f(1) = 2
Gesamtinhalt der Rechtecke: 1,3984375
Definition des bestimmten Integrals
Es sein nun f eine beliebige Funktion, die in einem Intervall [a; b]
definiert ist und in jedem
abgeschlossenem Teilintervall von [a; b] einen kleinsten und einen größten
Funktionswert hat.
Das geschlossene Intervall [a; b] wird zerlegt in 2^n gleich lange
Teilintervalle.
Länge des Teilintervalls = Δx = (b - a) / 2^n
in jedem Teilintervall größter Funktionswert = Mi
in jedem Teilintervall kleinster Funktionswert = mi
(Ist f eine konstante Funktion, so ist stets mi = Mi.)
Sn =
2^n
Σ Mi * Δx
i=1
sn =
2^n
Σ mi * Δx
i=1
mi * Δx = Flächeninhalt des größten Rechtecks innerhalb
der Fläche im Intervall [xi-1; xi]
Mi * Δx = Flächeninhalt des kleinsten Rechtecks außerhalb
der Fläche im Intervall [xi-1; xi]
Es sei m der kleinste und M der größte Funktionswert von f in [a; b].
m(b - a) ≤ sn ≤ Sn ≤ M(b - a)
(sn) ist nach oben beschränkt
(Sn) ist nach unten beschränkt
21.11.2009
Seite 235
es existieren
lim sn
n→∞
und
lim Sn
n→∞
Definition bestimmtes Integral
Es sei f eine im Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedem
abgeschlossenen Teilintervall von [a; b]
einen kleinsten und einen größten Funktionswert hat. Haben die Folgen (sn) und
(Sn) einen gemeinsamen Grenzwert,
so heißt dieser gemeinsame Grenzwert das bestimmte Integral der Funktion f im
Intervall [a; b].
lim sn
n→∞
=
lim Sn
n→∞
Das bestimmte Integral einer Funktion f im Intervall [a; b], ist also eine
reelle Zahl und zwar der
gemeinsame Grenzwert der Folgen (sn) und (Sn).
Man bezeichnet das bestimmte Integral von f in [a; b] durch:
b
∫ f(x) dx
a
Lies: "Integral f von x-d-x von a bis b.
Das von Leibnitz eingeführte Zeichen "∫" ist ein stilisiertes "S" und soll an
die Summenbildung erinnern.
Beispiel 1)
bestimmtes Integral für die Funktion f(x)= x im Intervall [0; b]
Die Funktion f ist stetig und monoton und hat daher in jedem abgeschlossenen
Intervall einen kleinsten und einen
größten Funktionswert.
1. Zerlegen des Intervalls
[0; b] in 2^n gleich lange Teilintervalle
Δx = b / 2^n
2^n = k
Δx = b / k
2. Bilden der Summen sn und Sn
[xi-1; xi]
i = 1,2,..., k
Summe sn
mi = f(xi-1) = xi-1 = (i - 1) * Δx = (i - 1) * b/k
sn =
2^n
Σ mi * Δx
i=1
sn =
k
Σ mi * Δx
i=1
sn =
k
Σ (i - 1) * b/k
* b/k
i=1
sn =
k
Σ (i - 1) * b²/k²
i=1
Da alle Summanden von sn den Faktor b²/k² enthalten gilt
k
sn = b²/k² * Σ
(i - 1).
i=1
k
Σ (i - 1)
= ((k - 1) * k) / 2
i=1
Beispiel:
5
Σ (i - 1)
= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 = ((k - 1) * k) / 2 = ((5 - 1) * 5) / 2
i=1
sn = b²/k² * ((k - 1) * k) / 2
sn = b²/k * (k - 1) / 2
sn = b²/2 - b²/2k
sn = b²/2 * (1 - 1/k)
2^n = k
sn = b²/2 * (1 - 1/2^n)
Summe Sn
Mi = f(xi) = xi = i * Δx = i * b/k
Sn =
2^n
Σ Mi * Δx
i=1
Sn =
k
Σ Mi * Δx
i=1
Sn =
k
Σ i * b/k
* b/k
i=1
Sn =
k
Σ i * b²/k²
i=1
Da alle Summanden von Sn den Faktor b²/k² enthalten gilt
k
Sn = b²/k² * Σ
i.
i=1
k
Σ i = (k * (k + 1))
/ 2
i=1
Beispiel:
5
Σ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5
= 15 = (k * (k + 1)) / 2 =
(5 * (5 + 1)) / 2
i=1
Sn = b²/k² * (k * (k + 1))
/ 2
Sn = b²/k * (k + 1)
/ 2
Sn = b²/2 + b²/2k
Sn = b²/2 * (1 + 1/k)
2^n = k
Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)
3. Berechnen des Grenzwertes der Folgen (sn) und (Sn)
sn = b²/2 * (1 - 1/2^n)
lim (1 - 1/2^n) = 1
n→∞
lim sn = b²/2
n→∞
Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)
lim (1 + 1/2^n) = 1
n→∞
lim Sn = b²/2
n→∞
b
∫ f(x) dx = b²/2
0
2) Gegeben sei die Funktion f(x) = x.
a) Skizzieren Sie die Punktmenge unter dem Graph der Funktion im Intervall [0;
5]!
