
x

x+h
∫ f(t) dt
a

hieraus folgt:

x+h
∫ f(t) dt -
a

x
∫ f(t) dt =
a

x+h
∫ f(t) dt
x

(Φ(x+h) - Φ(x)) / h =

x+h
∫ f(t) dt * 1/h
x


16.01.2010

2. Umformen des Differenzenquotienten

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

h > 0

[x; x + h]

Die Stellen x1 und x2 haben folgende Bedeutung:
f(x1) ist der jeweils kleinste Funktionswert von f im Intervall [x; x + h]
f(x2) ist der jeweils größte Funktionswert von f im Intervall [x; x + h]

h ist die Differenz zwischen x und x + h.

f(x1) * h ≤

x+h
∫ f(t) dt ≤
x

f(x2) * h


nochmals f(t) und nicht f(x)

Es kommt auf die Wahl der Integrationsvariablen nicht an.
Natürlich kann man als Integrationsvariablen nicht eine der Integrationsgrenzen wählen.
Begründung: Integrationsgrenze fest und nicht variabel.


f(x1) ≤

x+h
∫ f(t) dt * 1/h ≤
x

f(x2)


lim f(x1) ≤
h→0

        x+h
lim      ∫ f(t) dt * 1/h ≤
h→0  x

lim f(x2)
h→0


3. Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim f(x1) = f(x)
h→0


lim f(x2) = f(x)
h→0


lim (Φ(x+h) - Φ(x)) / h = f(x)
h→0

Beweis beendet

Durch diesen Beweis ist auch gesichert:

Jede in [a; b] stetige Funktion hat dort eine Stammfunktion.


unbestimmtes Integral

Die Menge aller Stammfunktionen von f im Intervall I wird als das unbestimmte Integral bezeichnet.
∫ f(x) dx

Beispiel:

f(x) = x² - 1

∫ f(x² - 1) dx = x³/3 - x + c

c ∈ R


Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Berechnung bestimmter Integrale

Wie erhält man die Zahl

b
∫ f(x) dx mit Hilfe von F?
a


x
∫ f(t) dt ist ebenfalls Stammfunktion von f in [a; b]
a

b
∫ f(x) dx = Φ(b)
a

x
∫ f(t) dt = Φ(x)
a

Φ(b) = F(b) + c

Φ(x) = F(x) + c

a
∫ f(t) dt = Φ(a) = 0
a

Φ(a) = F(a) + c

c = - F(a)

Φ(b) = F(b) + c

Φ(b) = F(b) - F(a)

b
∫ f(x) dx = F(b) - F(a)
a


Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und F irgendeine Stammfunktion von f, so ist

b
∫ f(x) dx = F(b) - F(a).
a

Für die Differenz F(b) - F(a) schreibt man auch
         b
[F(x)]a.


9) Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils eine Stammfunktion an!

a) f(x) = 1/x²

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

F(x) = -1/x


b) f(x) = √x

F(x) = 2/3 * √x³


c) f(x) = 1/√x

F(x) = 2√x


Seite 250

28.01.2010

Beispiel 5)

Das bestimmte Integral

1
∫ (x² + 1) dx ist zu berechnen.
0

f(x) = x² + 1

F(x) = x³/3 + x

F(1) - F(0) =

4/3 - 0 = 4/3


Beispiel 6)

Das bestimmte Integral

3
∫ 1/x² dx ist zu berechnen.
1

f(x) = 1/x²

F(x) = -1/x

F(3) - F(1) =

-1/3 - (-1) = 2/3


Beispiel 7)

Das bestimmte Integral

3
∫ (x³ - 2x² + 0,4x + 1/3) dx ist zu berechnen.
-1

f(x) = x³ - 2x² + 0,4x + 1/3

F(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x³ + (1/5)x² + (1/3)x

F(3) - F(-1) =

101/20 - 47/60 = 64/15


Beispiel 8)

Das bestimmte Integral

9
∫ √x dx ist zu berechnen.
1

f(x) = √x

F(x) = (2/3) * √x³

F(9) - F(1) =

18 - 2/3 = 52/3


Regeln

b
∫ f(x) + g(x) dx
a

=

b
∫ f(x) dx
a

+

b
∫ g(x) dx
a



b
∫ k * f(x) dx
a

=

      b
k * ∫ k * f(x) dx
      a


Aus den Regeln für das Aufsuchen von Stammfunktionen

a) Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g, so ist F + G eine Stammfunktion von f + g.

b) Ist F eine Stammfunktion von f und c eine beliebige reelle Zahl, so ist c * F eine Stammfunktion von c * f.


