Mathematik Sekundarstufe II Petra Konitzer-Haars

zwischen Gender und Golf
zwischen Gender Mainstreaming und Golfclub Lohersand

C  Differentialrechnung



Differential mathematisch = unendlich kleine Differenz    15.06.2009

Beispiel 1   

Ein Fahrzeug fährt von A nach B.

t1 Start

[t1, t2] Beschleunigung

[t2, t3] gleichförmige Bewegung

[t3, t4] Verzögerung

t4 Stillstand

[t5, t6] Beschleunigung

[t6, t7] gleichförmige Bewegung

[t7, t8] Verzögerung

t8 Ziel erreicht

Durchschnittsgeschwindigkeit:

AB  / (t8 - t1)

Das Fahrzeug hat zu jedem Zeitpunkt t mit t1 ≤ t ≤ t8
eine bestimmte Augenblicksgeschwindigkeit.

Was versteht man bei einer ungleichförmigen Bewegung unter der
Augenblicksgeschwindigkeit zu einem beliebigen Zeitpunkt?


Beispiel 2

Die Herstellung von Containern mit geringem Oberflächeninhalt bei
gleichem Volumen. Der Oberflächeninhalt A0 hängt von seinen Kantenlängen
a, b und c ab.

z.B.

b = a/2

Volumen V vorgegeben

Funktion f

A0 = f(a) = a² + (6V / a)    a > 0

V = 9 m³

f(a) = a² + (54 / a)    a > 0

a     1         2         3         4         5

f(a) 55       31       27       29,5    35,8

Die Funktion hat bei a = 3 ihren kleinsten Funktionswert (Minimum).
An dieser Stelle hat der Graph von f eine Tangente, deren Anstieg 0 ist.

Wie kann man die Stelle, an der die Funktion f ihr Minimum annimmt berechnen?
Hat der Graph einer gegebenen Funktion f an einer gegebenen Stelle x0 eine Tangente,
und welchen Anstieg hat die Tangente gegebenenfalls?

Antwort auf alle diese Fragen gibt die Differentialrechnung.


Geschichte der Differentialrechnung

- 17. Jahrhundert
- Isaac Newton (1643 bis 1727)
- Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646 bis 1716) Der Begriff Differentialrechnung stammt von ihm.
- Übergang Feudalismus zum Kapitalismus
- Übergang von der Mathematik der konstanten Größen zur Mathematik der Variablen
- Anforderungen der Naturwissenschaften (freie Fall, Wurf, Bewegung der Planeten)
- Anforderungen der Produktivkräfte (Konstruktion von Maschinen)

Aufgaben:

1) Zeichnen Sie die Graphen der folgenden linearen Funktionen!

a) f(x) = 2x - 3

x         0         1         2         3         4         5

f(x)    -3        -1        1          3        5         7


b) f(x) = 1/2x + 1

x        0         1        2        3        4        5

f(x)    1        1,5      2       2,5      3       3,5


c) f(x) = -1/2x + 1

x        0        1        2        3        4        5

f(x)    1       0,5      0     -0,5      -1     -1,5


d) f(x) = -2,5x - 0,5

x        0        1        2        3        4        5

f(x)  -0,5     -3     -5,5    -8     -10,5   -13


Welche Bedeutung haben die Koeffizienten m und n für den Verlauf des Graphen der Funktion f(x) = mx + n?

m ist die Steigung der Geraden.

m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

n ist der y-Wert für den Schnittpunkt des Graphen mit der y-Achse.
x = 0


2a) Berechnen Sie α unter Verwendung folgender Stücke!

AB = c = 35 mm
BC = a = 20 mm

tan α = 20 / 35

tan α = 4/7

α = 29,74°


b) Berechnen Sie die Länge der Höhe auf der Seite AC!

sin α = h / c

h = sin α * c

h = 0,4961 * 35

h = 17,36 mm


Ableitung einer Funktion

1 Anstieg einer Kurve in einem Punkt

1) Berechnen Sie folgende Grenzwerte!

a)

lim (2x + 7)
x→x0

lim (2x + 7) = (0 + 7)
x→0

lim (2x + 7) = 7
x→0


b)

lim (h + h²) / h
h→0

h * (1 + h) / 1 * h =

(1 + h) / 1

lim (1 + h) / 1 = (1 + 0) / 1
h→0

lim (1 + h) / 1 = 1
h→0


2) Geben Sie den Anstieg folgender Geraden an!

a)

P0(0;1)

P1(1;3)

m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

m = (3 - 1) / (1 - 0)

m = 2


b)

P0(0;1)

P1(2;0)

m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

m = (0 - 1) / (2 - 0)

m = -1/2


für 0 ≤ α < 90°

tan α = m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

für 90° < α < 180°

tan α' = (y0 - y1) / (x1 - x0)

α = 180° - α'

tan α = -tan α'


y1 = f(x1) = mx1 + n

y0 = f(x0) = mx0 + n


tan α = (mx1 + n - (mx0 + n)) / (x1 - x0)

tan α = m = m(x1 - x0) / (x1 - x0)

Der Anstieg m der Geraden g ist also der Tangens des Winkels, den g mit
der positiven Richtung der x-Achse einschließt.

Begriff Kurve = Graph einer Funktion

nichtlinearen Funktion

P0(x0; f(x0)

Ph(x0+h; f(x0+h)    h ≠ 0

mittlerer Anstieg der Kurve im Intervall [x0, x0+h] bzw. [x0+h, x0] falls h negativ

In der Mathematik ist es üblich den Argumentzuwachs durch h zu bezeichnen:


m = (f(x0+h) - f(x0) / (x0+h - x0)

m = (f(x0+h) - f(x0) / h

Dieser mittlere Anstieg ist der Anstieg der Geraden, die durch die Punkte
P0 und Ph verläuft. Diese Gerade nennt man Sekante der Kurve.


3) Gegeben sei die Funktion f(x) = x². Berechnen Sie die Anstiege derjenigen Sekanten,
die durch die Punkte

P0(0,5; f(0,5)

Ph(0,5+h; f(0,5+h)

gehen für die folgenden Zahlen h!

a) 1; 0,1; 0,01

m = (f(x0+h) - f(x0) / h

h = 1

m = (1,5² - 0,5²) / 1

m = 2


h = 0,1

m = (0,6² - 0,5²/ 0,1

m = 11/10


h = 0,01

m = ((51/100)² - 0,5²) / 0,01

m = 101/100


b) -1; -0,1; -0,01

m = (f(x0+h) - f(x0) / h    h ≠ 0

h = -1

m = ((-0,5)² - 0,5²) / -1

m = (0,25 - 0,25) / -1

m = 0

h = -0,1

m = (0,4² - 0,5²/ -0,1

m = 9/10


h = -0,01

m = ((49/100)² - 0,5²) / -0,01

m = 99/100


Was soll man unter dem Anstieg einer Kurve in einem gegebenen Punkt verstehen?

f(x) = x²

Umgebung der Stelle x0 = 0,5

beliebige reelle Zahl h    h ≠ 0

P0(0,5; f(0,5))

Ph(0,5+h; f(0,5+h))

m = (f(x0+h) - f(x0)) / h

m = (f(0,5+h) - f(0,5)) / h

m = ((0,5+h)² - (0,5)²) / h

m = (0,5² + h + h² - 0,5²) h

m = (h + h²) / h

geordnete Paare [h; (h + h²) / h]    h ≠ 0

[h; (h + h²) / h] ist eine Funktion

lim (h + h²) / h = 1
h→0

Diesen Grenzwert 1 nennt man Anstieg der Parabel y = x² an der Stelle
x0 = 0,5.

Definition Differenzenquotient
Ist f eine Funktion, die in der Umgebung U von x0 definiert ist, so nennt man die Funktion D
mit D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h den Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle x0.
h ≠ 0
x0+h Element U

Differenzenquotient:
Quotient aus der Differenz zweier Funktionswerte und der Differenz der entsprechenden Argumente (x-Werte).


17.06.2009

Anstieg der Kurve im Punkt P0 (an der Stelle x0)

lim (f(x0+h) - f(x0)) / h 
h→0

Die Gerade t durch den Punkt P0 deren Anstieg gleich dem Grenzwert ist heißt:
Tangente an den Graph von f im Punkt P0.
Die Anstieg der Tagente beschreibt den lokalen Verlauf der Kurve an der Stelle x0.


Tangensfunktion und Steigung m


Aufgaben:

1) Welchen Winkel bildet der Graph der Funktion

a) f(x) = 2x - 3 mit der der positiven x-Achse?
Ermitteln Sie den betreffenden Winkel zeichnerisch und unter
Verwendung einer Tabelle für die Tangesfunktion!

x         1         2

f(x)    -1         1

tan α = m = (y1 - y0) / (x1 - x0)

tan α = m = (1 - -1) / (2 - 1)

tan α = m = 2

α = 63,43°


b) f(x) = -0,5x + 1

x         1         2

f(x)    0,5        0

tan α' = (y0 - y1) / (x1 - x0)

tan α' = (0,5 - 0) / (2 - 1)

tan α' = 0,5

α' = 26,57°

tan α = -tan α'

tan α = -0,5

α = 153,43°


3)* Ermitteln Sie eine Gleichung für die Gerade g mit der Steigung m = 1,
und überzeugen Sie sich durch Rechnung davon, dass die Gerade g mit der Parabel
y = x² nur den Punkt P0(0,5; 05²) gemeinsam hat.

y = mx + n

y = 1x + n

P0(0,5; 05²)

0,5² = 1 * 0,5 + n

n = -0,25

y = x - 0,25

x² = x - 0,25

x² - x + 0,25 = 0

(x - 0,5)² = 0

x = 0,5


4) Berechnen Sie den Anstieg des Graphen der Funktion f(x) = x² an der Stelle -2!

f(x) = x²

Umgebung der Stelle x0 = -2

beliebige reelle Zahl h    h ≠ 0

P0(-2; f(-2))

Ph(-2+h; f(-2+h))

m = (f(x0+h) - f(x0)) / h

m = ((-2 + h)² - (-2)²) / h

m = (4 - 4h + h - 4) / h

m = (-4h + h²) / h

geordnete Paare [h; (-4h + h²) / h]    h ≠ 0

[h; (-4h + h²) / h] ist eine Funktion

lim (-4h + h²) / h
h→0

h * (-4 + h) / h * 1

(-4 + h) / 1

lim (-4h + h²) / h = -4
h→0

Der Anstieg des Graphen beträgt an dieser Stelle -4.


5) Berechnen Sie den Anstieg des Graphen der Funktion f(x) = 0,5x + 1 an einer beliebig gewählten Stelle x0!

f(x) = 0,5x + 1

Umgebung der Stelle x0

beliebige reelle Zahl h    h ≠ 0

P0(x0; f(x0))

Ph(x0+h; f(x0+h))

m = (f(x0+h) - f(x0)) / h

m = (05(x0+h) + 1 - (0,5x0 + 1)) / h

m = (0,5x0 + 0,5h + 1 - 0,5x0 - 1) / h

m = 0,5h / h

geordnete Paare [h; 0,5 / h]    h ≠ 0

[h; 0,5h / h] ist eine Funktion

lim 0,5h / h = 0,5
h→0

Der Anstieg des Graphen an jeder beliebigen Stelle beträgt 0,5.


2 Augenblicksgeschwindigkeit bei geradlinigen Bewegungen

lim (f(x0+h) - f(x0)) / h
h→0

Augenblicksgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0

lim (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt    Δt  ≠ 0    
Δt→0

Welche Augenblicksgeschwindigkeit hat ein frei fallender Körper zu einem beliebigen Zeitpunkt t0
mit t0 > 0, wenn die Bewegung zum Zeitpunkt t = 0 beginnt?

s = f(t)

s = g/2 * t²

Δt  ≠ 0  

lim (g/2 * (t0 + Δt)² - g/2 * (t0)²) / Δt    =
Δt→0

lim (g/2 * (to +  Δt)² - t0²) / Δt    =
Δt→0

lim (g/2 * t0² + 2toΔt + (Δt)² - t0²) / Δt    =
Δt→0

lim (g/2 * (2toΔt + (Δt)²) / Δt    =
Δt→0

lim (g/2 * Δt *  (2to + Δt)) / Δt    =
Δt→0

lim g/2 * (2to + Δt)    =  g/2 * (2t0 + 0)    = 
Δt→0

lim g/2 * (2to + Δt)    =  g * t0
Δt→0

Die Augenblicksgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t0 beträgt g * t0.


Aufgaben:

1) Ein Körper fällt von einem Turm mit der Höhe 100 m  frei nach unten.

g = Fallbeschleunigung = 9,81 m/s²

a) Welchen Weg legt er innerhalb der ersten 2 s zurück.

s = g/2 * t²

s = g/2 * 2²

s = 19,62 m


b) Nach wie viel Sekunden hat er den Erdboden erreicht?

s = g/2 * t²

t = √(2s/g)

t = 4,52 s


c) Berechnen Sie Δs/Δt für folgende Zeitdifferenzen Δt bezüglich des Zeitpunktes t0 = 2s!

Δs/Δt    =   Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t0 und t0+Δt
    
t0 = 2s
Δt = 1s
s = f(t)
s = g/2 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (to + Δt)² - t0²) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (2 + 1)² - 2²) / 1   

Δs/Δt = (g/2 *( 4 + 4 + 1 - 4)) / 1   

Δs/Δt = 24,53 m/s


t0 = 2s
Δt = 0,1s
s = f(t)
s = g/2 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (to + Δt)² - t0²) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (2 + 0,1)² - 2²) / 0,1   

Δs/Δt = (g/2 *( 4 + 0,4 + 0,01 - 4)) / 0,1   

Δs/Δt = 20,11 m/s


t0 = 2s
Δt = 0,01s
s = f(t)
s = g/2 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (to + Δt)² - t0²) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (2 + 0,01)² - 2²) / 0,01   

Δs/Δt = (g/2 *( 4 + 0,04 + 0,0001 - 4)) / 0,01   

Δs/Δt = 19,67 m/s


t0 = 2s
Δt = 0,0001s
s = f(t)
s = g/2 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (to + Δt)² - t0²) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (2 + 0,0001)² - 2²) / 0,0001   

Δs/Δt = (g/2 *( 4 + 0,0004 + 0,00000001 - 4)) / 0,0001   

Δs/Δt = 19,62 m/s


d) Welche Augenblicksgeschwindigkeit hat der Körper nach 2s?

Augenblicksgeschwindigkeit    =

lim Δs/Δt    =
Δt→0

lim (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt    Δt  ≠ 0    
Δt→0

t0 = 2s
s = f(t)
s = g/2 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (2 + Δt)² - t0²) / Δt   

Δs/Δt = (g/2 * (4 + 4Δt + Δt² - 4)) / Δt

Δs/Δt = (g/2 * (4Δt + Δt²) ) / Δt

Δs/Δt = (g/2 * Δt * (4 + Δt)) / Δt

lim g/2 * (4 + Δt) = g/2 * (4 + 0)
Δt→0

lim g/2 * (4 + Δt) = 2g
Δt→0

2g = 19,62 m/s


2) Es sei

f(t) = a * t²    für 0s ≤ t ≤ 2s

f(t) = bt - c    für 2s ≤ t ≤ 5s

a = 0,5 m/s
b= 2 m/s
c = 2m

die Weg-Zeitfunktion einer geradlinigen Bewegung.

a) Zeichnen Sie das Weg Zeit-Diagramm der Bewegung!

f(t) = 0,5t²

t        0        1        2

f(t)    0        0,5      2     


f(t) = 2t - 2

t        2        3        4        5

f(t)     2        4        6        8


b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Zeitintervalle

[0s, 0,5s]

f(t) = 05 * t²    für 0s ≤ t ≤ 2s

t0 = 0s
Δt = 0,5s
s = f(t)
s = 0,5 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((to + Δt)² - t0²)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((0 + 0,5)² - 0²)) / 0,5

Δs/Δt = 0,25 m/s


[0s, 5s]

[0s, 2s]

f(t) = 05 * t²    für 0s ≤ t ≤ 2s

t0 = 0s
Δt = 2 s
s = f(t)
s = 0,5 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((to + Δt)² - t0²)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((0 + 2)² - 0²)) / 2

Δs/Δt = 1 m/s

[2s, 5s]

f(t) = 2t - 2    für 2s ≤ t ≤ 5s   

t0 = 2 s
Δt = 3 s
s = f(t)
s = 2t - 2
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (f(5) - f(2)) / Δt 

Δs/Δt = (8 - 2) / 3

Δs/Δt = 2 m/s

V = (s1 + s2) / (t1 + t2)

V = (2 + 6) / (2 + 3)

V = 1,6 m/s

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für das Zeitintervall [0s, 5s] beträgt 1,6 m/s.