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge mit Hilfe der Inhaltsformel
für Dreiecke!
A = (ab)/2
A = 25/2
c) Vergleichen Sie ihr Ergebnis mit dem Resultat des Beispiels 1!
b
∫ f(x) dx = b²/2 = 25/2
0
Definition
Es sei f eine im Intervall [a; b] definierte Funktion, die in jedem
abgeschlossenen Teilintervall von [a; b] einen
kleinsten und einen größten Funktionswert hat. Ferner gelte f(x) ≥ 0 für alle x
∈ [a; b].
Unter dem Flächeninhalt der Punktmenge, die von dem Graph von f, der x-Achse und
den Parallelen zur y-Achse
durch a und b begrenzt wird, versteht man das bestimmte Integral
b
∫ f(x) dx.
a
Aufgaben:
1) Berechnen Sie die im Beispiel 1 angegebenen Summen sn und Sn für n = 0, 1, 2,
3 und 4 falls b = 4 ist!
sn = b²/2 * (1 - 1/2^n)
n = 0
sn = 8 * 0 = 0
n = 1
sn = 8 * 0,5 = 4
n = 2
sn = 8 * 0,75 = 6
n = 3
sn = 8 * 0,875 = 7
n = 4
sn = 8 * 0,9375 = 7,5
Sn = b²/2 * (1 + 1/2^n)
n = 0
Sn = 8 * 2 = 16
n = 1
Sn = 8 * 1,5 = 12
n = 2
Sn = 8 * 1,25 = 10
n = 3
Sn = 8 * 1,125 = 9
n = 4
Sn = 8 * 1,0625 = 8,5
2) Gegeben sei die Funktion f(x) = x.
a) Skizzieren Sie die Punktmenge, die durch den Graph von f, die x-Achse und die
Geraden x = 2 und x = 7 begrenzt wird!
27.11.2009
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Punktmenge unter Verwendung Ihnen
bereits bekannter Inhaltsformeln!
A1= 2 * 5
A1 = 10
A2 = (5 * 5) / 2
A2 = 12,5
A = 22,5
c) Wie kann man den Flächeninhalt dieser Punktmenge unter Verwendung des
Ergebnisses des Beispiels 1 erhalten?
b
∫ f(x) dx = b²/2 = 25/2
0
7
∫ f(x) dx = 7²/2 = 49/2 = 24,5
0
2
∫ f(x) dx = 4/2 = 2
0
24,5 - 2 = 22,5
3a) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f(x) = (1/4)x² - 5 im Intervall [0; 4]!
x 0
1 2
3 4
f(x) -5 -4,75 -4
-2,75 -1
b) Berechnen Sie sn und Sn für n = 0, 1 und 2!
in jedem Teilintervall größter Funktionswert = Mi
in jedem Teilintervall kleinster Funktionswert = mi
(Ist f eine konstante Funktion, so ist stets mi = Mi.)
2^n Teilintervalle
Sn =
2^n
Σ Mi * Δx
i=1
n = 0
Sn = -1 * 4 = -4
n = 1
Sn = -8 - 2 = -10
n = 2
Sn = -4,75 - 4 - 2,75 - 1 = -12,5
Sn wird mit zunehmendem n immer kleiner.
sn =
2^n
Σ mi * Δx
i=1
n = 0
sn = -20
n = 1
sn = -10 - 8 = -18
n = 2
sn = -5 - 4,75 - 4 - 2,75 = -16,5
sn wird mit zunehmendem n immer größer
c) Zeichnen Sie für die unter b) vorgenommenen Zerlegungen des Intervalls [0; 4]
die entsprechenden Rechtecke.
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Inhalten der Rechtecke und den Zahlen
sn und Sn?
sn = gesamter Flächeninhalt der größten Rechtecke innerhalb der Fläche
Sn = gesamter Flächeninhalt der kleinsten Rechtecke außerhalb der Fläche
Existenz des bestimmten Integrals
3) Berechnen Sie
lim k/2n
n→∞
lim k/2n = 0
n→∞
4) Geben Sie drei rationale und drei irrationale Zahlen an, und markieren Sie
diese auf der Zahlengeraden!
rational: 2, 3, 4
irrational: √2, √3,
√5
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) =
1, wenn x rational
2, wenn x irrational.