30.01.2010

Beispiel 9)

4
∫ (5x + 1/√x) dx
2

f(x) = 5x

F(x) = 2,5x²

F(4) - F(2) =

40 - 10 = 30


g(x) = 1/√x

G(x) = 2√x

G(4) - G(2) =

4 - 2√2


4
∫ (5x + 1/√x) dx = 34 - 2√2
2

Durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung werden die von völlig unterschiedlichen
Problemstellungen her entwickelten Theorien (Differentialrechnung, Integralrechnung) zusammengeführt.
Diesen Zusammenhang erstmalig erkannt und angewendet haben Leibnitz (1646 - 1716) und Newton (1643 - 1727).


Aufgaben

Berechnen Sie folgende Integrale!

1)

3
∫ x dx = 4,5
0


3
∫ x dx = 0
3


1
∫ 2 dx = 4
-1


-1
∫ (-3) dx = 1,5
-0,5


1
∫ (-1/3)t dt =
-1

             1
(-1/3) * ∫ t dt =
            -1

(-1/3) * 0 = 0


2)

4
∫ x dx = 7,5
1


4
∫ 2x dx = 15
1


0,5
∫(-3) dx = -3
-0,5


1
∫ 2x dx = -15
4


0,5
∫ (1/5)s ds = -1/5
-1,5


2
∫ ab² db = (7/3)a
1


3)

7
∫ (-x²/5 - x) dx = -234/5
1


4
∫ 1/x² dx = 3/4
1


3
∫ 4/r^4 dr =
1

3
4 * ∫ r^-4 dr =
1

f(r) = r^-4

F(r) = (r^-3) / -3

F(r) = -1/3r^3

F(3) = -1/81

F(1) = -1/3

F(3) - F(1) = 26/81 * 4 = 104/81


4
∫ (x² + x + 1) dx = 100/3
0


1
∫ (1/x² + 1/x³) dx = -7/8
2


4)

0
∫ (3x² + x - 1) dx = 4
-2


-2
∫ x^-3 dx =
-3

-2
∫ 1/x³ dx = -5/72
-3


-1
∫ 3t^-5 dt = -45/64
-2


0
∫ (x³ + x² + x + 1) dx = 7/12
-1


-1
∫ (4/x³ - 3/x^4) dx = -19/8
-2


5)

7
∫ √x dx
2

f(x) = √x

f(x) = x^1/2

F(x) = 2/3 * x^3/2

F(7) = 14√7 / 3

F(2) = 4√2 / 3

F(7) - F(2) = 10,46


5
∫ p^-0,5 dp
1

f(p) = 1/√p

F(p) = 2√p

F(5) = 2√5

F(2) = 2

F(5) - F(2) = 2,47


4
∫ 5x^0,25 dx
1

f(x) = 5x^0,25

F(x) = 4x^5/4

F(4) - F(1) =

22,627417 - 4 = 18,627417


3
∫ (x + x^1/3) dx = 3,855
2


1
∫ (2 + √4x) dx = 3,33333
0

f(x) = 2

F(x) = 2x

F(1) - F(0) = 2

f(x) = √4x

f(x) = 2√x

F(x) = 2 * 2/3 * x^1,5

F(x) = 4/3 * √x³

F(1) - F(0) = 4/3


6)

8
∫ x^1/3 dx
1

f(x) = x^1/3

F(x) = 3/4 * x^4/3

F(8) - F(1) = 12 - 0,75 = 11,25


4
∫ q^-1/3 dq
1

f(q) = q^-1/3

F(q) = 3/2 * q^2/3

F(4) - F(1) = 2,2797


4
∫ 5/x^1/4 dx
1

4
∫ 5x^-1/4 dx
1

f(x) = 5x^-1/4

F(x) = 20/3x^3/4

F(4) - F(1) = 12,1895


2
∫ (1 - 1/x^1/3) dx = 0,1189
1

2
∫ (1 - x^-1/3) dx
1

f(x) = 1

F(x) = x

F(2) - F(1) = 1

f(x) = x^-1/3

F(x) = 3/2 * x^2/3

F(2) - F(1) = 0,8811


1
∫ (5 - (8x)^1/3) dx  = 3,5
0

f(x) = 5

F(x) = 5x

F(1) - F(0) = 5

f(x) = (8x)^1/3

f(x) = 2 * x^1/3

F(x) = 2 * 3/4 * x^4/3

F(x) = 3/2 * x^4/3

F(1) - F(0) = 1,5


06.03.2010 Paul Dose

7) Berechnen Sie die bestimmten Integrale der Funktion
f(x) = x³ - 6x² + 10x in den Intervallen [0; 2], [2; 4] und [0; 4]!