[1s, 2s]

f(t) = 05 * t²    für 0s ≤ t ≤ 2s

t0 = 1s
Δt = 1 s
s = f(t)
s = 0,5 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((1 + 1)² - 1²)) / 1

Δs/Δt = 1,5 m/s


[2s, 5s]

f(t) = 2t - 2    für 2s ≤ t ≤ 5s   

t0 = 2 s
Δt = 3 s
s = f(t)
s = 2t - 2
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (f(5) - f(2)) / Δt 

Δs/Δt = (8 - 2) / 3

Δs/Δt = 2 m/s


[1,5s, 3s]!

[1,5s, 2s]

f(t) = 05 * t²    für 0s ≤ t ≤ 2s

t0 = 1,5 s
Δt = 0,5 s
s = f(t)
s = 0,5 * t²
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (0,5 * ((1,5 + 0,5)² - 1,5²)) / 0,5

Δs/Δt = 1,75 m/s

[2s, 3s]

f(t) = 2t - 2    für 2s ≤ t ≤ 5s   

t0 = 2 s
Δt = 1 s
s = f(t)
s = 2t - 2
Δt  ≠ 0 

Δs/Δt = (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   

Δs/Δt = (f(3) - f(2)) / 1

Δs/Δt = (4 - 2) / 1

Δs/Δt = 2 m/s

V = (s1 + s2) / (t1 + t2)

V = (0,875 + 2) / (0,5 + 1)

V = 1,92 m/s

Die Durchschnittsgeschwindigkeit für das Zeitintervall [1,5s, 3s] beträgt 1,92 m/s.


c) Welche Augenblicksgeschwindigkeit hat der Körper zum Zeitpunkt t0 = 2 s?

f(t) = 05 * t²

t0 = 2s
s = f(t)
s = 0,5 * t²
Δt  ≠ 0 

lim (f(t0+Δt) - f(t0)) / Δt   
Δt→0

lim (0,5 * ((2 + Δt)² - 2²)) / Δt 
Δt→0

lim (0,5 * (4 + 4Δt + Δt² - 4)) / Δt 
Δt→0

lim 0,5 * (4Δt + Δt²) / Δt 
Δt→0

lim 0,5 * Δt * (4 + Δt) / Δt 
Δt→0

lim 0,5 (4 + Δt) = 0,5 * (4 + 0) 
Δt→0

lim 0,5 (4 + Δt) = 2
Δt→0

Zum Zeitpunkt t0 = 2 s hat der Körper eine Augenblicksgeschwindigkeit von 2 m/s.


3 Ableitung einer Funktion an einer Stelle

Differenzenquotient
D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

Da f in einer Umgebung U von x0 definiert ist, ist die Funktion D für alle Zahlen h mit h ≠ 0 und x0+h ∈ U definiert.

lim (f(x0+h) - f(x0)) / h 
h→0

Wenn dieser Grenzwert existiert, so nennt man die Funktion f an der Stelle x0 differenzierbar.

Definition
Es sei f eine Funktion, x0 eine Zahl; f sei in einer Umgebung von x0 definiert.
f ist an der Stelle x0 differenzierbar = Der Grenzwert
lim (f(x0+h) - f(x0)) / h  existiert.
h→0

Definition
Ist f eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion, so nennt man den Grenzwert
lim (f(x0+h) - f(x0)) / h 
h→0
die 1. Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 oder auch den Differentialquotienten
der Funktion f an der Stelle x0.


Schreibweise: f ' (x0)    (f Strich von x0)
An Stelle von "1. Ableitung" sagt man oft nur "Ableitung".

f(x) = x²
f ' (0,5) = 1

f(t) = g/2 * t²
f(t) = s
f ' (t0) = g * t0


4 Beispiele für die Berechnung von Ableitungen

6 Ermitteln Sie die Funktionswerte der Funktion f(x) = x³ an den Stellen 1,5 und 1,5 + h!

x            1,5                   1,5 + h

f(x)       3,375    h³ + 4,5h² + 6,75h + 3,375


(1,5 + h)³ = (1,5 + h)² * (1,5 + h)

(2,25 + 3h + h²) *  (1,5 + h) =

3,375 + 2,25h + 4,5h + 3h² + 1,5h² + h³ =

h³ + 4,5h² + 6,75h + 3,375


7 Es ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = x³ an der Stelle x0 = 1,5 differenzierbar ist.

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle 1,5:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von 1,5 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

x0 = 1,5
h ≠ 0

D(h) = ((1,5 + h)³ - 1,5³) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = (h³ + 4,5h² + 6,75h + 3,375 - 1,5³) / h

D(h) = (h³ + 4,5h² + 6,75h) / h

D(h) = h * (h² + 4,5h + 6,75) / h

D(h) = h² + 4,5h + 6,75


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (h² + 4,5h + 6,75)    =
h→0

lim h²    +    lim 4,5h    +    lim 6,75  =  6,75
h→0           h→0               h→0

Die Funktion f(x) = x³ ist an der Stelle 1,5 differenzierbar.
Es ist f ' (1,5) = 6,75.


8 Für eine beliebige reelle Zahl x0 ist die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + x² an der Stelle x0 zu berechnen.

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

x0 = beliebig reell
h ≠ 0

D(h) = ((x0 + h)³ + (x0 + h)² - x0³ - x0²) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = ((x0 + h)³ + (x0 + h)² - x0³ - x0²) / h

(x0 + h)³ = (x0 + h)² * (x0 + h)

(x0² + 2x0h + h²) * (x0 + h) = x0³ + x0²h + 2x0²h + 2x0h² + x0h² + h³ = x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³

(x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³ + x0² + 2x0h + h² - x0³ - x0²) / h

(3x0²h + 3x0h² + h³ + 2x0h + h²) / h

(h * (3x0² + 3x0h + h² + 2x0 + h)) / h

D(h) = 3x0² + 3x0h + h² + 2x0 + h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim 3x0² + 3x0h + h² + 2x0 + h = 3x0² + 0 + 0 + 2x0 + 0
h→0

lim 3x0² + 3x0h + h² + 2x0 + h = 3x0² + 2x0
h→0

f ' (x0) = 3x0² + 2x0

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + x² an der Stelle x0 ist f ' (x0) = 3x0² + 2x0,
wobei x0 eine beliebige reelle Zahl ist.


9 Die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x (x ≠ 0) an der Stelle x0 (x0 ≠ 0) ist zu berechnen.

Lösung

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle x0:

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

Es sei x0 eine beliebige reelle Zahl mit x0 ≠ 0.
Dann existiert eine Umgebung U von x0 derart, dass f in U definiert ist und f(x) ≠ 0
für alle x ∈ U gilt.

f(x0 + h) = 1 / (x0 + h)

f(x0) = 1 / x0

D(h) = (1 / (x0 + h) - 1 / x0) / h    (x0 ≠ 0, x0 + h ∈ U)


2. Umformen des Differenzenquotienten:

D(h) = (1 / (x0 + h) - 1 / x0) / h    (x0 ≠ 0, x0 + h ∈ U)

1 / (x0 + h) - 1 / x0

x0 / (x0 * (x0 + h)) - (x0 + h) / (x0 * (x0 + h))

(x0 - x0 - h) / (x0 * (x0 + h))

D(h) = 1/h * - h / (x0 * (x0 + h))

D(h) = -1 / (x0 * (x0 + h))


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim -1 / (x0 * (x0 + h)) = -1 / (x0 * (x0 + 0))
h→0

lim -1 / (x0 * (x0 + h)) = -1 / x0²  
h→0

f ' (x0) = -1 / x0²  

Die Ableitung der Funktion f(x) = 1/x an der Stelle x0 (x0 ≠ 0) ist f ' (x0) = -1 / x0².  


10 Es ist eine Gleichung für die Tangente an den Graph der Funktion f(x) = 1/x (x ≠ 0)
an der Stelle -2 zu ermitteln und der Schnittwinkel α dieser Tangente mit der x-Achse anzugeben.

f(x) = 1/x
x0 = -2
P(x0; f(x0)
P(-2, -1/2)

y = mx + n
m =  f ' (x0) = -1 / x0² 
y = -1/4x + n

-1/2 = -1/4 * -2 + n
-1/2 = 1/2 + n
n = -1

y = -1/4x - 1

Die Gleichung der Tangente an der Stelle -2 lautet y = -1/4x - 1.

Schnittwinkel α

x0 = -2
m = tan α  =  f ' (x0) = -1 / x0² = -1/4
tan α = -tan α'
tan α = -1/4
α = 180° - 14,036°
α = 165,96°


Aufgaben:

Bestimmen Sie jeweils die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0!

1a) f(x) = x³;    x0 = √3

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle √3 :

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von √3 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

x0 = √3
h ≠ 0

D(h) = ((1,5 + √3)³ - √3³) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = ((√3 + h)³ - (√3)³) / h

(√3 + h)³ = (√3 + h)² * (√3 + h) = (3 + 2h√3 + h²) * (√3 + h)

(3 + 2h√3 + h²) * (√3 + h) = 3√3 + 3h + 2h3 + 2h²√3 + h²√3 + h³

3√3 + 3h + 2h3 + 2h²√3 + h²√3 + h³ = 3√3 + 3h + 2h3 + 3h²√3 + h³

D(h) = (3√3 + 9h + 3h²√3 + h³ - 3√3) / h

D(h) = (9h + 3h²√3 + h³) / h

D(h) = h * (9 + 3h√3 + h²) / h

D(h) = (9 + 3h√3 + h²)


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (9 + 3h√3 + h²)  =  (9 + 0 + 0)
h→0

lim D(h) = 9
h→0

Die Funktion f(x) = x³ ist an der Stelle √3 differenzierbar.
Es ist f ' (√3) = 9.


b) f(x) = 2x - 3;    x0 = -0,5

Der Graph der Funktion ist eine Gerade. Deshalb ist die Steigung m an jeder beliebigen Stelle x0 gleich 2.

f ' (-0,5) = 2


2a) f(x) = x³ - 2;    x0 = √3

Die Funktion f(x) = x³ - 2 ist an der Stelle √3 differenzierbar.
Es ist f ' (√3) = 9. Der Graph der Funktion f(x) = x³ - 2 ist gegenüber dem
Graph der Funktion f(x) = x³ um 2 Stellen nach unter verschoben.


b) f(x) = 2x²;    x0 = 2

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle 2:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von 2 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

x0 = 2
h ≠ 0

D(h) = (2 * (2 + h)² - 2 * 2²) / h

D(h) = (8 + 8h + 2h² - 8) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = (8 + 8h + 2h² - 8) / h

D(h) = (8h + 2h²) / h

D(h) = h * (8 + 2h) / h

D(h) = 8 + 2h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (8 + 2h) =  (8 + 2 * 0)
h→0

lim D(h) = 8
h→0

Die Funktion f(x) = 2x² ist an der Stelle 2 differenzierbar.
Es ist f ' (2) = 8.


3) Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen an jeder Stelle x0 ihres Definitionsbereiches
differenzierbar sind, indem Sie jeweils f ' (x0) bestimmen!

a) f(x) = x

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = ((x0 + h) - x0) / h

D(h) = 1


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim 1 = 1
h→0

Die Funktion f(x) = x ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = 1.


b) f(x) = x²

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = ((x0 + h)² - x0²) / h

D(h) = (x0² + 2x0h + h² - x0²) / h

D(h) = (2x0h + h²) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = h * (2x0 + h) / h

D(h) = 2x0 + h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (2x0 + h) = (2x0 + 0)
h→0

lim D(h) = 2x0
h→0

Die Funktion f(x) = x² ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = 2x0.


c) f(x) = 1/2x²

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (1/2(x0 + h)² - 1/2x0²) / h

D(h) = (1/2(x0² + 2x0h + h²) - 1/2x0²) / h

D(h) = (1/2x0² + x0h + 1/2h² - 1/2x0²) / h

D(h) = (x0h + 1/2h²) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = h * (x0 + 1/2h) / h

D(h) = x0 + 1/2h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (x0 + 1/2h) = (x0 + 0)
h→0

lim D(h) = x0
h→0

Die Funktion f(x) = 1/2x² ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = x0.


d) f(x) = x³

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = ((x0 + h)³ - x0³) / h

(x0 + h)³ = (x0 + h)² * (x0 + h) = (x0² + 2x0h + h²) * (x0 + h)

(x0² + 2x0h + h²) * (x0 + h) = x0³ + x0²h + 2x0²h + 2x0h² + h²x0 + h³

x0³ + 2x0h² + h²x0 + h³ = x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³

D(h) = (x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³ - x0³) / h

D(h) = (3x0²h + 3x0h² + h³) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = (3x0²h + 3x0h² + h³) / h

D(h) = h * (3x0² + 3x0h + h²) / h

D(h) = 3x0² + 3x0h + h²


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (3x0² + 3x0h + h²) = (3x0² + 0 + 0)
h→0

lim D(h) = 3x0²
h→0

Die Funktion f(x) = x³ ist an jeder Stelle x0 differenzierbar.
Es ist f ' (x0) = 3x0².


4) Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graph der Funktion f
im Punkt P0(x0; f(x0)), wenn

a) f(x) = x³;    x0 = √3

Die Funktion f(x) = x³ ist an der Stelle √3 differenzierbar.
Es ist f ' (√3) = 9.

P0(√3; 3√3)

y = mx + n

m = 9

3√3 = 9√3 + n

n = 3√3 - 9√3

n = -6√3

y = 9x - 6√3


b) f(x) = 2x²;    x0 = 2

Die Funktion f(x) = 2x² ist an der Stelle 2 differenzierbar.
Es ist f ' (2) = 8.

P0(2; 8)

y = mx + n

m = 8

8 = 8*2 + n

n = -8

y = 8x - 8


Bestimmen Sie jeweils den Schnittwinkel α der Tangente mit der x-Achse!

f ' (√3) = tan α = 9

α = 83,66°


f ' (2) = tan α = 8

α = 82,87°


5 Ableitung einer Funktion in einem Intervall

f(x) = x ²

f ' (x) = 2x

x            -2        -1        0        1        2

f ' (x)      -4        -2        0        2        4

geordnete Paare [x; f ' (x)] ist eine Funktion

Aufgabe 7 bezieht sich auf die Funktion f(x) = x².

7a) Welche geometrische Bedeutung hat für eine beliebige Zahl x die Zahl f ' (x)?

f ' (x) ist der Anstieg des Graphen von f an der Stelle x.

b) Wie verhält sich die Funktion f für diejenigen Zahlen x, für die

f ' (x) > 0
f ' (x) = 0
f ' (x) < 0

gilt?

f ' (x) > 0
streng monoton steigend

f ' (x) = 0
Der Anstieg von f ist an der Stelle x = 0 gleich Null.       //bezieht sich auf die Funktion f(x) = x²

f ' (x) < 0
streng monoton fallend

Funktion f ist im Intervall I definiert
Funktion f ist im Intervall I differenzierbar
Menge der geordneten Paare [x; f ' (x)] mit x ∈ I ist eine Funktion.
Diese Funktion f ' heißt Ableitung von f in I.
Falls x eine beliebige Zahl aus I ist, so entspricht f ' (x) einer Zahl, keiner Funktion.
Ist f an jeder Stelle differenzierbar, dann erfolgt die Bezeichnung:
Ableitung von f

11a) Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = x³ + x² ist die Funktion f ' mit
f ' (x) = 3x² + 2x.

b) Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = 1/x (x ≠ 0) ist die Funktion f ' mit
f ' (x) = -1/x² (x ungleich 0).

c) Die Ableitung der Funktion f mit f(t) = g/2 * t² (t ≠ 0) ist die Funktion f ' mit
f ' (t) = gt.