Diese Funktion ist nicht stetig und auch nicht monoton.
Sie hat aber in jedem abgeschlossenen Teilintervall einen kleinsten und einen
größten Funktionswert.
[a; b] in 2^n Teilintervalle
Δx = (b - a) / 2^n
In jedem der 2^n Teilintervalle liegt wenigstens eine rationale und eine
irrationale Zahl.
kleinster Funktionswert mi = 1
größter Funktionswert Mi = 2
sn =
2^n
Σ mi * Δx =
i=1
2^n
Σ Δx =
i=1
2^n * (b - a) / 2^n = b - a
Sn =
2^n
Σ Mi * Δx =
i=1
2^n
Σ 2 * Δx =
i=1
2 * 2^n * (b - a) / 2^n = 2(b - a)
Die Folgen (sn) und (Sn) sind konstant.
lim sn = b - a
n→∞
lim Sn = 2(b - a)
n→∞
Ergebnis: Wegen
lim sn
n→∞
≠
lim Sn
n→∞
existiert das bestimmte Integral der Funktion f im Intervall [a; b] nicht.
Sowohl die Monotonie als auch die Stetigkeit sind hinreichend (ausreichend),
aber nicht
notwendig für die Existenz des bestimmten Integrals.
Satz 1
Wenn f eine im Intervall [a; b] monotone Funktion ist, so existiert
b
∫ f(x) dx.
a
Satz 2
Wenn f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion ist, so existiert
b
∫ f(x) dx.
a
Beweis Satz 1
Es sei f eine im Intervall [a; b] monotone wachsende Funktion.
2^n gleich lange Teilintervalle
Δx = (b - a) / 2^n
i-te Teilintervall [xi-1; xi]
i = 1,2, ...,2^n
f wächst monoton deshalb:
kleinster Funktionswert im i-ten Intervall mi = f(xi-1)
größter Funktionswert im i-ten Intervall Mi = f(xi)
sn =
2^n
Σ mi * Δx
i=1
sn =
2^n
Σ f(xi-1) * Δx
i=1
Sn =
2^n
Σ Mi * Δx
i=1
2^n
Σ f(xi) * Δx
i=1
lim sn
n→∞
= oder ≠
lim Sn
n→∞
lim sn
n→∞
=
lim Sn
n→∞
ist gewiss erfüllt wenn (Sn - sn) eine Nullfolge ist.
Sn - sn = Δx[f(x2^n) - f(x0)]
x2^n = b
x0 = a
Δx = (b - a) / 2^n
Sn - sn = (b - a) / 2^n * [f(b) - f(a)]
für (b - a) * [f(b) - f(a)] wird k gesetzt
Seite 240
Die Folge (k / 2^n) ist eine Nullfolge. Also gilt
lim sn
n→∞
=
lim Sn.
n→∞
5) Berechnen Sie
k
Σ 1!
i=1
k
Σ 1 = k
i=1
Beispiel 3)
Zu berechnen ist der Flächeninhalt der Punktmenge Q, die vom Graph der Funktion
f(x) = x² + 1, der x-Achse, der y-Achse und
der Geraden x = 1 begrenzt wird.
Lösung:
f(x) = x² + 1 ist im Intervall [0; 1] monoton
es existiert danach das bestimmte Integral
1
∫ x² + 1 dx
0
=
lim sn
n→∞
=
lim Sn.
n→∞
Seite 241
24.12.2009
Dieser gemeinsame Grenzwert ist der Flächeninhalt A der Punktmenge Q.
Es reicht also die Ermittlung des Grenzwerts der Folge (Sn).
Sn = 1/2^n *
2^n
Σ [(i/2^n)² + 1]
i=1
Beispiel
4 Rechtecke:
Intervalle (x-Werte):
Intervalle (x-Werte): [0; 0,25], [0,25; 0,5], [0,5; 0,75], [0,75; 1]
f(0,25) = 1,0625
f(0,5) = 1,25
f(0,75) = 1,5625
f(1) = 2
Gesamtinhalt der Rechtecke: (1,0625 + 1,25 + 1,5625 + 2) / 4 =
1,46875
4 Rechtecke, n = 2
Sn = 1/4 *
4
Σ [(i/4)² + 1] =
1,46875
i=1
Sn = 1/2^n *
2^n
Σ [(i/2^n)² + 1]
i=1
für 2^n = k
Sn = 1/k *
k
Σ [(i/k)² + 1]
i=1
Sn = 1/k * [
k
Σ i²/k²
i=1
+
k
Σ 1 ]
i=1
laut Aufgabe 5)
k
Σ 1 = k
i=1
Sn = 1/k * [
k
Σ (i²/k²) + k]
i=1
Sn = 1/k *
k
Σ (i²/k²) + 1
i=1
Sn = 1/k³ *
k
Σ i² + 1
i=1
Summenformel für
k
Σ i²
i=1
k
Σ i² = [k(k + 1)(2k + 1)] / 6
i=1
Sn = 1/k³ * [(k(k + 1)(2k + 1)) / 6] + 1
Sn = 1/k³ * [(2k³ + 3k² + k) / 6] + 1
lim Sn = ((2 + 3/k + 1/k²) / 6) + 1
n→∞
lim Sn = (2/6) + 1
n→∞
lim Sn = 8/6 = 4/3
n→∞
A =
1
∫ (x² + 1) dx = 4/3
0
Aufgaben:
1) Begründen Sie, dass folgende Integrale existieren!