F(x) = 0,25x^4 - 2x³ + 10x

2
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 8
0

4
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 8
2

4
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 16
0


Berechnung von Integralen verketteter Funktionen


Beispiel 10)

3
∫ √5x + 3 dx = 9,4895
0

Lösung:

g(x) = √5x + 3

z(x) = 5x + 3

f(z) = √z

F(z) = 2/3 * z^3/2

F(z(x)) = 2/3 * (5x + 3)^3/2

Überprüfung durch Anwendung der Kettenregel

f ' (x) = [u(v(x0))] ' = u ' (v(x0)) * v ' (x0)

[2/3 * (5x + 3)^3/2] ' = 5√5x + 3

[2/3 * (5x + 3)^3/2] ' = 5√5x + 3 / beide Seiten durch 5 dividieren

[2/15 * (5x + 3)^3/2] ' = √5x + 3

G(x) = 2/15 * (5x + 3)^3/2

G(3) - G(0) =

2/15 * √18³ - 2/15 * √3³ = 9,4895


Ist F eine Stammfunktion von f (äußere Funktion), so ist

x2
∫ f(ax + b) dx =
x1

x2
[1/a * F(ax + b)]
x1


Beispiel 11)

x2
∫ (ax + b)^n dx
x1

n > 0
x1 < x2
ax + b ≥ 0

Lösung:

g(x) = (ax + b)^n

z(x) = ax + b

f(z) = z^n

F(z) = n/(n+1) * z^(n+1)/n

x2
∫ (ax + b)^n dx =
x1

x2
[1/a * n/(n+1) * (ax + b)^(n+1)/n]
x1


Aufgaben

Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale!

1a)

5
∫ (4x + 5)² dx
0

f(x) = (4x + 5)²

F(x) = 1/4 * 1/3 * (4x + 5)³

F(x) = 1/12 * (4x + 5)³

F(5) - F(0) = 1291,66


1b)

1
∫ 1/(2x - 6)³ dx
-1

f(x) = 1/(2x - 6)³

f(x) = (2x - 6)^-3

F(x) = 1/2 *  -1/2 * (2x - 6)^-2

F(1) - F(-1) = -3/256


1c)

1
∫ (6t + 1)³ dt
-1

f(t) = (6t + 1)³

F(t) = 1/6 * 1/4 * (6t + 1)^4

F(t) = 1/24 * (6t + 1)^4

F(1) - F(-1) = 74


2a)

1
∫ (0,25x + 1)^4 dx
-1

f(x) = (0,25x + 1)^4

F(x) = 4 * 1/5 * (0,25x + 1)^5

F(x) = 4/5 * (0,25x + 1)^5

F(1) - F(-1) = 2,251


2b)

3
∫ 1/(5 - x)² dx
-3

f(x) = 1/(5 - 1x)²

f(x) = (5 - 1x)^-2

F(x) = -1/-1 * (5 - x)^-1

F(x) = (5 - x)^-1

F(3) - F(-3) = 1/2 - 1/8 = 3/8


2c)

2
∫ 4/(4t + 3)³ dt
0

f(t) = 4/(4t + 3)³

f(t) = 4 * (4t + 3)^-3

F(t) = 4 * 1/4 * -1/2 * (4t + 3)^-2

F(t) = -0,5 * (4t + 3)^-2

F(2) - F(0) = 56/1089


3a)

1
∫ (2x + 5)^2/3 dx
-1

f(x) = (2x + 5)^2/3

F(x) = 1/2 * 3/5 * (2x + 5)^5/3

F(x) = 3/10 * (2x + 5)^5/3

F(1) - F(-1) = 5,8124


3b)

0
∫ dx / √5 - 3x
-1

f(x) = 1 / √5 - 3x

f(x) = (5 - 3x)^-1/2

F(x) = -1/3 * 2 * (5 - 3x)^1/2

F(x) = -2/3 * √5 - 3x

F(0) - F(-1) = 0,3949


3c)

1
∫ dx / (x + 2)^1/3
0

f(x) = (x + 2)^-1/3

F(x) = 3/2 * (x + 2)^2/3

F(1) - F(0) = 0,739


Flächenberechnungen

Punktmengen, die oberhalb der x-Achse liegen

12) Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen!

a) f(a) = a² - 7,5a + 12,5

0 = a² - 7,5a + 12,5

a1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q

a1/2 = 3,75 +- √14,0625 - 12,5

a1/2 = 3,75 +- √1,5625

a1/2 = 3,75 +- 1,25

a1 = 5

a2 = 2,5


b) f(x) = -x² + 4x + 5

0 = -x² + 4x + 5 //*-1

0 = x² - 4x - 5

x1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q

x1/2 = 2 +- √4 + 5

x1/2 = 2 +- 3

x1 = 5

x2 = -1


Beispiel 12)

Zu berechnen ist der Flächeninhalt der Punktmenge, die von dem Graph der Funktion
f(x) = -x² + 4x + 5 und der x-Achse begrenzt wird.

Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind dazu erforderlich.

x1 = -1
x2 = 5

      x2
A = ∫ (-x² + 4x + 5) dx
      x1

       5
A = ∫ (-x² + 4x + 5) dx
      -1

f(x) = (-x² + 4x + 5)

F(x) = -x³/3 + 2x² + 5x

F(5) - F(-1) = 36

Der Flächeninhalt A beträgt 36.


Beispiel 13)

Der Flächeninhalt innerhalb der Funktionen f(x) = √2x - 1 [0,5; a] und g(x) = -2x + 7 [a; b] ist zu berechnen.




Die Zahl a ist der x-Wert des Schnittpunktes der Graphen von f und g.

√2a - 1 = -2a + 7

2a - 1 = (-2a + 7)²

2a - 1 = 4a² - 28a + 49

0 = 4a² - 30a + 50

0 = a² - 7,5a + 12,5

a1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q

a1 = 5

a2 = 2,5

Die Abszisse (x-Wert) des gesuchten Schnittpunktes ist 2,5(nach Skizze).

Die Zahl b ist die Nullstelle von g.

g(x) = -2x + 7

0 = -2b + 7

b = 3,5

erste Teilfläche

2,5
∫ √2x - 1 dx
0,5

f(x) = √2x - 1

F(x) = 1/2 * 2/3 * (2x - 1)^3/2

F(x) = 1/3 * (2x - 1)^3/2

F(2,5) - F(0,5) = 8/3

zweite Teilfläche:

3,5
∫ -2x + 7 dx
2,5

f(x) = -2x + 7

F(x) = -x² + 7x

F(3,5) - F(2,5) = 12,25 - 11,25 = 1

Der Flächeninhalt beträgt 11/3.


Aufgaben

1) Berechnen Sie folgende Flächeninhalte.

a)

1
∫ 0,5x² dx = 1,5
-2


b)

f(x) = x + 1

3 = x + 1

x = 2

erste Teilfläche

A = 4 * 3 = 12

zweite Teilfläche

f(x) = x + 1

0 = x + 1

x = -1      

       2
A = ∫ x + 1 dx = 4,5
     -1

Der Flächeninhalt beträgt 16,5.


2) Skizzieren Sie die Punktmenge, die von dem Graph der Funktion f(x) = x³/2 + 4, der x-Achse
und der Geraden x = 2 begrenzt wird! Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge!



2
 ∫ x³/2 + 4 dx = 16
-2

Der Flächeninhalt beträgt 16.


3a) Skizzieren Sie die Punktmenge, die oberhalb der x-Achse liegt und von dieser und dem Graph der Funktion
f(x) = (x - 3)(x² - 4) begrenzt wird!

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge!

f(x) = (x - 3)(x² - 4)

f(x) = x³ - 4x - 3x² + 12

f(x) = x³ - 3x² - 4x + 12



2
∫ x³ - 3x² - 4x + 12 dx = 32
-2

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 32.


4a) Skizzieren Sie die Punktmenge, die von dem Graph der Funktion f(x) = x^1/3, der x-Achse und den Geraden
x = 1 und x = 8 begrenzt wird!

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge!



Überschlag: 7 < Flächeninhalt < 14

8
∫ x^1/3 dx = 11,25
1

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 11,25.


5a) Skizzieren Sie die Punktmenge, die von dem Graph der Funktion f(x) = (3x + 6)^1/4, der x-Achse und der Geraden
x = 2 begrenzt wird!

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge!



2
∫ (3x + 6)^1/4 dx
-2

f(x) = (3x + 6)^1/4

F(x) = 1/3 * 4/5 * (3x + 6)^5/4

F(x) = 4/15 * (3x + 6)^5/4

F(2) - F(-2) = 5,956

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 5,956.


Punktmengen, die unterhalb der x-Achse liegen

14) Berechnen Sie das bestimmte Integral!

4
∫ (x² - 5x + 4) dx!
1

Lösung: -9/2


Beispiel 14)
Der Flächeninhalt der Punktmenge M, die von der x-Achse und der Parabel y = x² - 5x + 4
begrenzt wird, ist zu berechnen.

Die Zahl -9/2 kommt nicht in Frage, weil negativ.
Die Spiegelung an der x-Achse ist erforderlich.

aus y = x² - 5x + 4



wird y = -(x² - 5x + 4) = -x² + 5x - 4



 
        b
A = | ∫ f(x) dx |
        a

4
∫ (x² - 5x + 4) dx = -9/2
1

A = | - 9/2 |

A = 9/2

Der Flächeninhalt der Punktmenge M beträgt 9/2.