8) Es sei c eine beliebige reelle Zahl.
Bestimmen Sie die Ableitung der konstanten Funktion f mit f(x) = c!
Interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch!

f ' (x) = 0

Der Graph der Funktion f ' entspricht im Verlauf der x-Achse.

Aufgaben:

1) Differenzieren Sie folgende Funktionen, und bestimmen Sie diejenigen Zahlen x, für die f ' (x) = 0 ist!

a) f(x) = x² + 2

 f(x) = x² + 2 entspricht dem Graphen der Funktion f(x) = x² um 2 Stellen nach oben verschoben.
Die Steigungen beider Graphen sind an jeder Stelle x0 gleich.

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = ((x0 + h)² + 2 - (x0² + 2)) / h

D(h) = (x0² + 2x0h + h² + 2 - x0² - 2) / h

D(h) = (2x0h + h²) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = (2x0h + h²) / h

D(h) = h * (2x0 + h) / h

D(h) = 2x0 + h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim (2x0 + h) = (2x0 + 0)
h→0

lim D(h) = 2x0
h→0

f ' (x) = 2x

x = 0

f ' (0) = 0


b) f(x) = 1/3x³

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an jeder Stelle x0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (1/3(x0+h)³ - 1/3x0 ³) / h

(x0 + h)³ = (x0 + h)² * (x0 + h) = (x0² + 2x0h + h²) * (x0 + h)

(x0² + 2x0h + h²) * (x0 + h) = x0³ + x0²h + 2x0²h + 2x0h² + h²x0 + h³

x0³ + 2x0h² + h²x0 + h³ = x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³

D(h) = (1/3x0³ + x0²h + x0h² + 1/3h³ - 1/3x0³) / h

D(h) = (x0²h + x0h² + 1/3h³) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

h darf nicht mehr im Nenner vorkommen.

D(h) = (x0²h + x0h² + 1/3h³) / h

D(h) = h * (x0² + x0h + 1/3h²) / h

D(h) = x0² + x0h + 1/3h²


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) =
h→0

lim D(h) = (x0² + x0h + 1/3h²) = (x0² + 0 + 0)
h→0

lim D(h) = x0²
h→0

f ' (x) = x²

x = 0

f ' (0) = 0


2) Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen die Tangente an den Graph der Funktion f(x) = x³ parallel zu der Sekante
durch die Punkte P1(-1; f(-1)) und P2(2; f(2)) sind!

Sekante: jede Gerade, die eine Kurve (Kreis) schneidet
Tangente: Gerade, die eine gekrümmte Linie (z.B. einen Kreis) in einem Punkt berührt

f(x) = x³
f ' (x) = 3x²

Gleichung der Sekante
f(x) = 1 * x

f ' (x) = 3x²
f ' (x) = 1
x = 1
x = -1

An den Stellen x = 1 und x = -1 verlaufen die Tangente und die Sekante parallel.


6 Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

9a) Ermitteln Sie |x| für x = -3; x = 2; x = -0,38 und x = 0!

|-3| = 3

|2| = 2

|-0,38| = 0,38

|0| = 0


b) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f(x) = |x|!


c) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 stetig ist, dass also
lim f(x) = f(0) gilt!
 x→0

1.Die Funktion f ist an der Stelle x = 0 definiert.

 f(0) = 0

2. lim f(x) existiert
    x→0

lim f(x) = 0
x→0

3. lim f(x) = f(x0)
    x→0
   
lim f(x) = f(0)
x→0


Folgt aus der Stetigkeit von f an der Stelle x0 die Differenzierbarkeit von f an der Stelle x0?


f(x) = |x|

Diese Funktion ist an der Stelle x0 = 0 stetig.
Ist diese Funktion an der Stelle x0 = 0 auch differenzierbar?

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle 0:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (|0 + h| - |0|) / h

D(h) = |h| / h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) = existiert nicht
h→0

Der Grenzwert der Funktion D an der Stelle 0 existiert genau dann,
wenn für jede Nullfolge (hn) mit hn ≠ 0 für alle n die Folge (|hn| / hn) gegen dieselbe Zahl konvergiert.

hn > 0
(|hn| / hn) = hn/hn = 1
lim (|hn| / hn) = 1
n→∞  

hn < 0
(|hn| / hn) = hn/-hn = -1
lim (|hn| / hn) = -1
n→∞  

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Wenn f an der Stelle x0 stetig ist, so folgt daraus nicht,
dass f an der Stelle x0 differenzierbar ist.

Es gilt:

Wenn f an der Stelle x0 differenzierbar ist, so ist f an der Stelle x0
stetig.

oder

Die Differenzierbarkeit von f an der Stelle x0 ist eine
hinreichende Bedingung für die Stetigkeit von f an der Stelle x0.
hinreichend = ausreichend

oder

Die Stetigkeit von f an der Stelle x0 ist eine notwendige Bedingung
für die Differenzierbarkeit von f an der stelle x0.


Aufgaben:

1) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f, und untersuchen Sie die Funktion f
bezüglich Stetigkeit und Differenzierbarkeit an der Stelle x0, wenn

a) f(x) = |x - 1| und x0 = 1

Stetigkeit:

1.Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 1 definiert.

f(1) = 0

2. lim f(x) existiert
    x→x0

lim f(x) = 0
x→x0

3. lim f(x) = f(x0)
    x→x0

lim f(x) = f(1) = 0
x→x0

f ist stetig an der Stelle x0

Differenzierbarkeit

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle 1:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (|1 + h - 1| - |1 - 1|) / h

D(h) = |h| / h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) = existiert nicht
h→0

Der Grenzwert der Funktion D an der Stelle 0 existiert genau dann,
wenn für jede Nullfolge (hn) mit hn ≠ 0 für alle n die Folge (|hn| / hn) gegen dieselbe Zahl konvergiert.

hn > 0
(|hn| / hn) = hn/hn = 1
lim (|hn| / hn) = 1
n→∞

hn < 0
(|hn| / hn) = hn/-hn = -1
lim (|hn| / hn) = -1
n→∞


b) f(x) = |x² - 4| und x0 = 2

Stetigkeit:

1.Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 2 definiert.

f(2) = 0

2. lim f(x) existiert
    x→x0

lim f(x) = 0
x→x0

3. lim f(x) = f(x0)
    x→x0

lim f(x) = f(2) = 0
x→x0

f ist stetig an der Stelle x0

Differenzierbarkeit

Lösung:

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle 2:

D(f) = R, also ist f in jeder Umgebung von x0 definiert

D(h) = (f(x0+h) - f(x0)) / h

h ≠ 0

D(h) = (|(x0 + h)² - 4| - |x0² - 4|) / h

D(h) = (|(2 + h)² - 4| - |4 - 4|) / h

D(h) = (|4 + 4h + h² - 4| - |4 - 4|) / h

D(h) = (|4h + h²|) / h


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim D(h) = existiert nicht
h→0

Der Grenzwert der Funktion D an der Stelle 0 existiert genau dann,
wenn für jede Nullfolge (hn) mit hn ≠ 0 für alle n die Folge (|4hn + hn²| / hn) gegen dieselbe Zahl konvergiert.

hn > 0
|4hn + hn²| / hn = 4
lim (|4hn + hn²| / hn) = 4
n→∞

hn < 0
|4hn + hn²| / hn = -4
lim (|4hn + hn²| / hn) = -4
n→∞


|4h + h²| / h    ≠    |4 + h|

für h = -1

|4h + h²| / h =

|-4 + 1| / -1 =

|-3| / -1 =

3 / -1 = -3

|4 + h| =

|4 - 1| =

|3| = 3


2) Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen wahr sind, und begründen Sie ihre Entscheidung!

hinreichend = ausreichend

a) Die Differenzierbarkeit einer Funktion f an der Stelle x0 ist keine notwendige Bedingung für die Stetigkeit von f an der Stelle x0.

Diese Aussage ist wahr.
Begründung: Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x0 = 0 stetig aber nicht differenzierbar.


b) Die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x0 ist keine hinreichende Bedingung für die Differenzierbarkeit von f an der Stelle x0.

Diese Aussage ist wahr.
Begründung: Eine Funktion kann an einer Stelle x0 stetig sein, aber nicht differenzierbar.


c) f ' (x0) = 0 ist eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Tangente an den Graph von f im Punkt P0(x0; f(x0) parallel zur x-Achse verläuft.

Diese Aussage ist wahr.
Begründung: f ' (x0) = m = tan α = 0
tan α = 0
α = 0°
Der Winkel den die Tangente mit der x-Achse bildet ist 0°. Also verläuft die Tangente parallel zur x-Achse.


d) Die Stetigkeit einer Funktion f in dem abgeschlossenen Intervall [a, b] ist eine notwendige Bedingung dafür, dass f im Intervall [a, b] ein Maximum hat.

Dies Aussage ist wahr.
Begründung: Definition des Begriffs Maximum
Satz vom Maximum und Minimum
Wenn f eine in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion ist,
so hat f in [a, b] ein Maximum und ein Minimum.


Differentiationsregeln; die Differentiation von rationalen Funktionen und Wurzelfunktionen

7 Ableitung einer Summe


10) Wiederholen Sie die Grenzwertsätze für Funktionen!

Wenn die Funktionen f und f1 an der Stelle x0 einen Grenzwert haben, so gilt:

lim (f(x) + f1(x)) =     lim f(x)     +     lim f1(x)
x→x0                       x→x0              x→x0

lim (f(x) - f1(x)) =     lim f(x)     -     lim f1(x)
x→x0                       x→x0            x→x0

lim (f(x) * f1(x)) =     lim f(x)     *     lim f1(x)
x→x0                       x→x0             x→x0

lim (f(x) / f1(x)) =     lim f(x)     /     lim f1(x)               
x→x0                      x→x0            x→x0                  

lim f1(x) ≠ 0
x→x0

13) Die Funktionen u(x) = x³ und v(x) = x² sind an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar.

u ' (x) = 3x²

v ' (x) = 2x

Die Funktion f(x) = x³ + x² ist ebenfalls an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differenzierbar.

f ' (x) = 3x² + 2x

Lässt sich dieses Ergebnis auf die Summe beliebiger differenzierbarer Funktionen übertragen?

u ' (x0) = lim (u(x0+h) - u(x0)) / h
               h→0

v ' (x0) = lim (v(x0+h) - v(x0)) / h
               h→0

Ist die Funktion s mit s(x) = u(x) + v(x) in x0 differenzierbar ist und gilt
s ' (x0) = u ' (x0) + v ' (x0)?


Herleitung der Summenregel

1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion s an jeder Stelle x0:

s(x0) = u(x0) + v(x0)

s(x0+h) = u(x0+h) + v(x0+h)

h ≠ 0
x0+h ∈ der Umgebung von x0

D(h)    =    (s(x0+h) - s(x0)) / h    =    (u(x0+h) + v(x0+h) - [u(x0) + v(x0)]) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

D(h) = (u(x0+h) + v(x0+h) - [u(x0) + v(x0)]) / h

D(h) =    (u(x0+h) - u(x0)) / h    +    (v(x0+h) - v(x0)) / h   


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

lim (u(x0+h) - u(x0)) / h
h→0

lim (v(x0+h) - v(x0)) / h
h→0

Wenn die Funktionen u und v an der Stelle x0 einen Grenzwert haben, so gilt:

lim (u(x) + v(x)) =     lim u(x)     +     lim v(x)
x→x0                       x→x0              x→x0

lim (s(x0+h) - s(x0)) / h    =    lim [(u(x0+h) - u(x0)) / h + (v(x0+h) - v(x0)) / h]   
h→0                                      h→0

lim (s(x0+h) - s(x0)) / h    =    lim (u(x0+h) - u(x0)) / h    +    lim (v(x0+h) - v(x0)) / h   
h→0                                      h→0                                       h→0

lim (s(x0+h) - s(x0)) / h    =    u ' (x0)    +    v ' (x0)
h→0

s ' (x0)    =     u ' (x0)    +    v ' (x0)  


Summenregel
Satz
Sind die Funktionen u und v in x0 differenzierbar, so ist auch die Funktion s mit
s(x) = u(x) + v(x) in x0 differenzierbar, und für die Ableitung der Funktion s an der Stelle x0 gilt:
s ' (x0) = u ' (x0) + v ' (x0)

Summenregel Kurzform:
(u + v) ' = u ' + v '

(u + v) ' (x0) = u ' (x0) + v ' (x0)

(u1 + u2 + ... + un) ' = u1 ' + u2 ' + ... + un '


14) u(x) = x³ + x²                v(x) = 1/x    x ≠ 0

u ' (x) = 3x² + 2x                v ' (x) = -1 / x²    x ≠ 0              

s(x) = u(x) + v(x)     x ≠ 0   

s(x) = x³ + x² + 1/x    x ≠ 0

s ' (x) = 3x² + 2x - 1/x²    x ≠ 0


Aufgaben:

1) Wenden Sie den Satz der Summenregel auf den Spezialfall an, dass u eine beliebige in x0 differenzierbare
Funktion und v eine konstante Funktion ist!

s ' (x0) = u ' (x0) + 0


2) Gegeben seien die Funktionen

f(x) = x² + 1

g(x) = x² - 0,5

h(x) = x² - 2.

a) Bestimmen Sie die Ableitungen dieser Funktionen!

f(x) = x² + 1

D(h) = ((x0 + h)² + 1 - (x0² + 1)) / h

D(h) = (x0² + 2x0h + h² + 1 - x0² - 1) / h

D(h) = (2x0h + h²) / h

D(h) = 2x0 + h

lim D(h) = 2x0
h→0

g(x) = x² - 0,5

lim D(h) = 2x0
h→0

h(x) = x² - 2

lim D(h) = 2x0
h→0


b) Zeichnen Sie die Graphen dieser Funktionen und die Tangenten an diese Graphen in
den Punkten mit der Abszisse 0,5! Was stellen Sie fest?

Abszisse = Waagerechte im Koordinatensystem

Alle drei Tangenten verlaufen zueinander parallel.


3) Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen!

a) f(x) = x³ + 1/2x² - 5

u(x) = x³

lim D(h) = 3x²
h→0

v(x) = 1/2x²

lim D(h) = x
h→0

w(x) = -5

lim D(h) = 0
h→0

f ' (x) = 3x² + x


b) f(z) = 1/3z³ + z² + √2

u(z) = 1/3z³

lim D(h) = z²
h→0

v(z) = z²

lim D(h) = 2z
h→0

w(z) = √2

lim D(h) = 0
h→0

f ' (z) = z² + 2z


c) f(x) = x² + 1/x    x ≠ 0   

u(x) = x²

lim D(h) = 2x
h→0

v(x) = 1/x    x ≠ 0

lim D(h) = -1/x²
h→0

f ' (x) = 2x - 1/x²    x ≠ 0


d) f(x) = 1/2x² + x

v(x) = 1/2x²

lim D(h) = x
h→0

w(x) = x

lim D(h) = 1
h→0

f ' (x) = x + 1


e) f(s) = (s - 2) * (s + 3)

f(s) = s²  + 3s - 2s - 6

f(s) = s²  + s - 6

f ' (s) = 2s + 1


f) f(x) = x(1 + x)

f(x) = x² + x

f ' (x) = 2x + 1


4) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = x² - 3.

a) Für welches x gilt f ' (x) = 0

f ' (x) = 2x

Für x = 0 gilt f ' (x) = 0


b) Berechnen Sie die Schnittpunkte des Graphen von f mit der x-Achse?

f(x) = x² - 3

x² - 3 = 0

x = √3

P1(√3; f(√3)

P2(-√3; f(-√3)


c) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente an den Graph von f in diesen Schnittpunkten!
Welche Winkel bilden die betreffenden Tangenten mit der x-Achse?

f ' (x) = 2x

m1 = 2√3

P1(√3; f(√3)

y = mx + n

0 = 2√3x

0 = 2 * √3 * √3

0 = 6 - 6

y = 2√3x - 6


m2 = -2√3

P2(-√3; f(-√3)

y = mx + n

0 = -2 * √3 * -√3

0 = 6 - 6

y = -2√3x - 6


m1 = tan α = 2√3

α = 73,90°

m2 = tan α = -2√3

α = 124,10°


Summenregel erweitern, Beweis

5)* Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
Sind die Funktionen u1, u2, ..., un in x0 differenzierbar, so ist auch die Funktion s mit
          n                                                                          n
s(x) = Σ ui(x) in x0 differenzierbar, und es gilt: s ' (x0) = Σ ui ' (x0)!
         i=1                                                                       i=1

(u + v) ' (x0) = u ' (x0) + v ' (x0)

Die Summenregel lässt sich auch auf mehr als zwei Summanden ausdehnen.
(u1 + u2 + ... + un) ' = u1 ' + u2 ' + ... + un '


1.Induktionsanfang

für n = 1 gilt die Aussage

          1
s(x) = Σ u1(x)
         i=1

               1
s ' (x0) = Σ u1 ' (x0)
              i=1


2.Induktionsschritt

Induktionsvoraussetzung

Für ein beliebiges, aber festes n gelte

         n-1
s(x) = Σ ui(x)
         i=1

             n-1
s ' (x0) = Σ ui ' (x0)
              i=1

Induktionsbehauptung:

dann gilt auch

           n
s(x) = Σ ui(x)
          i=1

               n
s ' (x0) = Σ ui ' (x0)
              i=1

         n-1
s(x) = Σ ui(x) + un(x)
         i=1


                  n-1                                              n
s ' (x0) =    Σ ui ' (x0)    +    un ' (x0)    =    Σ u i ' (x0)
                   i=1                                            i=1
                          |                         |
              Voraussetzung       Voraussetzung


Häufig verzichtet man bei Beweisen mittels vollständiger Induktion auf die Einführung eines besonderen
Symbols k oder dergleichen und führt den Induktionsschritt mit n aus.