3
∫ 1/x dx
2
Die Funktion f(x) = 1/x ist im geschlossenen Intervall [2; 3] stetig und
monoton. Entsprechend Satz 1
und Satz 2 existiert das
bestimmte Integral.
π/3
∫ sin x dx
π/6
Die Funktion f(x) = sin x ist im geschlossenen Intervall [π/6; π/3] stetig und
monoton. Entsprechend Satz 1
und Satz 2 existiert das
bestimmte Integral.
2) Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = 0,5x + 1, wenn -1 ≤ x ≤ 2
= x + 1, wenn 2 < x ≤ 4.
a) Skizzieren Sie den Graph dieser Funktion!
b) Begründen Sie, dass
4
∫ f(x) dx existiert!
-1
Die Funktion f wächst im geschlossenen Intervall [-1; 4] monoton. Entsprechend Satz 1 existiert das
bestimmte Integral.
3) Gegeben sei die Funktion f(x) = 2x + 1.
a) Skizzieren Sie die Punktmenge Q, die durch den Graph von f, die x-Achse und
die Geraden x = 1 und x = 4 begrenzt wird!
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt von Q unter Verwendung Ihnen bereits
bekannter Inhaltsformeln!
Ages = A1 + A2
A1 = 3 * 3 = 9
A2 = (3 * 6) / 2 = 9
Ages = 18
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt von Q mit Hilfe der Integralrechnung!
Sn = gesamter Flächeninhalt der kleinsten Rechtecke außerhalb der Fläche
n = 0 (1 Teilintervall)
S0 = 27
n = 1 (2 Teilintervalle)
S1 = 9 + 13,5 = 22,5
Sn =
2^n
Σ [(3 + i6/2^n) * 3/2^n]
i=1
2^n
Σ 3 = 3k
i=1
für 2^n = k
k
Σ i = k(k + 1) / 2
i=1
2^n
Σ i6/2^n = 6k(k + 1) / 2k = (6k² + 6k) / 2k =
3k + 3
i=1
3k * 3/k = 9
(3k + 3) * 3/k = 9 + 9/k
für k = 2^n
lim Sn = 9 + 9 + 9/k
n→∞
lim Sn = 9 + 9 + 9/2^n
n→∞
lim Sn = 18
n→∞
einfacher über Stammfunktion
f(x) = 2x + 1
[1; 4]
F(x) = x² + x
F(4) = 20
F(1) = 2
F(4) - F(1) = 18
30.12.2009
Erweiterung des Integralbegriffs, Additivität
[a; b] a und b sind Integrationsgrenzen
a = untere Integrationsgrenze
b= obere Integrationsgrenze
Definition:
b
∫ f(x) dx = -
a
a
∫ f(x) dx
b
a
∫ f(x) dx = -
a
a
∫ f(x) dx
a
Definition:
a
∫ f(x) dx = 0
a
Auftrag 6)
Berechnen Sie den Flächeninhalt der im Bild D 21 blau gerasterten Punktmenge!
A1 = 6 * 5 = 30
A2 = (2 * 4) / 2 = 4
A3 = (2 * 2) / 2 = 2
Ages = 36
mittels Integralrechnung:
7
∫ 0,5x + 3,5 dx = 24
3
+
9
∫ -x + 14 dx = 12
7
Seite 243
31.12.2009
Additivität des bestimmten Integrals
Satz
Existiert das bestimmte Integral einer Funktion f in einem Intervall [a; b] und
ist c eine beliebige
Zahl aus [a; b], so ist
b
∫ f(x)dx =
a
c
∫ f(x)dx +
a
b
∫ f(x)dx.
c
Aufgaben
Ermitteln Sie folgende Zahlen!