Beispiel 15)
Zu berechnen ist der Flächeninhalt der Punktmenge, die unten durch einen Parabelbogen begrenzt wird.

Zunächst ist die Gleichung der Parabel gesucht.

Nullstellen der Parabel
x1 = [-4; 0]
x2 = [4; 0]
Scheitelpunkt: x3 = [0; -8]

f(x) = ax² + c

c = -8

0 = ax² - 8

0 = a4² - 8

a = 1/2

f(x) = 0,5x² - 8



3
∫ (0,5x² - 8) dx = -205/6
-2

A = | -205/6 |

A= 205/6

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 205/6.


Beispiel 16)
Es ist der Flächeninhalt der Punktmenge M zu berechnen, die von dem Graph der Funktion
f(x) = x³ - 6x² + 8x und der x-Achse eingeschlossen wird.



Nullstellen der Funktion

f(x) = x³ - 6x² + 8x

0 = x(x² - 6x + 8)

x1 = 0

x2/3 = -p/2 +- √(p/2)² - q

x2/3 = 3 +- 1

x2 = 4

x3 = 2

2
∫ (x³ - 6x² + 8x) dx = 4
0

A1 = 4

4
∫ (x³ - 6x² + 8x) dx = -4
2

A2 = | -4 |

A2 = 4

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 8.


Aufgaben

Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktionen, und berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt der Punktmenge,
die durch den Graph von f, die x-Achse und die Geraden x = a und x = b begrenzt wird!

2a) f(x) = 2x + 1;    a = -3    b = 1



Nullstelle der Funktion

f(x) = 2x + 1

0 = 2x + 1

x = -0,5

-0,5
∫ (2x + 1) dx = -6,25
-3

A1 = 6,25

1
∫ (2x + 1) dx = 2,25
-0,5

A2 = 2,25

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 8,5.


b) f(x) = x² - 8x + 7    a = 0    b = 5



Nullstellen der Funktion

0 = x² - 8x + 7

x1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q

x1/2 = 4 +- 3

x1 = 7

x2 =  1

1
∫ x² - 8x + 7 dx = 10/3
0

A1 = 10/3

5
∫ x² - 8x + 7 dx = -80/3
1

A2 = | -80/3 |

A2 = 80/3

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 30.


c) f(x) = (1/(x² + 1)) - 2    a = 0    b = 2



2
∫ ((x + 1)^-2 - 2)  dx = -10/3
0

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 10/3.


d) f(x) = (x - 2)^1/2 - 1,5    a = 3    b = 6



Nullstelle der Funktion

0 = (x - 2)^1/2 - 1,5

1,5 = (x - 2)^1/2

2,25 = x - 2

x = 9/4 = 4,25

x2
∫ f(ax + b) dx =
x1

x2
[1/a * F(ax + b)]
x1

f(x) = (x - 2)^1/2 - 1,5

F(x) = 2/3 * (x - 2)^3/2 - 1,5x

F(4,25) - F(3) = -0,29

A1 = 0,29

F(6) - F(4,25) = 0,46

A2 = 0,46

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 0,75.


Punktmengen, die von den Graphen zweier Funktionen eingeschlossen werden

Beispiel 17)
Berechnung des Flächeninhalts A vom Parabelsegment
f(x) = 2x + 1
g(x) = x² - 4x + 6



20.03.10 Seite 261

Bestimmen der Integrationsgrenzen

Abszissen (x-Werte) der Schnittpunkte beider Graphen

x² - 4x + 6 = 2x + 1

x² - 6x + 5 = 0

x1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q

x1/2 = 3 +- 2

x1 = 5

x2 = 1

A = Flächeninhalt Trapez - Flächeninhalt zwischen Parabel und x-Achse

Trapez: Viereck mit zwei parallelen, aber ungleich langen Seiten

5
∫ 2x + 1 dx = 28
1

5
∫ x² - 4x + 6 dx = 52/3
1

A = 28 - 52/3 = 32/3

Der Flächeninhalt des Parabelsegmentes beträgt 32/3.


Beispiel 18)
Berechnung des Flächeninhalts B vom Parabelsegment
f(x) = 2x - 5
g(x) = x² - 4x



Durch eine Verschiebung parallel zur y-Achse lässt sich erreichen, dass die Punktmenge B auf die Punktmenge
A abgebildet wird.

B = A = 32/3

Der Flächeninhalt des Parabelsegmentes beträgt 32/3.