02.07.2009

8 Ableitung eines Produkts;
Ableitung von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten


11) Untersuchen Sie am Beispiel der Funktion f mit f(x) = x³ = x² * x,
ob die Ableitung eines Produkts gleich dem Produkt der Ableitungen der einzelnen Faktoren ist!

f ' (x) = 3x²

3x² ≠ 2x * 1


Satz
Sind die Funktionen u und v in x0 differenzierbar, so ist auch die Funktion p mit p(x) = u(x) * v(x)
in x0 differenzierbar, und für die Ableitung der Funktion p an der Stelle x0 gilt:
p ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) + u(x0) * v ' (x0).


Beweis und Herleitung der Produktregel

Voraussetzung: u und v an der Stelle x0 differenzierbar

u ' (x0) = lim (u(x0+h) - u(x0)) / h
               h→0

v ' (x0) = lim (v(x0+h) - v(x0)) / h
               h→0

Behauptung: p(x) = u(x) * v(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar
p ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) + u(x0) * v ' (x0)


1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion p an der Stelle x0:

Nach der Voraussetzung existiert eine Umgebung U von x0, in der die Funktion p definiert ist.
Dann ist der Differenzenquotient der Funktion p für alle h mit h ≠ 0 und x0+h ∈ U definiert.

p(x0) = u(x0) * v(x0)

p(x0+h) = u(x0+h) * v(x0+h)

D(h) = (p(x0+h) - p(x0)) / h = (u(x0+h) * v(x0+h) - u(x0) * v(x0)) / h


2. Umformen des Differenzenquotienten:

D(h) = (u(x0+h) * v(x0+h) - u(x0) * v(x0+h) + u(x0) * v(x0+h) - u(x0) * v(x0)) / h             //- u(x0) * v(x0+h) + u(x0) * v(x0+h) = 0

D(h) = (v(x0+h) * u(x0+h) - u(x0) + u(x0) * v(x0+h) - v(x0)) / h

D(h) = (u(x0+h) - u(x0) * v(x0+h) + u(x0) * v(x0+h) - v(x0)) / h

D(h) = [(u(x0+h) - u(x0)) / h] * v(x0+h) + u(x0) * [(v(x0+h) - v(x0))/h]


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0

nach der Voraussetzung:

u ' (x0) = lim (u(x0+h) - u(x0)) / h
               h→0

v ' (x0) = lim (v(x0+h) - v(x0)) / h
               h→0

D(h) = [(u(x0+h) - u(x0)) / h] * v(x0+h) + u(x0) * [(v(x0+h) - v(x0))/h]

Grenzwertsätze für Funktionen:

lim (f(x) * f1(x)) =     lim f(x)     *     lim f1(x)
x→x0                       x→x0             x→x0

lim D(h) =     lim [(u(x0+h) - u(x0)) / h]    *    lim v(x0+h)    +    lim u(x0)    *    lim [(v(x0+h) - v(x0))/h]
h→0             h→0                                         h→0                    h→0               h→0

lim v(x0+h) = v(x0)
h→0

Begründung:
v ist an der Stelle x0 differenzierbar

v ' (x0) = lim (v(x0+h) - v(x0)) / h
               h→0

Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit.

deshalb ist

lim v(x0+h) = v(x0)
h→0

lim D(h) =     lim [(u(x0+h) - u(x0)) / h]    *    v(x0)    +    u(x0)    *    lim [(v(x0+h) - v(x0))/h]
h→0             h→0                                                                             h→0

lim D(h) =     u ' (x0)    *    v(x0)    +    u(x0)    *    v ' (x0)   
h→0           

p ' (x0)=    u ' (x0)    *    v(x0)    +    u(x0)    *    v ' (x0)


Produktregel

(u * v) ' = u ' * v    +    u * v '

Die Produktregel gilt auch für mehr als zwei Faktoren.

(u * v * w) ' = u ' * v * w    +    u * v ' * w    +    u * v * w '


15) Gegeben seien die Funktionen u und v mit

u(x) = x³ + x² - 3

v(x) = x² + x - 1,

die für jedes x differenzierbar sind.
Für eine beliebige reelle Zahl gilt:

u ' (x) = 3x² + 2x

v ' (x) = 2x + 1

p(x) = u(x) * v(x)

p(x) = (x³ + x² - 3) * (x² + x - 1)

p ' (x) =  (3x² + 2x) * (x² + x - 1) + (x³ + x² - 3) * (2x + 1)

p ' (x) = 5x⁴ + 8x³ - 8x - 3


12a) Beweisen Sie durch Anwendung der Produktregel den Satz:
Ist v eine in x0 differenzierbare Funktion und c eine beliebige reelle Zahl,
so ist auch die Funktion f mit f(x) = c * v(x) in x0 differenzierbar, und es gilt
f ' (x0) = c * v ' (x0)!

u (x) = c

u ' (x0) = 0

f ' (x0) = u ' (x0) *  v(x0)    +    u(x0) *  v ' (x0)

f ' (x0) = 0' *  v(x0)    +    c *  v ' (x0)

f ' (x0) = c *  v ' (x0)


12b) Beweisen Sie unter Verwendung des Ergebnisses von 12a) und des Satzes den Satz:
Sind die Funktionen u und v in x0 differenzierbar, so ist auch die Funktion d mit
d(x) = u(x) - v(x) in x0 differenzierbar, und es gilt d ' (x0) = u ' (x0) - v ' (x0)!

Beweis der Differenzenregel

d(x) = u(x) - v(x)

d(x) = u(x) + (-1) * v(x)

d ' (x0) = u ' (x0) + (-1) * v ' (x0)        //nach 12a)

d ' (x0) = u ' (x0) + (-1) * v ' (x0)

d ' (x0) = u ' (x0) - v ' (x0)


16) Unter Verwendung der Produktregel ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = x⁴
die Ableitung f ' (x) = 4x³ hat.

f(x) = x² * x²

u(x) = x²

u ' (x) = 2x

(u * u) ' = u ' * u    +    u * u '

f ' (x) = 2x * x² + x² * 2x

f ' (x) = 2x³ + 2x³

f ' (x) = 4x³


13) Zeichnen Sie die Graphen der Potenzfunktionen y = xⁿ für n = 1, 2, 3 und 4!

y = x

x        -2       -1        0        1        2

f(x)    -2       -1        0        1        2


y = x²

x        -2        -1        0        1        2

f(x)     4          1        0        1        4


y = x³

x        -2        -1        0        1        2

f(x)    -8        -1        0        1        8


y = x⁴

x        -2        -1        0        1        2

f(x)    16         1        0        1        16


(x) ' = 1

(x²) ' = 2x

(x³) ' = 3x²

(x⁴) ' = 4x³


Potenzregel

Satz
Jede Potenzfunktion f(x) = xⁿ mit n ∈ N und n ≥ 1 ist differenzierbar.
Ihre Ableitung ist f ' (x) = nx^n-1.


Beweis der Potenzregel

1. Induktionsanfang

für n = 1 gilt die Aussage

f(x) = x¹

f ' (x) = 1

2. Induktionsschritt

Es sei n eine beliebige natürliche Zahl mit n ≥ 1.

Induktionsvoraussetzung:

f(x) = xⁿ

f ' (x) = nx^n-1

Induktionsbehauptung:

f(x) = xⁿ⁺¹

f ' (x) = (n + 1)xⁿ

Induktionsbeweis:

f(x) = xⁿ⁺¹ = xⁿ * x

nach Induktionsvoraussetzung

u(x) = xⁿ

u ' (x) = nx^n-1

v(x) = x

v ' (x) = 1

f ' (x) = u ' (x) * v(x)    +    u(x) * v ' (x)

f ' (x) = nx^n-1 * x    +    xⁿ  * 1

f ' (x) = nxⁿ    +    xⁿ 

f ' (x) = (n + 1)xⁿ


Aufgaben:

Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen!

1a) f(x) = x⁵

f ' (x) = 5x⁴


b) f(x) = 3x⁴

f ' (x) = 12x³


c) f(z) = 1/2(z² + 1)

f(z) = 1/2z² + 1

f ' (z) = z


d) u(x) = (x² - 7x) * (x³ + 5)

f1(x) = (x² - 7x)

f ' (x) = (2x - 7)

f2(x) = (x³ + 5)

f2 ' (x) = 3x²

u ' (x) = (f1 * f2) '

u ' (x) = (2x - 7) * (x³ + 5)    +    (x² - 7x) *  3x²

u ' (x) = 2x⁴ + 10x - 7x³ - 35 + 3x⁴ - 21x³

u ' (x) = 5x⁴ - 28x³ + 10x - 35


e) g(a) = a(a + 1) * (a - 2)

g(a) = (a² + a) * (a - 2)

g(a) = a³ - 2a² + a² - 2a

g(a) = a³ - a² - 2a

g ' (a) = 3a² - 2a - 2


2a) f(x) = x⁷

f ' (x) = 7x⁶


b) f(x) = -0,5x⁶

f ' (x) = -3x⁵


05.07.09

c) f(t) = (2t² + 1) * (t + 1/t)

f(t) = 2t³ + 2t + t + 1/t

f(t) = 2t³ + 3t + 1/t

f ' (t) = 6t² + 3 - 1/t²    //nach der Ableitung von 1/x


d) v(x) = (0,5x³ - 3x²) * (4x³ - (√2)x)

v(x) = 2x⁶ - (√2)0,5x⁴ - 12x⁵ + 3(√2)x³

v ' (x) = 12x⁵ - (√2)2x³ - 60x⁴ + 9(√2)x²


e) w(z) = z³(z² + 1) * (2z + 3)

w(z) = (z⁵ + z³) * (2z + 3)

w(z) = 2z⁶ + 3z⁵ + 2z⁴ + 3z³

w ' (z) = 12z⁵ + 15z⁴ + 8z³ + 9z²


3) Gegeben sei die Funktion f(x) = x⁴ + 1,5.

a) Berechnen Sie den Anstieg des Graphen von f an den Stellen 0; 0,5; -0,5; 2; -2!

f(x) = x⁴

f ' (x) = 4x³

f ' (0) = 4 * 0³ = 0

f ' (0,5) = 4 * 0,5³ = 1/2

f ' (-0,5) = 4 * -0,5³ = -1/2

f ' (2) = 4 * 2³ = 32

f ' (-2) = 4 * -2³ = -32


b) An welcher Stelle hat der Graph von f den Anstieg 4?
Geben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graph von f für diese Stelle an!

4 = 4x³

x³ = 1

x = 1

P1(1; 2,5)

y = mx + n


2,5 = 4 * 1 + n

n = -1,5

y = 4x - 1,5


4) Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - 1.

a) In welchen Punkten schneidet der Graph von f die Koordinatenachsen?

Schnittpunkt mit der x-Achse y = 0

0 = x³ - 1

x³ = 1

x = 1

Px(1; 0)

Schnittpunkt mit der y-Achse x = 0

f(0) = 0³ - 1

f(0) = -1

Py(0; -1)


b) Berechnen Sie die Anstiege der Tangenten an den Graph von f in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen!

f ' (x) = 3x²

f ' (1) = 3

f ' (0) = 0


c) Gibt es eine weitere Tangente an den Graph von f, die den gleichen Anstieg wie die Tangente
im Schnittpunkt mit der x-Achse hat?

Schnittpunkt mit der x-Achse
Px(1; 0)

f ' (1) = 3

f ' (x) = 3x²

3 = 3x²

x² = 1

x1 = 1
x2 = -1

f ' (-1) = 3


Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen!

5) f(x) = x⁵ + x⁴ + x³ + x² + x + 1

f ' (x) = 5x⁴ + 4x³ + 3x² + 2x + 1 + 0


6) f(x) = 2x⁴ + 1,5x³ + 0,5x² - 5x + 6

f ' (x) = 8x³ + 4,5x² + x - 5 + 0


7) Gegeben sei die Funktion f(x) = x³ - ax² + 2    (a ∈ R)
Bestimmen Sie die Zahl a für den Fall, dass f ' (2) = 0

f ' (x) = 3x² - 2ax + 0

f ' (2) = 0

0 = 3 * 2² - 2 * a * 2

0 = 12 - 4a

-12 = -4a

a = 3


8) Wenden Sie die Produktregel auf den Spezialfall u = v an!

p(x) = u(x) * v(x)

p ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) + u(x0) * v ' (x0)

p(x) = u(x) * u(x)

p ' (x0) = u ' (x0) * u(x0) + u(x0) * u ' (x0)

p ' (x0) = 2 * u ' (x0) * u(x0)


Produktregel ausdehnen, erweitern auf mehrere Faktoren - Beweis

9)* Beweisen Sie unter Verwendung der Produktregel:
Sind die Funktionen u, v und w in x0 differenzierbar, so ist auch die Funktion p mit
p(x) = u(x) * v(x) * w(x) in x0 differenzierbar, und es gilt
p ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) * w(x0) + u(x0) * v ' (x0) * w(x0) + u(x0) * v(x0) * w ' (x0).

c(x) = u(x) * v(x)

c ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) + u(x0) * v ' (x0)

p(x) = c(x) * w(x)

p ' (x0) = c ' (x0) * w(x0) + c(x0) * w ' (x0)

p ' (x0) = u ' (x0) * v(x0) * w(x0) + u(x0) * v ' (x0) * w(x0) + u(x0) * v(x0) * w ' (x0)

q.e.d.  quod erat demonstrandum


9 Ableitung eines Quotienten

q(x) = u(x) / v(x)        v(x) ≠ 0

06.07.2009

Satz
Sind u und v an der Stelle x0 differenzierbare Funktionen mit v(x0) ≠ 0, so ist auch die Funktion
q mit q(x) = u(x) / v(x) an der Stelle x0 differenzierbar, und für die Ableitung der Funktion q an der Stelle x0 gilt:
q ' (x0) = (u ' (x0) * v(x0) - u(x0) * v ' (x0)) / (v(x0))²


Quotientenregel

(u / v)' = (u'v - uv') / v²


14) Formulieren Sie die Quotientenregel für den Fall, dass u und v in einem Intervall I differenzierbar sind
und v(x) ≠ 0 für jedes x ∈ I gilt!

Sind die Funktionen u und v in einem Intervall I differenzierbar und v(x) ≠ 0 für jedes x ∈ I,
so ist auch die Funktion q mit q(x) = u(x) / v(x) in I differenzierbar, und es gilt
q ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))² für jedes x ∈ I.


17) Nach der Quotientenregel ist die Funktion q mit q(x) = u(x)/v(x)
q(x) = (2x³ - 5x) / (x² + 1) differenzierbar.

u(x) = 2x³ - 5x

u ' (x) = 6x² - 5


v(x) = x² + 1

v ' (x) = 2x

q ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

q ' (x) = ((6x² - 5) * (x² + 1) - (2x³ - 5x) * 2x) / (x² + 1)²

q ' (x) = (6x⁴ + 6x² - 5x² - 5 - 4x⁴ + 10x²) / (x² + 1)²

q ' (x) = (2x⁴ + 11x² - 5) / (x² + 1)²


18) Für eine beliebige natürliche Zahl n mit n ≥ 1 ist die Ableitung der Funktion f(x) = x^-n
(x ≠ 0) zu ermitteln.