1a)
0
∫ x dx = 0
0
b)
π
∫ x^5 dx = 0
π
2a)
5
∫ sin x dx = 0
5
b)
-2
∫ (x² + x + 1) dx = 0
-2
3a)
b
∫ x dx = b²/2
0
b)
0
∫ x dx = -b²/2
b
4a)
b
∫ z dz = b²/2
0
b)
0
∫ t dt = -b²/2
b
5)
4
∫ (x³ + x) dx +
1
7
∫ (x³ + x) dx +
4
1
∫ (x³ + x) dx = 0
7
f(x) = x³ + x
Stammfunktion
F(x) = (x^4) / 4 + x² / 2
F4 = 72
F1 = 0,25 + 0,5 = 0,75
Fges1 = F4 - F1 = 71,25
F7 = 624,75
Fges2 = F7 - F4
Fges2 = 624,75 - 72 = 552,75
Fges3 = F1 - F7
Fges3 = 0,75 - 624,75
Fges3 = -624
Fges = Fges1 + Fges2 + Fges3 = 71,25 + 552,75 - 624 = 0
6)
0,3
∫ (x² + 1) dx +
0
1
∫ (x² + 1) dx = 4/3
0,3
f(x) = x² + 1
Stammfunktion
F(x) = x³ / 3 + x
F0,3 = 3,009
F1 = 4/3
Fges = F0,3 + F1 - F0,3 = F1 = 4/3
02.01.2010
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung
Das bestimmte Integral als Funktion der oberen Integrationsgrenze
Auftrag 7)
Berechnen Sie den Differenzenquotienten der Funktion f(x) = 2x² an einer
beliebigen Stelle x0,
und ermitteln Sie den Grenzwert des Differenzenquotienten für h→0.
1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:
D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert
D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h
h ≠ 0
D(h) = (2(x0 + h)² - 2x0²) / h
D(h) = (2x0² + 4x0h + 2h² - 2x0²) / h
D(h) = (4xoh + 2h²) / h
2. Umformen des Differenzenquotienten:
h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.
D(h) = h * (4x0 + 2h) / h
D(h) = 4x0 + 2h
3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0
lim D(h) =
h→0
lim (4x0 + 2h) = (4x0 + 0)
h→0
lim D(h) = 4x0
h→0
Die Funktion f(x) = 2x² ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = 4x0.
Auftrag 8)
Begründen Sie: Die Funktion F(x) = 2,5x² + √x
ist eine Stammfunktion von
f(x) = 5x + 1/2√x!
laut Definition des Begriffs Stammfunktion:
f und F sind in einem Intervall I definiert
F ' (x) = f(x) für jedes x ∈ I
Die Berechnung des bestimmten Integrals durch Rückgang auf die Folgen (sn) und
(Sn) ist
selbst bei einfachen Funktionen sehr aufwendig.
b
∫ x dx = b²/2
0
0
∫ x dx = 0
0
1
∫ x dx = 0,5
0
7
∫ x dx = 49/2
0
10
∫ x dx = 50
0
0,5
∫ x dx = 0,125
0
√2
∫ x dx = 1
0
10000
∫ x dx = 50000000 = 5 * 10^7
0
π
∫ x dx = π²/2
0
Seite 246
03.01.2010
b
∫ x dx = b²/2
0
Die Menge der geordneten Paare [b, b²/2] ist die Funktion Φ.
b
Φ(b) = ∫ x dx = b²/2
0
Φ ist also eine Funktion, deren Argument die obere Integrationsgrenze eines
bestimmten Integrals ist.
x
Φ(x) = ∫ t dt = x²/2
0
Φ ' (x) = x
Satz
Wenn f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion ist, so ist die Funktion Φ mit
x
Φ(x) = ∫ f(t) dt eine Stammfunktion von f in [a; b].
a
Beweis:
Es sei f eine beliebige im Intervall [a; b] stetige Funktion, Φ die Funktion
x
Φ(x) = ∫ f(t) dt.
a
1. Differenzenquotienten der Funktion Φ bilden
x
Φ(x) = ∫ f(t) dt
a
x+h
Φ(x+h) = ∫ f(t) dt
a
D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h
h ≠ 0
D(h) = (Φ(x+h) -
Φ(x)) / h
h muss so gewählt werden, das x + h im Intervall [a; b] liegt.
Additivität des bestimmten
Integrals
x
∫ f(t) dt +
a
x+h
∫ f(t) dt =
x
x+h
∫ f(t) dt
a
hieraus folgt:
x+h
∫ f(t) dt -
a
x
∫ f(t) dt =
a
x+h
∫ f(t) dt
x
(Φ(x+h) -
Φ(x)) / h =
x+h
∫ f(t) dt * 1/h
x
16.01.2010
2. Umformen des Differenzenquotienten
h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.
h > 0
[x; x + h]
Die Stellen x1 und x2 haben folgende Bedeutung:
f(x1) ist der jeweils kleinste Funktionswert von f im Intervall [x; x + h]
f(x2) ist der jeweils größte Funktionswert von f im Intervall [x; x + h]
h ist die Differenz zwischen x und x + h.
f(x1) * h ≤
x+h
∫ f(t) dt ≤
x
f(x2) * h
nochmals f(t) und nicht f(x)
Es kommt auf die Wahl der Integrationsvariablen nicht an.