Beispiel 19)
Es ist der Flächeninhalt der von den Parabeln
f(x) = 0,25x² - 1 und
g(x) = -0,125x² + 2 eingeschlossenen Punktmenge zu berechnen.



Abszissen (x-Werte) der Schnittpunkte der Parabeln

0,25x² - 1 = -0,125x² + 2

0,375x² = 3

x² = 8

x1 = √8

x2 = -√8

Verschiebung

f(x) = 0,25x²
g(x) = -0,125x² + 3



√8
∫ -0,125x² + 3 dx = 15,08
-√8

√8
∫ 0,25x² dx = 3,77
-√8

Der Flächeninhalt beträgt 11,31.


Beispiel 20)
Wie groß ist die positive Zahl a zu wählen, damit der Flächeninhalt M gleich 5/3 ist?

f(x) = √ax

g(x) = -x²

Integrationsgrenzen 0 und 1



1
∫ -x² dx = -1/3
0

5/3 - 1/3 = 4/3

1
∫ √ax dx = 4/3
0

f(x) = √ax

F(x) =  2/3 * (ax)^3/2

F(x) = 2/3a * (ax)^3/2

F(1) - F(0) = 4/3

F(1) = 4/3

2/3a * (a)^3/2 = 4/3

a^3/2 = 12a/6

a^3/2 = 2a

a^3 = 4a^2

a = 4


Aufgaben

2) Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt der Punktmenge, die von der Parabel und der
Geraden eingeschlossen wird!

b)

f(x) = x² + 6x + 11

g(x) = -x + 1

Abszissen (x-Werte) der Schnittpunkte beider Graphen

x1 = -5

x2 = -2

-2
∫ -x + 1 dx = 13,5
-5

-2
∫ x² + 6x + 11 dx = 9
-5

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 4,5.


3) Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt der Punktmenge, die von den Graphen
der Funktionen f und g und den Graphen x = a und x = b begrenzt wird.

b)

f(x) = x³

g(x) = 0,5x - 2

a = -1

b = 2

Verschiebung

f(x) = x³ + 3

g(x) = 0,5x + 1



2
∫ x³ + 3 dx = 51/4
-1

2
∫ 0,5x + 1 dx = 15/4
-1

Der Flächeninhalt beträgt 9.


d)

f(x) = 1/x³

g(x) = x + 1

a = 2

b = 4



4
∫ x + 1 dx = 8
2

4
∫ 1/x³ dx = 3/32
2

Der Flächeninhalt beträgt 253/32.


5) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge M! 01.04.2010

f(x) = 2 / (x - 1)²

g(x) = - x^1/2



4
∫ 2 / (x - 1)² dx = 4/3
2

4
∫ + √x dx = 3,45
2

Der Flächeninhalt der Punktmenge M beträgt 4,78.


Physikalische Arbeit

F = konstant

W = F * (s2 - s1)

F ≠  konstant

        s2
W =  ∫ f(s) ds
        s1

Beispiel 21)
Ein Körper sei an einer Schraubenfeder befestigt. Bewegt man den Körper von s1 nach s2,
so wird die Feder gedehnt. Die dazu erforderliche Kraft, die der Zugkraft der Feder entgegenwirkt,
ist dem zurückgelegten Weg proportional. Der Proportionalitätsfaktor k heißt Federkonstante.
Zu berechnen ist die Arbeit W, die man aufwenden muss, um den Körper von s1 nach s2 zu bewegen.

F/s = k (Federkonstante)

F = k * s

F = f(s) = k * s

W =

s2
∫ f(s) ds
s1

W =

s2
∫ k * s ds
s1

W =

     s2
k * ∫ s ds = k/2 * (s2² - s1²)
     s1

16) Berechnen Sie die Arbeit, die bei der Dehnung einer Feder verrichtet wird,
für k = 0,4 N/cm, s1 = 0cm und s2 = 12cm!

W = 0,2 N/cm * (144cm)

W = 28,8 Newton


Übungen und Anwendungen

Berechnen Sie die folgenden Integrale!