Lösung:

f(x) = 1/xⁿ (x ≠ 0)

u(x) = 1

u ' (x) = 0

v(x) = xⁿ

v ' (x) = nx^n-1

q ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

q ' (x) = (0 * x^n-1 * nx^n-1) / x²ⁿ

q ' (x) = (- 1 * nx^n-1) / x²ⁿ

q ' (x) = -nx^n-1-2n

q ' (x) = -nx^-n-1


07.07.2009

Aufgaben:

Bilden Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen, und geben Sie gegebenenfalls diejenigen
Stellen an, an denen die Funktionen nicht differenzierbar sind!

1a) f(x) = 7 / (x² + 1)

u(x) = 1

u ' (x) = 0

v(x) = x² + 1

v ' (x) = 2x

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * (x² + 1) - 1 * 2x) / (x² + 1)²

f ' (x) = -2x / (x² + 1)²


b) f(x) = (x³ + 7x - 5) / (x + 1)    (x ≠ -1)

u(x) = x³ + 7x - 5

u ' (x) = 2x² + 7

v(x) = x + 1

v ' (x) = 1

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = ((2x² + 7) * 1 - (x³ + 7x - 5) * 1) / (x + 1)²

f ' (x) = (2x² + 7 - x³ - 7x + 5) / (x + 1)²

f ' (x) = (-x³ + 2x² - 7x + 12) / (x + 1)²


c) f(t) = (4 - t²) / (t² - 4)    (t ≠ 2) (t ≠ -2)

u(t) = 4 - t²

u ' (t) = -2t

v(t) = t² - 4

v ' (t) = 2t

f ' (t) = (u ' (t) * v(t) - u(t) * v ' (t)) / (v(t))²

f ' (t) = (-2t * (t² - 4) - (4 - t²) * 2t) / (t² - 4)²

f ' (t) = (-2t³ + 8t - (8t - 2t³)) / (t² - 4)²

f ' (t) = (-2t³ + 8t - 8t + 2t³) / (t² - 4)²

f ' (t) = 0 / (t² - 4)²

f ' (t) = 0


d) f(x) = 5/x³    (x ≠ 0)

u(x) = 5

u ' (x) = 0

v(x) = x³

v ' (x) = 2x²

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * x³ - 5 * 2x²) / x⁶

f ' (x) = -10x² / x⁶


e) f(x) = (1/x⁴) + (1/x²)    (x ≠ 0)

u(x) = 1

u ' (x) = 0

v(x) = x⁴

v ' (x) = 4x³

s1 ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

s1 ' (x) = (0 * x⁴ - 1 * 4x³) / (x⁴)²

s1 ' (x) = -4x³ / x⁸


u(x) = 1

u ' (x) = 0

v(x) = x²

v ' (x) = 2x

s2 ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

s2 ' (x) = (0 * x² - 1 * 2x) / x⁴

s2 ' (x) = -2x  / x⁴


f ' (x) = s1 ' (x) + s2 ' (x)

f ' (x) = (-4x³ / x⁸) + (-2x  / x⁴)

f ' (x) = (-4x³ / x⁸) + (-2x * x⁴  / x⁸)

f ' (x) = (-4x³ - 2x⁵) / x⁸


2a) f(x) = (7- x) / (x² + 2)

u(x) = 7 - x

u ' (x) = -1

v(x) = x² + 2

v ' (x) = 2x

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (-1 * (x² + 2) - (7 - x) * 2x) / (x² + 2)²

f ' (x) = (-x² - 2 - 14x + 2x²) / (x² + 2)²

f ' (x) = (x² - 14x - 2) / (x² + 2)²


b) f(x) = (x³ - 2x² + 1) / (2x² + 7)

u(x) = x³ - 2x² + 1

u ' (x) = 3x² - 4x


v(x) = 2x² + 7

v ' (x) = 4x


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = ((3x² - 4x) * (2x² + 7) - ((x³ - 2x² + 1) * 4x)) / (2x² + 7)²

f ' (x) = (6x⁴ + 21x² - 8x³ - 28x - (4x⁴ - 8x³ + 4x)) / (2x² + 7)²

f ' (x) = (6x⁴ + 21x² - 8x³ - 28x - 4x⁴ + 8x³ - 4x) / (2x² + 7)²

f ' (x) = (2x⁴ + 21x² - 32x) / (2x² + 7)²


c) f(z) = (0,5z⁴ + 3z² + 7) / (z² - 4z + 3)        (z ≠ 1, z ≠ 3)


u(z) = 0,5z⁴ + 3z² + 7

u ' (z) = 2z³ + 6z


v(z) = z² - 4z + 3

v ' (z) = 2z - 4


f ' (z) = (u ' (z) * v(z) - u(z) * v ' (z)) / (v(z))²

f ' (z) = ((2z³ + 6z) * (z² - 4z + 3) - ((0,5z⁴ + 3z² + 7) * (2z - 4))) / (z² - 4z + 3)²

f ' (z) = (2z⁵ - 8z⁴ + 6z³ + 6z³ - 24z² + 18z - (z⁵ - 2z⁴ + 6z³ - 12z² + 14z - 28)) / (z² - 4z + 3)²

f ' (z) = (2z⁵ - 8z⁴ + 6z³ + 6z³ - 24z² + 18z - z⁵ + 2z⁴ - 6z³ + 12z² - 14z + 28) / (z² - 4z + 3)²

f ' (z) = (z⁵ - 6z⁴ + 6z³ - 12z² + 4z + 28) / (z² - 4z + 3)²


d) f(x) = 1 / 5x³        (x ≠ 0)

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = 5x³

v ' (x) = 15x²


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * 5x³ - (1 * 15x²)) / (5x³)²

f ' (x) = -15x² / 25x⁶

f ' (x) = -3 / 5x⁴


e) f(x) = 1/x⁵ + 1/x³        (x ≠ 0)

f(x) = (x² + 1) / x⁵

u(x) = x² + 1

u ' (x) = 2x


v(x) = x⁵

v ' (x) = 5x⁴


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (2x * x⁵ - ((x² + 1) * 5x⁴)) / (x⁵)²

f ' (x) = (2x⁶ - 5x⁶ - 5x⁴) / x¹⁰

f ' (x) = (-3x⁶ - 5x⁴) / x¹⁰

f ' (x) = (-3/x⁴) - (5/x⁶)


3) Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion f(x) = x / (x - 1) an der Stelle x0 = 3?

f(x) = x / (x - 1)        (x ≠ 1)

u(x) = x

u ' (x) = 1

v(x) = x - 1

v ' (x) = 1


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = 1 * (x - 1) - (x * 1) / (x - 1)²

f ' (x) = (x - 1 - x) / (x - 1)²

f ' (x) = -1 / (x - 1)²

f ' (3) = -1 / (3 - 1)²

f ' (3) = -1/4


4) Gegeben sei die Funktion f(x) = 1/x        (x ≠ 0).

a) Berechnen Sie den Anstieg der Sekante des Graphen von f durch die Punkte
P1(0,25; f(0,25)) und
P2(4; f(4))!

P1(0,25; 4)
P2(4; 1/4)

y = mx + n

m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

m = (1/4 - 4) / (4 - 0,25)

m = -3,75/3,75

m = -1


b) Bestimmen Sie diejenigen Punkte des Graphen von f, in denen der Tangentenanstieg
mit dem berechneten Sekantenanstieg übereinstimmt!

f(x) = 1/x        (x ≠ 0)

f ' (x) = -1 / x²

-1 = -1 / x²

-1 * x² = -1

x² = 1

x1 = 1

x2 = -1

P1(1; 1)

P2(-1; -1)


c) Geben Sie für die unter b) berechneten Punkte jeweils eine Gleichung der Tangente an den Graph von f an!

P1(1; 1)

y = mx + n

y = -1x + n

1 = -1 * 1 + n

n = 2

y = -x + 2


P2(-1; -1)

y = mx + n

y = -1x + n

-1 = -1 * -1 + n

-1 = 1 + n

n = -2

y = -x - 2


5. Beweisen Sie mit Hilfe der Quotientenregel:
Ist v eine an der Stelle x0 differenzierbare Funktion mit v(x0) ≠ 0 so gilt
(1/v(x0)) ' = - (v ' (x0) / v(x0)²!

u(x0) = 1

u ' (x0) = 0


v(x0)

v ' (x0)


f ' (x0) = (u ' (x0) * v(x0) - u(x0) * v ' (x0)) / (v(x0))²

f ' (x0) = (0 * v(x0) - (1 * v ' (x0))) / v(x0)²

f ' (x0) = -v ' (x0)/ v(x0)²

q.e.d. quod erat demonstrandum


Differenzieren Sie folgende Funktionen!

6a) f(x) = 1/(3x² + 5x + 1)

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = 3x² + 5x + 1

v ' (x) = 6x + 5


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * 3x² + 5x + 1 - (1 * (6x + 5)))/(3x² + 5x + 1)²

f ' (x) = (-6x - 5)/(3x² + 5x + 1)²


b) f(x) = 1/(x - 1)

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = x - 1

v ' (x) = 1


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * (x - 1) - (1 * 1))/(x - 1)²

f ' (x) = -1/(x - 1)²


7a) f(x) = 1/(x² + 1)²

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1

v ' (x) = 4x³ + 4x


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * (x² + 1)² - (1 * 4x³ + 4x))/(x² + 1)⁴

f ' (x) = (-4x³ - 4x)/(x² + 1)⁴

f ' (x) = -4x(x² + 1)/(x² + 1)⁴

f ' (x) = -4x/(x² + 1)³


b) f(x) = 1/(ax + b)        (a, b ∈ R)

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = ax + b

v ' (x) = a


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (0 * (ax + b) - (1 * a)) / (ax + b)²

f ' (x) = -a/(ax + b)²


8) Gegeben Sei die Funktion f(x) = 1/(2x + a) (a ∈ R).
Für welche Zahlen a ist f ' (2) = -1/2?

u(x) = 1

u ' (x) = 0


v(x) = 2x + a        v(x) ≠ 0

v ' (x) = 2


f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = -(1 * 2)/(2x + a)²

f ' (x) = -2/(2x + a)²

-1/2 = -2/(2 * 2 + a)²

-1/2 = -2/(4 + a)²

a1 = -2

a2 = -6


10 Differentiation rationaler Funktionen

lineare Funktion
reelle Zahlen a0 und a1 a1 ≠ 0
f(x) = a1x + a0

quadratische Funktion
reelle Zahlen a0, a1 und a2 a2 ≠ 0
f(x) = a2x² + a1x + a0


ganze rationale Funktion

Allgemein nennt man f eine ganze rationale Funktion, wenn es eine natürliche Zahl n und reelle Zahlen a0, a1, a2, ..., an
mit an ≠ 0 gibt, so dass für jedes x gilt

f(x) =     an * xⁿ    +    an-1 * x^n-1    +    ...    +    a2 * x²    +    a1 * x    +    a0

=

  n
  Σ = ai * xⁱ
i = 0

a0, a1, a2, ..., an sind Koeffizienten

N ist der Grad der ganzen rationalen Funktion.

Ganze rationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert.


19a) Die Funktion f(x) =    6x⁵    +    (√2)x³    -    x²/2(√3)    +    x    -    15 ist eine ganze rationale Funktion.

Ihre Koeffizienten sind:

a5 = 6

a4 = 0

a3 = (√2)

a2 = -1/2(√3)

a1 = 1

a0  = -15

f ist eine ganze rationale Funktion fünften Grades.

b) Jede quadratische Funktion ist eine ganze rationale Funktion zweiten Grades.

c) Jede lineare Funktion ist eine ganze rationale Funktion ersten Grades.

d) Jede konstante Funktion f(x) = c (c ∈ P) ist eine ganze rationale Funktion.


rationale Funktionen

Man nennt f eine rationale Funktion, wenn es ganze rationale Funktionen u und v gibt,
so dass für jedes x mit v(x) ≠ 0 definiert ist und f(x) = u(x)/v(x) gilt.


20a) f(x) = (x² - 1) / (x - 1) ist eine rationale Funktion.

u(x) = x² - 1

v(x) = x - 1

für alle x ≠ 1 definiert

b) f(x) = 1/x ist eine rationale Funktion.

u(x) = 1

v(x) = x

für alle x ≠ 0 definiert

c) Die Funktionen

f(x) = √x

f(x) = a^x    (a > 0, a ≠ 1)

f(x) = loga x    (a > 0, a ≠ 1)

f(x) = |x|

f(x) = sin x

sind alles keine rationalen Funktionen.


Die Funktion f(x) = [(x² + 1) * (x² - 3x + 4)] / (x² + 1) ist eine rationale Funktion.

u(x) = (x² + 1) * (x² - 3x + 4)

v(x) = x² + 1

Da aber die Funktion v(x) = x² + 1 für alle alle x definiert ist (einschließlich 0), gilt
f(x) = x² - 3x + 4. Somit ist die Funktion sogar eine ganze rationale Funktion.

Rationale Funktionen, die nicht ganze rationale Funktionen sind, nennt man gebrochene rationale Funktionen.

Rationale Funktionen sind für alle reellen Zahlen definiert mit Ausnahme der Nullstellen der Nennerfunktion.            


Differenzierbarkeit rationaler Funktionen

21a) f(x) = 3x⁴ - 6,2x² + 2x - 3,2        //ganze rationale Funktion

f ' (x) = 12x³ - 12,4x + 2        //ganze rationale Funktion

Die Funktion f ist an jeder Stelle differenzierbar.


21b) f(x) = (x² - 3x - 5) / (x² - 1)    (x ≠ 1; x ≠ -1)        //rationale Funktion

u(x) = x² - 3x - 5

u ' (x) = 2x - 3

v(x) = x² - 1

v ' (x) = 2x

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = ((2x - 3) * (x² - 1) - ((x² - 3x - 5) * 2x)) / (x² - 1)²

f ' (x) = (2x³ - 2x - 3x² + 3 - 2x³ + 6x² + 10x) / (x² - 1)²

f ' (x) = (3x² + 8x + 3) / (x² - 1)²        //rationale Funktion

Die Funktion f ist an allen Stellen ihres Definitionsbereiches differenzierbar.


Zusammensetzung einer rationalen Funktion

Jede rationale Funktion setzt sich mittels Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division aus Potenzfunktionen
mit natürlichen Exponenten und konstanten Funktionen zusammen.

Damit folgt aus den Differentiationsregeln, dass jede rationale Funktion an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches
differenzierbar und die Ableitung einer rationalen Funktion wieder eine rationale Funktion ist.

Aufgaben:

Welche der folgenden Funktionen sind rational, gebrochen rational, ganz rational?