Natürlich kann man als Integrationsvariablen nicht eine der Integrationsgrenzen
wählen.
Begründung: Integrationsgrenze fest und nicht variabel.
f(x1) ≤
x+h
∫ f(t) dt * 1/h ≤
x
f(x2)
lim f(x1) ≤
h→0
x+h
lim ∫ f(t) dt * 1/h ≤
h→0 x
lim f(x2)
h→0
3. Berechnung des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0
lim f(x1) = f(x)
h→0
lim f(x2) = f(x)
h→0
lim (Φ(x+h) - Φ(x)) / h = f(x)
h→0
Beweis beendet
Durch diesen Beweis ist auch gesichert:
Jede in [a; b] stetige Funktion hat dort eine Stammfunktion.
unbestimmtes Integral
Die Menge aller Stammfunktionen von f im Intervall I wird als das unbestimmte
Integral bezeichnet.
∫ f(x) dx
Beispiel:
f(x) = x² - 1
∫ f(x² - 1) dx = x³/3 - x + c
c ∈ R
Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung
Berechnung bestimmter Integrale
Wie erhält man die Zahl
b
∫ f(x) dx mit Hilfe von F?
a
x
∫ f(t) dt ist ebenfalls Stammfunktion von f in [a; b]
a
b
∫ f(x) dx = Φ(b)
a
x
∫ f(t) dt = Φ(x)
a
Φ(b) = F(b) + c
Φ(x) = F(x) + c
a
∫ f(t) dt = Φ(a) = 0
a
Φ(a) = F(a) + c
c = - F(a)
Φ(b) = F(b) + c
Φ(b) = F(b) - F(a)
b
∫ f(x) dx = F(b) - F(a)
a
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Ist f eine im Intervall [a; b] stetige Funktion und F irgendeine Stammfunktion
von f, so ist
b
∫ f(x) dx = F(b) - F(a).
a
Für die Differenz F(b) - F(a) schreibt man auch
b
[F(x)]a.
9) Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils eine Stammfunktion an!
a) f(x) = 1/x²
(u / v)' = (u'v - uv') / v²
F(x) = -1/x
b) f(x) = √x
F(x) = 2/3 * √x³
c) f(x) = 1/√x
F(x) = 2√x
Seite 250
28.01.2010
Beispiel 5)
Das bestimmte Integral
1
∫ (x² + 1) dx ist zu berechnen.
0
f(x) = x² + 1
F(x) = x³/3 + x
F(1) - F(0) =
4/3 - 0 = 4/3
Beispiel 6)
Das bestimmte Integral
3
∫ 1/x² dx ist zu berechnen.
1
f(x) = 1/x²
F(x) = -1/x
F(3) - F(1) =
-1/3 - (-1) = 2/3
Beispiel 7)
Das bestimmte Integral
3
∫ (x³ - 2x² + 0,4x + 1/3) dx ist zu berechnen.
-1
f(x) = x³ - 2x² + 0,4x + 1/3
F(x) = (1/4)x^4 - (2/3)x³ + (1/5)x² + (1/3)x
F(3) - F(-1) =
101/20 - 47/60 = 64/15
Beispiel 8)
Das bestimmte Integral
9
∫ √x dx ist zu berechnen.
1
f(x) = √x
F(x) = (2/3) * √x³
F(9) - F(1) =
18 - 2/3 = 52/3
Regeln
b
∫ f(x) + g(x) dx
a
=
b
∫ f(x) dx
a
+
b
∫ g(x) dx
a
b
∫ k * f(x) dx
a
=
b
k * ∫ k * f(x) dx
a
Aus den Regeln für das Aufsuchen von Stammfunktionen
a) Ist F eine Stammfunktion von f und G eine Stammfunktion von g, so ist F + G
eine Stammfunktion von f + g.
b) Ist F eine Stammfunktion von f und c eine beliebige reelle Zahl, so ist c * F
eine Stammfunktion von c * f.
30.01.2010
Beispiel 9)
4
∫ (5x + 1/√x) dx
2
f(x) = 5x
F(x) = 2,5x²
F(4) - F(2) =
40 - 10 = 30
g(x) = 1/√x
G(x) = 2√x
G(4) - G(2) =
4 - 2√2
4
∫ (5x + 1/√x) dx = 34 - 2√2
2
Durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung werden die von völlig
unterschiedlichen
Problemstellungen her entwickelten Theorien (Differentialrechnung,
Integralrechnung) zusammengeführt.