2a)

3
∫ (3x² + 4x + 5) dx = 60
0

f(x) = 3x² + 4x + 5

F(x) = x³ + 2x² + 5x

F(3) - F(0) = 27 + 18 + 15 = 60


2b)

4
∫ (v³ - v² + 3) dv = 685/12
-1


2c)

-1
∫ (4/x³ - 3/x^4) dx = -19/8
-2


2e)

-√3
∫ (x³ + 2x) dx
0

f(x) = x³ + 2x

F(x) = 0,25x^4 + x²

F(-√3) - F(0) = 5,25


4c)

1
∫ z / √x+1
0

     1
z * ∫ 1 / √x+1
     0

f(x) = (x + 1)^-1/2

F(x) = 2(x + 1)^1/2

F(1) - F(0) = 2 * 2^1/2 - 2 * (1)^1/2 = 2(√2 - 1)

2z(√2 - 1)


6) Berechnen Sie jeweils k!

b)

1
∫ kx dx = 0,2
0

F(1) - F(0) = 0,2

F(1) = 0,2

0,5kx² = 0,2

0,5 * k * 1 = 0,2

k = 0,4


d)

1
∫ (kx + k) dx = 1
0

F(x) = 1

f(x) = kx + k

F(x) = 0,5kx² + kx

1 = 0,5 * k * 1 + k * 1

1 = 0,5k + k

k = 2/3


06.04.10
9) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge, die von den Graphen der Funktion
f(x) = x³ - x² + x - 2 und g(x) = 3x - 2 eingeschlossen wird!



Verschiebung der Graphen
f(x) = x³ - x² + x + 3
g(x) = 3x + 3

Schnittpunkte
s1(-1; 0)
s2(3; 0)
s3(2; 9)

0
∫ f(x) dx = 23/12
-1

0
∫ g(x) dx = 3/2
-1

A1 = 23/12 - 3/2 = 5/12

2
∫ f(x) dx = 28/3
0

2
∫ g(x) dx = 12
0

A2 = 12 - 28/3 = 8/3

Agesamt = 37/12


10) Spiegeln sie die Parabel y = x² an der Geraden y = x! Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge,
die von der Parabel y = x² und ihrem Spiegelbild begrenzt wird!



1
∫ x dx = 1/2
0

1
∫ x² dx = 1/3
0

A = 1/6

2A = 2/6 = 1/3


12a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge, die von den Graphen der Funktionen
f(x) = -0,5x² + 4,5 und g(x) = 0,5x² - x + 2,5 eingeschlossen wird! Veranschaulichen Sie jeweils die Punktmenge!




Schnittpunkte
s1(-1; 4)
s2(2; 2,5)

2
∫ f(x) dx = 12
-1

2
∫ g(x) dx = 15/2
-1

12 - 7,5 = 4,5

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 4,5.


12b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge, die von den Graphen der Funktionen
f(x) = 0,25x² und g(x) = 1/12x² + 6 eingeschlossen wird! Veranschaulichen Sie jeweils die Punktmenge!



Schnittpunkte
0,25x² = 1/12x² + 6
1/6x² = 6
x1 = 6
x2 = -6

s1(6; 9)
s2(-6; 9)

6
∫ g(x) dx = 84
-6

6
∫ f(x) dx = 36
-6

A = 84 - 36 = 48

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 48.


15) Gegeben sei die Funktion f(x) = x^-2.
a) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge M, die von dem Graph von f, der
x-Achse und den Geraden x = 1 und x = 5 begrenzt wird!

5
∫ f(x) dx = 4/5
1


b) Welche Länge hat ein Rechteck mit der Breite 4, dessen Flächeninhalt mit dem
der Punktmenge M übereinstimmt?

A = x * 4 = 4/5

x = 1/5 = 0,2


19.04.2010

18) Eine Punktmenge werde durch zwei quadratische Parabeln begrenzt.
a) Bestimmen sie die Gleichung der Parabeln!
b) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der Punktmenge!

1. Parabel

f(x) = 5/4x² - 3

2. Parabel

g(x) = -0,5x² + 4



Verschiebung der Graphen

f(x) = 5/4x²

g(x) = -0,5x² + 7

2
∫ g(x) dx = 76/3
-2

2
∫ f(x) dx = 20/3
-2

A = 76/3 - 20/3 = 56/3

Der Flächeninhalt der Punktmenge beträgt 56/3.


21) Die senkrecht auf der Parabelachse stehende Sehne P1P2 sei 10cm lang. Die im Punkt P1 an die Parabel
gelegte Tangente bilde mit der Sehne einen Winkel von 45°.
a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Parabel!
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parabelsegmentes!


a) ausgehend vom Punkt P2
45° = Steigung 1
im Punkt P2 (5; 2,5) Steigung der Tangente = 1
f ' (x) = (2/10)x
f ' (5) = 1
Stammfunktion f(x) = (1/10)x² 

Die Gleichung der Parabel lautet f(x) = (1/10)x². 

b) Fläche des Rechtecks 2,5 * 10 = 25
Fläche zwischen Parabel und x-Achse
5
∫ f(x) dx = 25/3
-5
A = 25 - 25/3 = 50/3

Der Flächeninhalt des Parabelsegmentes beträgt 50/3.


22) Beim Bau eines Speichers werden parabolische Bogenkonstruktionen verwendet.