1a) f(x) = (3x³ - 15x) / 3

ganz rational


b) f(x) = (x + 1) / (x - 1)        (x ≠ 1)

gebrochen rational


c) f(x) = x² * sin x

nicht rational


2a) f(x) = ((x² + 1) * (x² - 1)) / x        (x ≠ 0)

gebrochen rational


b) f(x) = (x² - 1) / (x² + 2x + 1)        (x ≠ -1)

gebrochen rational


c) f(x) = x² * sin 1/2

ganz rational


3) Differenzieren Sie die in den Aufgaben 1. und 2. genannten Funktionen, sofern es sich um rationale Funktionen handelt!

a) f(x) = (3x³ - 15x) / 3

u(x) = 3x³ - 15x

u ' (x) = 9x² - 15

v(x) = 3

v ' (x) = 0

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = ((9x² - 15) * 3 - (3x³ - 15x * 0)) / 9

f ' (x) = ((9x² - 15) * 3 - (3x³ - 15x * 0)) / 9

f ' (x) = (27x² - 45) / 9

f ' (x) = 3x² - 5

b) f(x) = (x + 1) / (x - 1)        (x ≠ 1)

u(x) = x + 1

u ' (x) = 1

v(x) = x - 1

v ' (x) = 1

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (1 * (x - 1) - ((x + 1) * 1)) / (x - 1)²

f ' (x) = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)²

f ' (x) = -2 / (x - 1)²
 

c) f(x) = ((x² + 1) * (x² - 1)) / x         (x ≠ 0)      
 
 u(x) = (x² + 1) * (x² - 1)
 
 u(x) = x⁴ - x² + x² - 1
 
 u(x) = x⁴ - 1
 
 u ' (x) = 4x³
 
 v(x) = x
 
 v ' (x) = 1
 
 f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²
 
 f ' (x) = (4x³ * x - (x⁴ - 1 * 1)) / x²
 
 f ' (x) = (4x³ * x - x⁴ + 1) / x²
 
 f ' (x) = (4x⁴ - x⁴ + 1) / x²

 f ' (x) = (3x⁴ + 1) / x²


d) f(x) = (x² - 1) / (x² + 2x + 1)        (x ≠ -1)

f(x) = ((x + 1) * (x - 1)) / (x + 1)²

f(x) = ((x + 1) * (x - 1)) / (x + 1) * (x + 1)

f(x) = (x - 1) / (x + 1)

u(x) = x - 1

u ' (x) = 1

v(x) = x + 1

v ' (x) = 1

f ' (x) = (u ' (x) * v(x) - u(x) * v ' (x)) / (v(x))²

f ' (x) = (1 * (x + 1) - ((x - 1) * 1)) / (x + 1)²

f ' (x) = (x + 1 - x + 1) / (x + 1)²

f ' (x) = 2 / (x + 1)²


e) f(x) = x² * sin 1/2

f ' (x) = sin 1/2 * 2x


4) Welche der folgenden Funktionen sind rationale, gebrochene rationale, ganze rationale Funktionen?

a) f(x) = 3x² + lg x + 10

nicht rational


b) f(x) = √3 * x + 1/4

ganze rationale Funktion


c) f(z) = (z² + 1) / (z² + 4z + 25)

rationale Funktion


d) g(t) = |t + 4|

nicht rational


Geben Sie je eine ganze Funktion f an, die folgenden Bedingungen genügt!


5a) Grad von f gleich 1, f(0) = 2

f(x) = x + 2


b) Grad von f gleich 2, f(0) = 0, f(1) = 0, a2 = 1

f(x) = a2x² - x

f(x) = 1x² - x


6a) Grad von f gleich 1, f(0) = 0, a1 = 7

f(x) = a1x

f(x) = 7x


b) Grad von f gleich 2, f(0) = -1

f(x) = x² - 1


7) Untersuchen Sie, welche der Aufgaben 5 und 6 eindeutig lösbar sind!

5a nicht eindeutig

5b eindeutig

6a nicht eindeutig

6b nicht eindeutig


8) Begründen Sie, dass die Ableitung einer ganzen rationalen Funktion wieder eine
ganze rationale Funktion ist!

Jede rationale Funktion setzt sich mittels Addition, Subtraktion, Multiplikation
und Division aus Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten und konstanten Funktionen zusammen.
Die Ableitung einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten und n ≥ 1
ergibt wieder eine Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten.

Satz
Jede Potenzfunktion f(x) = xn mit n ∈ N und n ≥ 1 ist differenzierbar.
Ihre Ableitung ist f ' (x) = nxn-1.

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist 0.


9) Begründen Sie, warum die Funktion f(x) = (x²- 1) / (x - 1) = (x + 1) * (x - 1) / (x - 1) nicht
mit der ganzen rationalen Funktion g(x) = x + 1 übereinstimmt!

f(x) ist an der Stelle x = 1 nicht definiert

g(x) ist an jeder Stelle x x ∈ R definiert


11 Umkehrfunktion


15a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktion f(x) = x² und f(x) = x³ in ein und
dasselbe Koordinatensystem! Nennen Sie die Eigenschaften dieser Funktionen.

f(x) = x²

x         -10     -2     -1     0     1     2     10

f(x)      100     4       1     0     1     4    100


D(f) = R
Die Funktion ist stetig und an jeder Stelle differenzierbar
Nullstelle: x = 0
Die Funktion ist nicht monoton.
Sie ist nach unten beschränkt.


f(x) = x³

x         -10     -2     -1     0     1     2     10

f(x)   -1000   -8     -1     0     1     8    1000

D(f) = R
Die Funktion ist stetig und an jeder Stelle differenzierbar.
Nullstelle: x = 0
Die Funktion wächst monoton.
Sie ist nicht beschränkt.


15b) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f(x) = √x und f(x) = ³√x
in ein und dasselbe Koordinatensystem! Nennen Sie Eigenschaften dieser Funktionen!

f(x) = √x


x         0     1     4     9     16

f(x)     0     1     2     3      4


D(f) = {x ∈ R | 0 ≤ x}
Die Funktion ist innerhalb ihres Definitionsbereiches stetig und an jeder Stelle differenzierbar.
Nullstelle: x = 0
Die Funktion wächst monoton.
Sie ist nach unten beschränkt.

          3
f(x) = √x

x        -64    -27    -8    -1    0    1    8    27    64


f(x)     -4      -3     -2    -1    0    1    2     3      4

D(f) = R
Die Funktion ist stetig und an jeder Stelle differenzierbar.
Nullstelle: x = 0
Die Funktion wächst monoton.
Sie ist nicht beschränkt.


Würfel

a = Kantenlänge

V = f(a) = a³

Zu jeder Kantenlänge a0 (a ≥ 0) gehört ein eindeutig bestimmtes Volumen V0.

Kann man aus dem angegebenen Volumen auch eindeutig die Kantenlänge a des Würfels bestimmen?
                3
a = g(v) = √V

Man nennt g die Umkehrfunktion von f.


Eineindeutigkeit
Eine Funktion f heißt eineindeutig, wenn es zu jedem y aus dem Wertebereich von g genau ein x
aus dem Definitionsbereich von f mit y = f(x) gibt.


f(x) = x² ist nicht eineindeutig

g(x) = x² ist eineindeutig bei Einschränkung des Definitionsbereiches x ≥ 0


16) Begründen Sie:
Für jede Funktion f gilt: Wenn f streng monoton ist, so ist f eineindeutig!

monoton fallend wenn x1 < x2 und f(x1) ≥ f(x2) nicht eineindeutig Markierung

streng monoton fallend wenn x1 < x2 und f(x1) > f(x2) eineindeutig


Definition
Es sei f eine eineindeutige Funktion.
Die Menge der geordneten Paare [y; x], für die [x; y] zu f gehört, heißt Umkehrfunktion
(auch inverse Funktion) von f.
Wir bezeichnen die Umkehrfunktion von f mit f.


23) Die Funktion f mit f(x) = 2x + 1 ist eineindeutig.

f [0; 1]     f [1; 0]

f [2; 5]     f [5; 2]


f(x) = 2x + 1

y = 2x + 1

2x + 1 = y

x = 1/2y - 1/2

f(y) = 1/2y - 1/2    [x; y]

f(x) = 1/2x - 1/2    [y; x]


17) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion von f mit f(x) = 1/2x - 1/2!

 f (x) = 2x + 1

Die Funktionen f und  f  sind zueinander invers.


24) Die Funktion f(x) = xⁿ, x ≥ 0, n ≥ 2, n natürliche Zahl, ist ebenfalls eineindeutig.
Wir ermitteln eine Funktionsgleichung für die Umkehrfunktion f  von f.

Lösung:

y = xⁿ

x = y^1/n

f (y) = y^1/n

f (x) = x^1/n


Jede Funktion f mit f(x) = x^1/n (x ≥ 0, n ≥ 2, n natürliche Zahl) heißt Wurzelfunktion.


Ist f die Umkehrfunktion von f, so liegen die Graphen von f und f achsensymmetrisch zur Geraden y = x.

Der Definitionsbereich von f ist der Wertebereich von f.
Der Wertebereich von f ist der Definitionsbereich von f.


Ist f die Umkehrfunktion von f, so gilt:

1. Wenn f monoton wachsend ist, so ist auch f monoton wachsend.

2. Wenn f monoton fallend ist, so ist auch f monoton fallend.

3. Wenn f stetig ist, so ist auch f stetig.


Umkehrfunktion Beispiel

25) Die Funktion f(x) = √x + 1, x ≥ -1, ist eineindeutig.

Bestimmung von f

y = √x + 1

x = y² - 1

f(y) = y² - 1    [x; y]

f(x) = x² - 1    [y; x]


f(x) = √x + 1

Definitionsbereich
x ≥ -1

Wertebereich
y ≥ 0


f(x) = x² - 1    [y; x]

Definitionsbereich
x ≥ 0

Wertebereich
y ≥ -1

Der Definitionsbereich von f ist der Wertebereich von f.
Der Wertebereich von f ist der Definitionsbereich von f.

Aufgaben:

1) Welche dieser Funktionen sind eineindeutig?

f(x) = 1/x

eineindeutig


f(x) = sin x

nicht eineindeutig


f(x) = x⁴ - 1

nicht eineindeutig


f(x) = x⁵

eineindeutig


Welche der folgenden Funktionen sind eineindeutig?

2a) f(x) = 3x + 1

eineindeutig


b) f(x) = -x - 2

eineindeutig


c) f(x) = 3x²

nicht eineindeutig


d) f(x) = 3x²,    x ≥ 2

eineindeutig


e) f(x) = |x|

nicht eineindeutig


3a) f(x) = 1/x²

nicht eineindeutig


b) f(x) = 1/x²,    x > 0

eineindeutig


c) f(x) = x²,    x ≤ 0

eineindeutig


d) f(x) = x⁶

nicht eineindeutig


e) f(x) = |x|,    x ≥ 0

eineindeutig


Ermitteln Sie von den folgenden eineindeutigen Funktionen f jeweils die Umkehrfunktion f,
und skizzieren Sie die Graphen von f und f jeweils in ein und dasselbe Koordinatensystem!


4a) f(x) = 2x²,    x ≥ 0

y = 2x²

x = √y/2

f(x) = √(x/2


b) f(x) = x²    x ≤ 0

f(x) = √x


c) f(x) = x⁶    x ≥ 0

f(x) = x^1/6


d) f(x) = (x + 2)^1/3

y = (x + 2)^1/3

y³ = x + 2

x = y³ - 2

f(x) = x³ - 2


5a) f(x) = 3x + 1

f(x) = (x - 1) / 3


b) f(x) = x

f(x) = x


c) f(x) = - √x

f(x) = -x²


d) f(x) = (x - 1)^1/2

f(x) = x² + 1



12 Differentiation von Wurzelfunktionen


26) Es ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = √x (x ≥ 0) für jedes positive x differenzierbar ist.

Lösung:

x0 = beliebige positive Zahl


1. Bestimmen des Differenzenquotienten der Funktion f an der Stelle x0:


D(h) = (f(x0+ h) - f(x0)) / h

D(h) = (√x0 + h - √x0) / h

h ≠ 0

x0 + h ≥ 0


2. Umformen des Differenzenquotienten:

D(h) = (√x0 + h - √x0) / h

D(h) = ((√x0 + h - √x0) * (√x0 + h + √x0)) / (h * (√x0 + h + √x0))

Binomische Formel (a + b) * (a - b) = a² - b²

D(h) = (x0 + h - x0) / (h * (√x0 + h + √x0))

D(h) = 1/(√x0 + h + √x0)


3. Bestimmen des Grenzwertes des Differenzenquotienten für h→0


lim D(h) =
h→0


lim 1/(√x0 + h + √x0) =
h→0


1 / (lim √x0 + h + lim √x0 )
      h→0              h→0


Da die Funktion y = √x als Umkehrfunktion einer stetigen Funktion auch stetig ist gilt:

lim √x0 + h = √x0
h→0


lim D(h) = 1 / (2√x0)
h→0

Die Funktion f(x) = √x ist für jedes positive x differenzierbar. Ihre Ableitung ist f ' (x) = 1 / (2√x).


Umkehrfunktion differenzieren

19) Gegeben seien die Funktionen f und g mit f(x) = x² (x ≥ 0) und g(x) = √x (x ≥ 0).

a) Berechnen Sie den Anstieg des Graphen von f im Punkt P1(1,5, 1,5²) und den
Anstieg des Graphen von g im Punkt P2(1,5²; 1,5)!

f(x) = x²

f ' (x) = 2x

f ' (1,5) = 3


g(x) = √x    (x ≥ 0)

g ' (x) = 1 / (2√x)

g ' (1,5²) = 1 / (2 * 1,5)

g ' (1,5²) = 1/3


Satz C5
Es sei f eine eineindeutige Funktion, die in einer Umgebung der Stelle x0 differenzierbar ist, und
es gelte f ' (x0) ≠ 0. Dann ist die zu f inverse Funktion f an der Stelle y0 = f(x0) differenzierbar,
und es gilt f ' (y0) = 1/f ' (x0).


f(x) = mx + n    m ≠ 0

f ' (x) = m

inverse Funktion

y = mx + n

x = f(y) = (y - n) / m

f ' (y) = 1 / f ' (x)

f ' (y) = 1 / m


28) Die Ableitung der Funktion f(x) = x^1/3 (x ≥ 0) ist zu ermitteln!

Lösung:

Die gegebene Funktion ist die Umkehrfunktion der Funktion

f(x) = x³    (x ≥ 0)

f ' (x) = 3x²    für x > 0 ist f ' (x) > 0

x = f(y) = y^1/3

f ' (y) = 1 / (3x²)

f ' (y) = 1/3 * x^-2
-----------------------------------
f(x) = x³

y = x³

x = y^1/3
------------------------------------
f ' (y) = 1/3 * y^1/3*-2

f ' (y) = 1/3 * y^-2/3

nach Umbenennung der Variablen

f ' (x) = 1/3 * x^-2/3


f(x) = √x    (x > 0)

f ' (x) = 1 / (2√x)

f ' (x) = 1/2 * x^0,5-1


f(x) = x^1/3    (x > 0)

f ' (x) = 1/3 * x^-2/3

f ' (x) = 1/3 * x^1/3-1


Die Regel zur Differentiation der Potenzfunktionen mit natürlichen Zahlen
als Exponenten gilt also auch für die Potenzfunktionen y = x^1/2 und x^1/3.


14.07.2009

Lassen sich alle Potenzfunktionen y = x^1/n mit n ∈ N, n > 1, nach dieser Regel differenzieren?

Es sei n eine beliebige natürliche Zahl mit n > 1.

Ableitung bestimmen von y = x^1/n    (x ≥ 0)

f(x) = xⁿ    (x ≥ 0)

f ' (x) = nx^n-1    (x > 0)

Nach Satz C5 ist die Umkehrfunktion f von f, also die Funktion

x = f(y) = y^1/n (y ≥ 0) differenzierbar.

f ' (y) = 1 / nx^n-1    (y > 0)

f ' (y) = (1/n) * x^1-n          //Vorzeichenwechsel aus n - 1 wird 1- n, x steht jetzt im Zähler

------------------------------------------

f(x) = xⁿ

y = xⁿ

x = y^1/n

------------------------------------------

f ' (y) = 1/n * y^{1/n * (1 - n)}                                                   

f ' (y) = 1/n * y^{(1/n) - 1}    (y > 0)

f ' (x) = 1/n * x^{(1/n) - 1}    (x > 0)


Damit ist gezeigt, dass die Regel zur Differentiation der Potenzfunktionen mit natürlichen
Exponenten auch für die Potenzfunktionen y = x^1/n mit n ∈ N, n > 1, gilt.
Mit dieser Differentiationsregel lassen sich die Wurzelfunktionen auf rationelle Weise differenzieren.


29) Die Ableitung der Funktion y = x^1/5 (x ≥ 0) ist die Funktion

y ' = 1/5x^{(1/5) - 1}    (x > 0)

y ' = 1/5x^-4/5

y ' = 1 / 5x^4/5.


-----------------------------
Wurzelumformung
            ₃
x^2/3  =  √^x²

              1
x^-2/3  =  ₃          
             √^x²
----------------------------


Aufgaben:

Gegeben sei die Funktion f. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion f von f und die Ableitungen von f!