Diesen Zusammenhang erstmalig erkannt und angewendet haben Leibnitz (1646 -
1716) und Newton (1643 - 1727).
Aufgaben
Berechnen Sie folgende Integrale!
1)
3
∫ x dx = 4,5
0
3
∫ x dx = 0
3
1
∫ 2 dx = 4
-1
-1
∫ (-3) dx = 1,5
-0,5
1
∫ (-1/3)t dt =
-1
1
(-1/3) * ∫ t dt =
-1
(-1/3) * 0 = 0
2)
4
∫ x dx = 7,5
1
4
∫ 2x dx = 15
1
0,5
∫(-3) dx = -3
-0,5
1
∫ 2x dx = -15
4
0,5
∫ (1/5)s ds = -1/5
-1,5
2
∫ ab² db = (7/3)a
1
3)
7
∫ (-x²/5 - x) dx = -234/5
1
4
∫ 1/x² dx = 3/4
1
3
∫ 4/r^4 dr =
1
3
4 * ∫ r^-4 dr =
1
f(r) = r^-4
F(r) = (r^-3) / -3
F(r) = -1/3r^3
F(3) = -1/81
F(1) = -1/3
F(3) - F(1) = 26/81 * 4 = 104/81
4
∫ (x² + x + 1) dx = 100/3
0
1
∫ (1/x² + 1/x³) dx = -7/8
2
4)
0
∫ (3x² + x - 1) dx = 4
-2
-2
∫ x^-3 dx =
-3
-2
∫ 1/x³ dx = -5/72
-3
-1
∫ 3t^-5 dt = -45/64
-2
0
∫ (x³ + x² + x + 1) dx = 7/12
-1
-1
∫ (4/x³ - 3/x^4) dx = -19/8
-2
5)
7
∫ √x dx
2
f(x) = √x
f(x) = x^1/2
F(x) = 2/3 * x^3/2
F(7) = 14√7 / 3
F(2) = 4√2 / 3
F(7) - F(2) = 10,46
5
∫ p^-0,5 dp
1
f(p) = 1/√p
F(p) = 2√p
F(5) = 2√5
F(2) = 2
F(5) - F(2) = 2,47
4
∫ 5x^0,25 dx
1
f(x) = 5x^0,25
F(x) = 4x^5/4
F(4) - F(1) =
22,627417 - 4 = 18,627417
3
∫ (x + x^1/3) dx = 3,855
2
1
∫ (2 + √4x) dx = 3,33333
0
f(x) = 2
F(x) = 2x
F(1) - F(0) = 2
f(x) = √4x
f(x) = 2√x
F(x) = 2 * 2/3 * x^1,5
F(x) = 4/3 * √x³
F(1) - F(0) = 4/3
6)
8
∫ x^1/3 dx
1
f(x) = x^1/3
F(x) = 3/4 * x^4/3
F(8) - F(1) = 12 - 0,75 = 11,25
4
∫ q^-1/3 dq
1
f(q) = q^-1/3
F(q) = 3/2 * q^2/3
F(4) - F(1) = 2,2797
4
∫ 5/x^1/4 dx
1
4
∫ 5x^-1/4 dx
1
f(x) = 5x^-1/4
F(x) = 20/3x^3/4
F(4) - F(1) = 12,1895
2
∫ (1 - 1/x^1/3) dx = 0,1189
1
2
∫ (1 - x^-1/3) dx
1
f(x) = 1
F(x) = x
F(2) - F(1) = 1
f(x) = x^-1/3
F(x) = 3/2 * x^2/3
F(2) - F(1) = 0,8811
1
∫ (5 -
(8x)^1/3) dx = 3,5
0
f(x) = 5
F(x) = 5x
F(1) - F(0) = 5
f(x) = (8x)^1/3
f(x) = 2 * x^1/3
F(x) = 2 * 3/4 * x^4/3
F(x) = 3/2 * x^4/3
F(1) - F(0) = 1,5
06.03.2010 Paul Dose
7) Berechnen Sie die bestimmten Integrale der Funktion
f(x) = x³ - 6x² + 10x in den Intervallen [0; 2], [2; 4] und [0; 4]!