Angaben in Meter
parabolisch = parabelförmig gekrümmt



a) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Parabel!

f(x) = (4/81)x²

b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Querschnittsfläche des Speichers!

Fläche des Rechtecks

A = 36 * 16 = 576

Fläche unterhalb der Parabel

18
∫ f(x) dx = 192
-18

Fläche innerhalb der Parabel

Ages = 576 - 192 = 384

Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche beträgt 384m².

c) Berechnen Sie das Volumen des Speichers bei einer Tiefe von183m.

V = 384m² * 183m = 70272m³

Das Volumen des Speichers beträgt 70272m³.


24.04.2010 Dienstplan

25) Der Querschnitt der Tragfläche eines Flugkörpers wird durch die Graphen der Funktionen
f(x) = 0,25√2x und g(x) = x²/8 begrenzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Querschnitts!



2
∫ f(x) dx = 2/3
0

2
∫ g(x) dx = 1/3
0

Der Flächeninhalt des Querschnitts beträgt 1/3.


28) Ein Tonnengewölbe hat die angegebenen Maße. Die Gewölbedecke ist parabolisch gekrümmt.

parabolisch = parabelförmig gekrümmt

a) Wie viel Kubikmeter Mauerwerk sind je Meter Gewölbelänge (einschließlich der Seitenwände) erforderlich?

f(x) = -(1/3)x² + 2,5

g(x) = -(1/3)x² + 2,2

1,715
∫ f(x) dx = 7,454
-1,715

1,405
∫ g(x) dx = 5,566
-1,405

A = 7,454m² - 5,566m² = 1,888m²

V = 1,88m² * 1m = 1,88m³

b) Wie viel Prozent des erforderlichen Mauerwerks entfallen auf die Gewölbedecke?

Fläche der Seitenwände

1,715
∫ g(x) dx = 0,430
1,405

2 Seitenwände = 0,860m²

1,888 ≙ 100%
0,860 ≙ x%

x = 45,55% Anteil der Seitenwände

54,45% Anteil der Gewölbedecke

c) Wie viel Kubikmeter Luft sind je Meter Gewölbelänge enthalten?

1,405
∫ g(x) dx = 5,566
-1,405

Fläche = 5,57m²

Volumen = 5,57m² * 1m = 5,57m³

5,57m³ Luft sind je Meter Gewölbelänge enthalten.


31) Welche Arbeit ist aufzuwenden, um ein Raumschiff mit der Masse m = 10^4 kg bis zum Abstand R
von der Erdoberfläche zu bringen?
(Die für die Beförderung der Trägerrakete notwendige Arbeit bleibt hier unberücksichtigt.)

Newtonsches Gravitationsgesetz

F(r) = (k * M * m) / r²

r = Abstand zwischen den Massenpunkten (hier = R)

k = Gravitationskonstante = 6,67 * 10^-11 N * m² * kg^-2

R = Erdradius = 6,37 * 10^6 m

M = Erdmasse = 5,98 * 10^24 kg

m = Raumschiffmasse = 10^4 kg

      13,34 * 10^6
W = ∫ f(r) dr
       6,37 * 10^6

W = 3,13 * 10^11 Nm


33) Ein Motor gibt aufgrund schwankender Belastung eine von der Zeit abhängige Leistung ab.

f(t) = 0,5t²    0 ≤ t ≤ 1

f(t) = t - 0,5    1 ≤ t ≤ 5

Berechnen Sie die vom Motor verrichtete Arbeit im Zeitintervall von 0 bis 5 Sekunden!

W = P * t

         1
W1 = ∫ 0,5t² dt
         0

W1 = 1/6 kW/s

         5
W2 = ∫ t - 0,5 dt
         1

W2 = 10 kW/s

Wges = 61/6 kW/s


36*) Gegeben sei die Funktion f(x) = 2/x² (x > 0).
Die Gerade y = mx + n möge den Graph von f in den Punkten P1(1; 2) und P2(4; 1/8) schneiden.

a) Bestimmen Sie m und n!

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

m = (1/8 - 2) / (4 - 1)

m = -5/8

y = mx + n

2 = -5/8 + n

n = 2 + 5/8

n = 21/8

y = -5/8 x + 21/8


b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Punktmenge, die vom Graph von f und der Geraden
eingeschlossen wird!

4
∫ -5/8 x + 21/8 dx = 51/16
1

4
∫ 2/x² dx = 1,5
1

A = 51/16 - 1,5 = 27/16

∫    Δ    ε    √    ≤    ≥    ≙    π    Σ    ∈    ≠    ²    ³    ⁿ    ±    n→∞    x→x0    Φ