1a) f(x) = 2x + 5

y = 2x + 5

x = (y - 5) / 2

x = f(y) = 1/2y - 2,5 

f ' (y) = 1/2


b) f(x) = 1/x    (x > 0)

y = 1/x

x = 1/y

x = f(y) = 1/y    (y > 0)        //Ableitung von f(x) = 1/x

f ' (y) = -1/y²


c) f(x) = 1 / (x - 1)    (x > 1)

y = 1 / (x - 1)

y * (x - 1) = 1

x = f(y) = (1/y) + 1    (y > 0)

f ' (y) = -1/y²


2a) f(x) = -x + 7

y = -x + 7

x = f(y) = -y + 7

f ' (y) = -1


b) f(x) = x²    (x ≤ 0)

y = x²

x = f(y) = -y^1/2

f ' (y) = -1/2 * y^{1/2 - 1}        

f ' (y) = -1/2 * y^-1/2  

f ' (y) = -1 / (2√y)    (y > 0)


c) f(x) = 1 / x²    (x > 0)

y = 1/x²

x = f(y) = √1/y

x = f(y) = y^-1/2

f ' (y) = -1/2 * y^{-1/2 - 1}

f ' (y) = -1/2 * y^-3/2

f ' (y) = -1 / (2√y³)    (y > 0)


Wurzelfunktionen differenzieren Beispiele

Ermitteln Sie die Ableitungen folgender Funktionen, und geben Sie jeweils den Definitionsbereich
der Funktionen und ihrer Ableitungen an!

3a) f(x) = x^1/4    (x ≥ 0)

f ' (x) = 1/4 * x^{1/4 - 1}

f ' (x) = 1/4 * x^-3/4
                    ₄
f ' (x) = 1 / (4√x³)    (x > 0)


3b) f(x) = x^-1/5    (x > 0)

f ' (x) = -1/5 * x^-6/5
                      ₅
f ' (x) = -1 / (5√x⁶)    (x > 0)  


c) f(t) = 5 * √t

f(t) = 5 * t^1/2    (t ≥ 0)

f ' (t) = 5 * 1/2 * t^{1/2 - 1}   

f ' (t) = 5 * 1/2 * t^-1/2   

f ' (t) = 5 / (2√t)    (t > 0)


d) f(x) = (x - 2) * √x    (x ≥ 0)

u(x) = x - 2

u ' (x) = 1

v(x) = √x

v ' (x) = 1/2 * x^-1/2   

(u * v) ' = u ' * v    +    u * v '

f ' (x) = 1 * √x  + (x - 2) * 1/2 * x^-1/2

f ' (x) = √x  + (x - 2) / 2√x

f ' (x) = √x  * 2√x / 2√x + (x - 2) / 2√x

f ' (x) = (2x + x - 2) / 2√x

f ' (x) = (3x - 2) / 2√x    (x > 0)


e) f(z) = (z - z^1/2)²    (z ≥ 0)

f(z) = z² - 2z^3/2 + z

a(z) = z²

a ' (z) = 2z

b(z) = -2z^3/2

b ' (z) = -2 * 3/2 * z^{3/2 - 1}

b ' (z) = -3 * z^1/2

b ' (z) = -3√z

c (z) = z

c ' (z) = 1

f ' (z) = 2z + 3√z + 1    (z ≥ 0)


f) f(x) = x^1/2 / (x - 2)    (x ≥ 2)

u(x) = x^1/2

u ' (x) = 1/2 * x^{1/2 - 1}

u ' (x) = 1/2 * x^-1/2

v(x) = x - 2

v ' (x) = 1

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = ((1/2 * x^-1/2 * (x - 2)) - x^1/2) / (x - 2)²

f ' (x) = (((x - 2) / 2x^1/2) - x^1/2) / (x - 2)²

f ' (x) = (((x - 2) / 2x^1/2) - x^1/2 * 2x^1/2) / (x - 2)²

f ' (x) = ((x - 2 - 2x) / 2x^1/2) / (x - 2)²

f ' (x) = (-x - 2) / (x - 2)² * 2√x    (x > 0)


g) f(x) = x / (x + √x)    (x > 0)

u(x) = x

u ' (x) = 1

v(x) = x + √x

v ' (x) = 1 + 0,5x^-1/2

(u * v) ' = u ' * v    +    u * v '

f ' (x) = (x + √x - (x * (1 + 0,5x^-1/2))) / (x + √x)² 

f ' (x) = (x + √x - x - 0,5x^1/2) / (x + √x)² 

f ' (x) = (x^1/2 - 0,5x^1/2) / (x + √x)² 

f ' (x) = (0,5x^1/2) / (x + √x)² 

f ' (x) = √x / 2(x + √x)²      (x > 0)


h) f(a) = a^1/3 / (a + √a)    (a > 0)

u(a) = a^1/3

u ' (a) = 1/3 * a^-2/3

v(a) = a + √a

v ' (a) = 1 + 1/2 * a^-1/2

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (a) = (1/3 * a^-2/3 * (a + √a) - (a^1/3 * (1 + 1/2 * a^-1/2))) / (a + √a)²               

f ' (a) = (1/(3a^2/3) * (a + √a) - (a^1/3 * (1 + 1/(2a^1/2)))) / (a + √a)²    (a > 0)      


i) f(x) = ax / x^1/4    (x ≥ 0)

u(x) = ax

u ' (x) = a

v(x) = x^1/4

v ' (x) = 1/4 * x^-3/4

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (a * x^1/4 - (ax * 1/4 * x^-3/4  ) / √x           

f ' (x) = (ax^1/4 - 0,25a x^1/4) / √x           

f ' (x) = 3a * x^1/4 / 4√x    (x > 0)


4a) f(x) = x^-1/2

f(x) = 1 / √x    (x > 0)

f ' (x) = -1/2 * x^-3/2

f ' (x) = -1 / (2√x³)    (x > 0)


b) f(x) = x^1/8    (x  ≥  0)

f ' (x) = 1/8 * x^-7/8

f ' (x) = 1/(8x^7/8)    (x > 0)


c) f(t) = √5 * √t    (t ≥ 0)

u(t) = 5^1/2

u ' (t) = 0

v(t) = t^1/2

v ' (t) = 1/2 * t^-1/2

(u * v) ' = u ' * v + u * v '

f ' (t) = 0 + 5^1/2 * 1/2 * t^-1/2

f ' (t) = √5 / 2√t    (t > 0)


d) f(x) = (x + 1) * x^1/3    (x ≥ 0)

u(x) = x + 1

u ' (x) = 1

v(x) = x^1/3

v ' (x) = 1/3 * x^-2/3

(u * v) ' = u ' * v    +    u * v '

f ' (x) = 1 * x^1/3 + (x + 1) * 1/3 * x^-2/3

f ' (x) = x^1/3 + (x + 1) / 3x^2/3

f ' (x) = (x^1/3 * 3x^2/3 + x + 1) / 3x^2/3

f ' (x) = (3x + x + 1) / 3x^2/3

f ' (x) = (4x + 1) / 3x^2/3    (x > 0)


e) f(z) = z^1/2 + z^1/3 + z^1/4    (z ≥ 0)

a(z) = z^1/2

a ' (z) = 1/2 * z^-1/2

a ' (z) = 1 / (2z^1/2)

b(z) = z^1/3

b ' (z) = 1/3 * z^-2/3

b ' (z) = 1 / (3z^2/3)

c(z) = z^1/4

c ' (z) = 1/4 * z^-3/4

c ' (z) = 1 / (4z^3/4)

f ' (z) = (1 / (2z^1/2)) + (1 / (3z^2/3)) + (1 / (4z^3/4))     (z > 0)


f) f(x) = (x - 2) / x^1/2    (x > 0)

u(x) = x - 2

u ' (x) = 1

v(x) = x^1/2

v ' (x) = 1/2 * x^{1/2 - 1}

v ' (x) = 1/2 * x^-1/2

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (x - (x - 2) * 1/2 * x^-1/2 ) / x

f ' (x) = (x^1/2 - ((x - 2) / 2x^1/2 )) / x

f ' (x) = ((x^1/2 * 2x^1/2 - (x - 2)) / 2x^1/2 ) / x

f ' (x) = ((2x - x + 2) / 2x^1/2 ) / x

f ' (x) = (x + 2) / 2x√x    (x > 0)


g) f(x) = (x + √x) / x    (x > 0)

a(x) = x

a ' (x) = 1

b(x) = √x

b ' (x) = 1/2 * x^-1/2

u(x) = a(x) + b(x)

u(x) = x + √x

u ' (x) = 1 + 1/2 * x^-1/2

v(x) = x

v ' (x) = 1

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = ((1 + 1/2 * x^-1/2) * x - (x + √x)) / x²

f ' (x) = (x + 0,5x^1/2 - x - x^1/2) / x²

f ' (x) = (-0,5x^1/2) / x²

f ' (x) = (-x^1/2) / 2x²    (x > 0)


h) f(a) = (a + √a) / a^1/3    (a > 0)

u(a) = a + √a

u ' (a) = 1 + 1/2 * a^-1/2

v(a) = a^1/3

v ' (a) = 1/3 * a^-2/3

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (a) = ((1 + 1/2 * a^-1/2) * a^1/3 - (a + √a ) * 1/3 * a^-2/3) / a^2/3

f ' (a) = ((1 + 1/(2a^1/2)) * a^1/3 - (a + √a ) * 1/(3a^2/3)) / a^2/3    (a > 0)


i) f(x) = √x/3    (x ≥ 0)   

f(x) = √x / √3  

u(x) = √x

u ' (x) = 1/2 * x^-1/2

v(x) = √3

v ' (x) = 0

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (1/2 * x^-1/2 *  √3 - (√x * 0)) / 3                         

f ' (x) = √3 / 6√x        (x > 0)             

entsprechend Buch weiter

f ' (x) = √3 / √3 * √3 * 2 * √x    

f ' (x) = 1 / √3 * 2 * √x    

f ' (x) = 1 / 2√3x    (x > 0)    


5) Gegeben sei die Funktion f(x) = (x - 2) * √x (x ≥ 0). Berechnen Sie den Anstieg des
Graphen von f an der Stelle 4, und geben Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graph
von f für die Stelle an!

f(x) = (x - 2) * √x    (x ≥ 0)

u(x) = x - 2

u ' (x) = 1

v(x) = √x

v ' (x) = 1/2 * x^-1/2

(u * v) ' = u ' * v + u * v '

f ' (x) = 1 * √x + (x - 2) * 1/2 * x^-1/2

f ' (x) = x^1/2 + 1/2x^1/2 - x^-1/2

f ' (x) = √x + 0,5√x - 1/√x

f ' (x) = (3x - 1) / 2√x    (x > 0)


f ' (4) = (12 - 1) / 2 * 2

f ' (4) = 11/4


y = mx + n

f(x) = (x - 2) * √x

f(4) = 2 * 2

f(4) = 4

4 = 11/4 * 4 + n

n + 44/4 = 4

n = 4 - 11

n = -7

y = (11/4)x - 7


6) Berechnen Sie die Anstiege des Graphen der Funktion

a) f(x) = √x;   

an den Stellen 1; 10; 100 und 1000!

f(x) = √x    (x ≥ 0)

f ' (x) = 1/2 * x^-1/2

f ' (x) = 1/(2√x)    (x > 0)


f ' (1) = 1/(2√1)

f ' (1) = 1/2

f ' (10) = 1/(2√10)

f ' (100) = 1/(2√100)

f ' (100) = 1/(20√1)

f ' (100) = 1/20

f ' (1000) = 1/(2√1000)

f ' (1000) = 1/(20√10)


b) f(x) = x^1/3    (x ≥ 0)

an den Stellen 1; 10; 100 und 1000!

f ' (x) = 1/3x^-2/3

f ' (x) = 1/(3x^2/3)    (x > 0)


f ' (1) = 1/(3 * 1^2/3)

f ' (1) = 1/3

f ' (10) = 1/(3 * 10^2/3)

f ' (10) = 0,071

f ' (100) = 0,015

f ' (1000) = 1/300



13 Verkettung von Funktionen


20) Gegeben seien die Funktionen u und v mit u(x) = x² - 1 und v(x) = x² + 1.
Bilden Sie die Funktionen u + v, u - v, u * v und u / v!

u + v
f(x) = 2x²

u - v
f(x) = -2

u * v
f(x) = x⁴ - 1

u / v
f(x) = (x² - 1) / (x² + 1)


Beispiel 30)

f(x) = (x² - 1)⁵

zunächst

z = v(x) = x² - 1

u(z) = z⁵

y = f(x) = u(z) = u(v(x))

Die Funktion f ist die Verkettung der Funktion u mit der Funktion v.

v(x) = innere Funktion der Verkettung
u(z) = äußere Funktion der Verkettung

[x; z] ∈ v
[z; y] ∈ u

Der Wertebereich der inneren Funktion v ist eine Teilmenge des Definitionsbereiches
der äußeren Funktion u.


Beispiel 31)
Gegeben seien die Funktionen u und v mit z = v(x) = x² - 1 und y = u(z) = √z.
Dann ist die Verkettung von u mit v diejenige Funktion f, für die

y = f(x) = u(v(x)) = √x² - 1    (x² ≥ 1) gilt.


20.07.2009

Beispiel 32)
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = sin (1/2 * (x + 3)).
Die Funktion f erhält man durch Verkettung der Funktion u mit der Funktion v,
wobei u(z) = sin z die äußere und z = v(x) = 1/2 * (x + 3) die innere Funktion ist.
Es gilt also f(x) = u(v(x)) = sin (1/2 * (x + 3)).


Aufgaben

1) Bilden Sie zu den Funktionen u und v die Verkettung f mit f(x) = u(v(x)), wenn gilt

a) u(z) = z³ und z = v(x) = x - 1


f(x) = u(v(x))

f(x) = (x - 1)³ (x ∈ R)


b) u(z) = lg z und z = v(x) = x² - 1

f(x) = u(v(x))

f(x) = lg (x² - 1)    (x > 0)

lg von 0 nicht definiert


c) u(z) = √z und z = v(x) = 3x - 5

f(x) = u(v(x))

f(x) = √3x - 5    (x ≥ 5/3)


Geben Sie jeweils den Definitionsbereich der Funktion f an!


2)* Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Verkettung der Funktionen u und v nicht
kommutativ ist, dass also (im Allgemeinen) u(v(x)) ungleich v(u(x)) gilt!

kommutativ = umstellbar, vertauschbar

u(z) = z²

z = v(x) = x + n

f(x) = u(v(x)) = (x + n)² ≠ v(u(x)) = x² + n

(x + n)² ≠ x² + n


3) Geben Sie die Funktion f als Verkettung einfacherer Funktionen an, wenn

a) f(x) = (ax - b)⁷

u(z) = z⁷ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = ax - b innere Funktion der Verkettung


b) f(x) = √x - 1    (x ≥ 1)

u(z) = √z

z = v(x) = x - 1     (x ≥ 1)


c) f(x) = 1 / (x + 5)²

u(z) = z^-2

z = v(x) = x + 5 (x ≠ -5)


d) f(x) = cos (2x + 1)

u(z) = cos z

z = v(x) = 2x + 1                                     


e) f(x) = (x² - 4)^1/3

u(z) = z^1/3

z = v(x) = x² - 4


f) f(x) = (2x² + 1)^1/2 !

u(z) = z^1/2

z = v(x) = 2x² + 1


4) Begründen Sie, dass für die Funktionen u und v mit

y = u(z) = √z

z = v(x) = -x² - 4

die Verkettung f mit f(x) = u(v(x)) nicht gebildet werden kann!

Antwort: √x ist für negative x nicht definiert.

Prüfen Sie, ob die Funktion g mit g(x) = v(u(x)) existiert!

g = v(z) = -z² - 4 äußere Funktion der Verkettung

z = u(x) = √x    (x ≥ 0) innere Funktion der Verkettung

g(x) = -z² - 4

g(x) = -((√x)²) - 4

g(x) = -x - 4    (x ≥ 0)



14 Ableitung der Verkettung zweier Funktionen


21) Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = (x² + 1)³.
Zeigen Sie mit Hilfe der Produktregel, dass die Ableitung dieser Funktion die Funktion
f ' mit f ' (x) = 3(x² + 1)² * 2x ist!

f(x) = (x² + 1) * (x² + 1) * (x² + 1)

(u * v * w) ' = u ' * v * w + u * v ' * w + u * v * w '

f ' (x) = 2x * (x² + 1) * (x² + 1) + 2x * (x² + 1)² + 2x * (x² + 1)²

f ' (x) = 3(x² + 1)² * 2x


f(x) = (x² + 1)³

u(z) = z³ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x² + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 3z²

f(x) = (x² + 1)³

u(z) = z³ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x² + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 3z²

u ' (z) = 3(x² + 1)²    //Fehler im Buch

u ' (z) = u ' (v(x))    wegen z = v(x)

f ' (x) = 3(x² + 1)² * 2x

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)


Kettenregel

Ist die Funktion v an der Stelle x0 und die Funktion u an der Stelle v(x0) differenzierbar,
so ist die Funktion f mit f(x) = u(v(x)) an der Stelle x0 differenzierbar.
Für die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 gilt

f ' (x) = [u(v(x0))] ' = u ' (v(x0)) * v ' (x0).