F(x) = 0,25x^4 - 2x³ + 10x
2
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 8
0
4
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 8
2
4
∫ (x³ - 6x² + 10x) dx = 16
0
Berechnung von
Integralen verketteter Funktionen
Beispiel 10)
3
∫ √5x + 3 dx = 9,4895
0
Lösung:
g(x) = √5x + 3
z(x) = 5x + 3
f(z) = √z
F(z) = 2/3 * z^3/2
F(z(x)) = 2/3 * (5x + 3)^3/2
Überprüfung durch Anwendung der Kettenregel
f ' (x) = [u(v(x0))] ' = u ' (v(x0)) * v ' (x0)
[2/3 * (5x + 3)^3/2] ' =
5√5x
+ 3
[2/3 * (5x + 3)^3/2] ' = 5√5x + 3
/ beide Seiten durch 5 dividieren
[2/15 * (5x + 3)^3/2] ' = √5x + 3
G(x) = 2/15 * (5x + 3)^3/2
G(3) - G(0) =
2/15 * √18³ - 2/15 * √3³
= 9,4895
Ist F eine Stammfunktion von f (äußere Funktion), so ist
x2
∫ f(ax + b) dx =
x1
x2
[1/a * F(ax + b)]
x1
Beispiel 11)
x2
∫ (ax + b)^n dx
x1
n > 0
x1 < x2
ax + b ≥ 0
Lösung:
g(x) = (ax + b)^n
z(x) = ax + b
f(z) = z^n
F(z) = n/(n+1) * z^(n+1)/n
x2
∫ (ax + b)^n dx =
x1
x2
[1/a * n/(n+1) * (ax + b)^(n+1)/n]
x1
Aufgaben
Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale!
1a)
5
∫ (4x + 5)² dx
0
f(x) = (4x + 5)²
F(x) = 1/4 * 1/3 * (4x +
5)³
F(x) = 1/12 * (4x + 5)³
F(5) - F(0) = 1291,66
1b)
1
∫ 1/(2x - 6)³ dx
-1
f(x) = 1/(2x - 6)³
f(x) = (2x - 6)^-3
F(x) = 1/2 * -1/2 * (2x - 6)^-2
F(1) - F(-1) = -3/256
1c)
1
∫ (6t + 1)³ dt
-1
f(t) = (6t + 1)³
F(t) = 1/6 * 1/4 * (6t + 1)^4
F(t) = 1/24 * (6t + 1)^4
F(1) - F(-1) = 74
2a)
1
∫ (0,25x + 1)^4 dx
-1
f(x) = (0,25x + 1)^4
F(x) = 4 * 1/5 * (0,25x + 1)^5
F(x) = 4/5 * (0,25x + 1)^5
F(1) - F(-1) = 2,251
2b)
3
∫ 1/(5 - x)² dx
-3
f(x) = 1/(5 - 1x)²
f(x) = (5 - 1x)^-2
F(x) = -1/-1 * (5 - x)^-1
F(x) = (5 - x)^-1
F(3) - F(-3) = 1/2 - 1/8 = 3/8
2c)
2
∫ 4/(4t + 3)³ dt
0
f(t) = 4/(4t + 3)³
f(t) = 4 * (4t + 3)^-3
F(t) = 4 * 1/4 * -1/2 * (4t + 3)^-2
F(t) = -0,5 * (4t + 3)^-2
F(2) - F(0) = 56/1089
3a)
1
∫ (2x + 5)^2/3 dx
-1
f(x) = (2x + 5)^2/3
F(x) = 1/2 * 3/5 * (2x + 5)^5/3
F(x) = 3/10 * (2x + 5)^5/3
F(1) - F(-1) = 5,8124
3b)
0
∫ dx / √5 - 3x
-1
f(x) = 1 / √5 - 3x
f(x) = (5 - 3x)^-1/2
F(x) = -1/3 * 2 * (5 - 3x)^1/2
F(x) = -2/3 * √5 - 3x
F(0) - F(-1) = 0,3949
3c)
1
∫ dx / (x + 2)^1/3
0
f(x) = (x + 2)^-1/3
F(x) = 3/2 * (x + 2)^2/3
F(1) - F(0) = 0,739
Flächenberechnungen
Punktmengen, die oberhalb der x-Achse liegen
12) Berechnen Sie die Nullstellen folgender Funktionen!
a) f(a) = a² - 7,5a + 12,5
0 = a² - 7,5a + 12,5
a1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q
a1/2 = 3,75 +- √14,0625 - 12,5
a1/2 = 3,75 +- √1,5625
a1/2 = 3,75 +- 1,25
a1 = 5
a2 = 2,5
b) f(x) = -x² + 4x + 5
0 = -x² + 4x + 5 //*-1
0 = x² - 4x - 5
x1/2 = -p/2 +- √(p/2)² - q
x1/2 = 2 +- √4 + 5
x1/2 = 2 +- 3
x1 = 5
x2 = -1
Darstellung von Funktionen online
∫ Δ ε √ ≤ ≥ ≙ π Σ ∈ ≠ ² ³ n ± n→∞ x→x0 Φ