Beispiel 33)
Die Ableitung der Funktion f mit f(x) = (5x² - 7x + 1)²⁰ ist zu ermitteln.

y = u(z) = z²⁰ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = 5x² - 7x + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 10x - 7

u ' (z) = 20 * z¹⁹

u ' (z) = 20 * (5x² - 7x + 1)¹⁹

u ' (v(x)) = 20 * (5x² - 7x + 1)¹⁹

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 20 * (5x² - 7x + 1)¹⁹ * (10x - 7)


Beispiel 34)
Die Ableitung der Funktion f(x) = (x⁴ + 1)^1/3 ist zu ermitteln.

y = u(z) = z^1/3 äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x⁴ + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 4x³

u ' (z) = 1/3 * z^-2/3

u ' (z) = 1/(3(x⁴ + 1)^2/3)

u ' (v(x)) = 1/(3(x⁴ + 1)^2/3)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/(3(x⁴ + 1)^2/3) * 4x³

f ' (x) = 4x³/(3(x⁴ + 1)^2/3)


Beispiel 35)
Die Ableitung der Funktion f(x) = (x - 5) / (√x³ + 1)    (x > -1) ist zu ermitteln.

u(x) = x - 5

u ' (x) = 1

v(x) = √x³ + 1

v ' (x) = (1/(2√x³ + 1)) * 3x²

v ' (x) = 3x² / (2√x³ + 1)

Kettenregel:

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

y = u1(z) = z^1/2

z = v1(x) = x³ + 1

v1 ' (x) = 3x²

u1 ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u1 ' (v1(x)) = 1/(2√x³ + 1)

Quotientenregel:

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) =   2√x³ + 1 * √x³ + 1  -  (x - 5) * 3x²                                
                                  2√x³ + 1                  
                                 (√x³ + 1)²

f ' (x) =   2(x³ + 1) - (x - 5) * 3x²                                
                           2√x³ + 1             
                          (√x³ + 1)²

f ' (x) =   2(x³ + 1) - (x - 5) * 3x²     (x > -1)                               
                (2√x³ + 1) * (x³ + 1)            


Beispiel 36)
Es ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = x^m/n (x ≥ 0) mit m, n ∈ N, m > 1 und n ≥ 2, für
jedes positive x differenzierbar ist und ihre Ableitung f ' (x) = m/n * x^{(m/n) -1} ist.

x^m/n = (x^1/n)^m

y = u(z) = z^m äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x^1/n innere Funktion der Verkettung

v ' (x) =1/n * x^{(1/n) - 1}    (x > 0)    siehe

u ' (z) = m * z^m-1

u ' (v(x)) = m * (x^1/n)^m-1

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = m * (x^1/n)^m-1 * 1/n * x^{(1/n) - 1}

f ' (x) = m/n * x^{(m/n) - 1/n} * x^{(1/n) - 1}

f ' (x) = m/n * x^{(m/n) -1}    (x > 0)


f(x) = x^-m/n    (x > 0)

22) Zeigen Sie, dass auch jede Potenzfunktion f(x) = x^-m/n (x > 0) mit m, n ∈ N, m ≥ 1 und n ≥ 2 differenzierbar ist,
und die Ableitung f ' (x) = -m/n * x^{(-m/n) -1} (x > 0) hat.

x^-m/n = (x^1/n)^-m

y = u(z) = z^-m äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x^1/n innere Funktion der Verkettung

v ' (x) =1/n * x^{(1/n) - 1}    (x > 0)    siehe

u ' (z) = -m * z^-m-1

u ' (v(x)) = -m * (x^1/n)^-m-1    //z = v(x)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = -m * (x^1/n)^-m-1 * 1/n * x^{(1/n) - 1}

f ' (x) = -m/n * x^{(-m/n) - 1/n} * x^{(1/n) - 1}

f ' (x) = -m/n * x^{(-m/n) -1}    (x > 0)


Aufgaben:

Bilden Sie die Ableitungen folgender Funktionen!

1a) f(x) = (2x - 3)⁵

y = u(z) = z⁵ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = 2x - 3 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 2

u ' (z) = 5 * z⁴

u ' (v(x)) = 5 * (2x - 3)⁴

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 5 * (2x - 3)⁴ * 2            

f ' (x) = 10 * (2x - 3)⁴


b) f(x) = (x² + 1)¹⁰

y = u(z) = z¹⁰ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x² + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 10 * z⁹

u ' (v(x)) = 10 * (x² + 1)⁹

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 10 * (x² + 1)⁹ * 2x                

f ' (x) = 20x * (x² + 1)⁹        


c) f(x) = x^3/2

f ' (x) = 3/2 * x^1/2

f ' (x) = 3/2 * √x    (x ≥ 0)


d) f(x) = x^2/3   

f ' (x) = 2/3 * x^-1/3

f ' (x) = 2/(3(x^1/3))

f ' (x) =        2         (x > 0)
               3 * ³√x


e) f(x) = (2x² - x + 6)^1/3

y = u(z) = z^1/3 äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = 2x² - x + 6 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 4x - 1

u ' (z) = 1/3 * z^-2/3

u ' (v(x)) = 1/(3(2x² - x + 6)^2/3)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/(3(2x² - x + 6)^2/3) * (4x - 1)

f ' (x) = (4x - 1) / (3(2x² - x + 6)^2/3)


f) y = x^-4/5

y ' = -4/5 * x^-9/5

y ' = -4/(5 * x^9/5)


2a) f(x) = (0,5x - 7)⁷

y = u(z) = z⁷ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = 0,5x - 7 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 0,5

u ' (z) = 7z⁶

u ' (v(x)) = 7(0,5x - 7)⁶

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 7(0,5x - 7)⁶ * 0,5           

f ' (x) = 3,5(0,5x - 7)⁶


b) f(x) = (1 - x²)⁴

 f(x) = (-x² + 1)⁴

y = u(z) = z⁴ äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = -x² + 1 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = -2x

u ' (z) = 4z³

u ' (v(x)) = 4(-x² + 1)³

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 4(-x² + 1)³ * -2x    

f ' (x) = -8x(-x² + 1)³


c) f(x) = √x² + 3x + 10

y = u(z) = z^1/2 äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x² + 3x + 10 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 2x + 3

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (x² + 3x + 10)^-1/2

u ' (v(x)) = 1/(2√x² + 3x + 10)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/(2√x² + 3x + 10) * 2x + 3

f ' (x) = (2x + 3) / (2√x² + 3x + 10)


d) f(x) = (x⁴ + 5)^1/3

y = u(z) = z^1/3 äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x⁴ + 5 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 4x³

u ' (z) = 1/3 * z^-2/3

u ' (v(x)) = 1/3 * (x⁴ + 5)^-2/3

u ' (v(x)) = 1/(3(x⁴ + 5)^2/3)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/(3(x⁴ + 5)^2/3) * 4x³

f ' (x) = 4x³ / (3(x⁴ + 5)^2/3)


e) f(x) = (x³ + 8x)^1/2

y = u(z) = z^1/2 äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = x³ + 8x innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 3x² + 8

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (x³ + 8x)^-1/2

u ' (v(x)) = 1/(2√x³ + 8x)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/(2√x³ + 8x) * 3x² + 8

f ' (x) = (3x² + 8) / (2√x³ + 8x)


f) z(a) = a^-1/2

z(a) = 1/√a

y = u(o) = o^-1/2 äußere Funktion der Verkettung

o = v(a) = a innere Funktion der Verkettung

v ' (a) = 1

u ' (o) = -1/2 * o^-3/2

u ' (v(a)) = -1/2 * a^-3/2

u ' (v(a)) = -1/(2 * a^3/2)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

z ' (a) = -1/(2 * a^3/2) * 1

z ' (a) = -1 / (2√a³)


3a) f(x) = 3 / (3x - 5)²

u(x) = 3

u ' (x) = 0

v(x) = (3x - 5)²

------------------------------------
f(x) = (3x - 5)²

y = u(z) = z² äußere Funktion der Verkettung

z = v(x) = 3x - 5 innere Funktion der Verkettung

v ' (x) = 3

u ' (z) = 2z

u ' (v(x)) = 2(3x - 5)

u ' (v(x)) = 6x - 10

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (6x - 10) * 3

f ' (x) = 18x - 30
------------------------------------
v ' (x) = 18x - 30

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = [-(3 * (18x - 30)] / (3x - 5)⁴

f ' (x) = (-54x + 90) / (3x - 5)⁴    (x ≠ 5/3)

3x - 5 = 0

3x = 5

x = 5/3


25.07.2009

b) f(x) = (4 + x)³ * (x - 5)⁴

f1(x) = (4 + x)³

z = v(x) = 4 + x

u(z) = z³

v ' (x) = 1

u ' (z) = 3z²

u ' (v(x)) = 3(4 + x)²

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f1 ' (x) = 3(4 + x)² * 1

f1 ' (x) = 3(4 + x)²

f2(x) = (x - 5)⁴

z = v(x) = x - 5

u(z) = z⁴

v ' (x) = 1

u ' (z) = 4z³

u ' (v(x)) = 4(x - 5)³

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f2 ' (x) = 4(x - 5)³ * 1

f2 ' (x) = 4(x - 5)³

(u * v) ' = u ' * v  +  u * v '

f1(x) = (4 + x)³

f1 ' (x) = 3(4 + x)²

f2(x) = (x - 5)⁴

f2 ' (x) = 4(x - 5)³

f ' (x) = 3(4 + x)² * (x - 5)⁴ + (4 + x)³ * 4(x - 5)³


c) f(x) = ((2x + 5) / (3x - 1))³

z = v(x) = (2x + 5) / (3x - 1)

u(z) = z³

v ' (x) = (2(3x - 1) - 3(2x + 5)) / (3x - 1)²
---------------------------------------
u(x) = 2x + 5

u ' (x) = 2

v(x) = 3x - 1

v ' (x) = 3

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f1 ' (x) = (2(3x - 1) - 3(2x + 5)) / (3x - 1)²
----------------------------------------
u ' (z) = 3z²

u ' (v(x)) = 3((2x + 5) / (3x - 1))²

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 3((2x + 5) / (3x - 1))² * (2(3x - 1) - 3(2x + 5)) / (3x - 1)²

f ' (x) = (3(2x + 5) * -17) / (3x - 1)³

f ' (x) = (-51(2x + 5)) / (3x - 1)³


d) f(x) = 1/√2x + 1

f(x) = (2x + 1)^-1/2

z = v(x) = 2x + 1

u(z) = z^-1/2

v ' (x) = 2

u ' (z) = -1/2 * z^-3/2

u ' (v(x)) = -1/2 * (2x + 1)^-3/2

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = -1/2 * (2x + 1)^-3/2 * 2

f ' (x) = -1 / √(2x + 1)³

f ' (x) = -1 / ((2x + 1) * √2x + 1)


e) f(x) = √x³ * (x² - 7x)

u(x) = √x³ = x^3/2

u ' (x) = 3/2 * √x

v(x) = x² - 7x

v ' (x) = 2x - 7

(u * v) ' = u ' * v  +  u * v '

f ' (x) = 3/2 * √x * (2x - 7) + √x³ * (2x - 7)


f) f(x) = (2x - 5) / √3x - x²

u(x) = 2x - 5

u ' (x) = 2

v (x) = √3x - x²

v ' (x) = (-2x + 3) / (2√3x - x²)
-------------------------------
f (x) = √3x - x²

f (x) = (3x - x²)^1/2

z = v(x) = 3x - x²

u (z) = z^1/2

v ' (x) = -2x + 3

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (3x - x²)^-1/2

u ' (v(x)) = 1 / (2√3x - x²)    (3x - x² > 0)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = [1 / (2√3x - x²)] * (-2x + 3)

f ' (x) = (-2x + 3) / (2√3x - x²)
-------------------------------------------------
(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = [2 * √3x - x² - (2x - 5) * (-2x + 3) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [2√3x - x² - (-4x² + 6x + 10x - 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [2√3x - x² + (4x² - 6x - 10x + 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [2√3x - x² * 2√3x - x² + 4x² - 16x + 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [4(3x - x²) + 4x² - 16x + 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [4(3x - x²) + 4x² - 16x + 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = [12x - 4x² + 4x² - 16x + 15) / (2√3x - x²)] / (3x - x²)

f ' (x) = (-4x + 15) / (2 * (3x - x²) * √3x - x²)


4a) f(x) = (x² + 1) / (x² + 1)³

u(x) = x² + 1

u ' (x) = 2x

v(x) = (x² + 1)³

v ' (x) = 6x(x² + 1)²
----------------------------------
f(x)= (x² + 1)³

z = v(x) = x² + 1

u(z) = z³

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 3z²

u ' (v(x)) = 3(x² + 1)²

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 3(x² + 1)² * 2x

f ' (x) = 6x(x² + 1)²
---------------------------------------
(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (2x * (x² + 1)³ - (x² + 1) * 6x(x² + 1)²) / (x² + 1)⁶

f ' (x) = (2x(x² + 1)³ - 6x(x² + 1)³) / (x² + 1)⁶

f ' (x) = (-4x(x² + 1)³) / (x² + 1)⁶

f ' (x) = -4x(x² + 1)^-3

f ' (x) = -4x / (x² + 1)³


b) f(x) = [(x² + 1) * (x - 7)]⁴

z = v(x) = (x² + 1) * (x - 7)

u(z) = z⁴

v ' (x) = 2x * (x - 7) + (x² + 1)
-------------------------------------------
u(x) = x² + 1

u ' (x) = 2x

v(x) = x - 7

v ' (x) = 1

(u * v) ' = u ' * v  +  u * v '

f ' (x) = 2x * (x - 7) + (x² + 1) * 1

f ' (x) = 2x * (x - 7) + (x² + 1)
--------------------------------------------
u ' (z) = 4z³

u ' (v(x)) = 4[(x² + 1) * (x - 7)]³

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 4[(x² + 1) * (x - 7)]³ * [2x * (x - 7) + (x² + 1)]


c) f(x) = [(x² - 1) / (x² + 1)]³

z = v(x) = (x² - 1) / (x² + 1)

u(z) = z³

v ' (x) = 4x / (x² + 1)²

u ' (z) = 3z²

u ' (v(x)) = 3((x² - 1) / (x² + 1))²
----------------------------------------------
f(x) = (x² - 1) / (x² + 1)

u(x) = x² - 1

u ' (x) = 2x

v(x) = x² + 1

v ' (x) = 2x

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (2x * (x² + 1) - (x² - 1) * 2x) / (x² + 1)²

f ' (x) = (2x³ + 2x - 2x³ + 2x) / (x² + 1)²

f ' (x) = 4x / (x² + 1)²
-----------------------------------------------------------
f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 3((x² - 1) / (x² + 1))² * 4x / (x² + 1)²

f ' (x) = 12x(x² - 1)² / (x² + 1)⁴

f ' (x) = 12x(x⁴ - 2x² + 1) / (x² + 1)⁴


d) f(x) = (x² - 5)^-1/3

z = v(x) = x² - 5

u(z) = z^-1/3

v ' (x) = 2x

u ' (z) = -1/3z^-4/3

u ' (v(x)) = -1/3(x² - 5)^-4/3

u ' (v(x)) = -1 / (3(x² - 5)^4/3

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = -1 / (3(x² - 5)^4/3 * 2x)

f ' (x) = -2x / (3(x² - 5)^4/3)

f ' (x) = -2x / (3(x² - 5)¹ * (x² - 5)^1/3)


e) f(x) = x³ + 5 - √2x

f1(x) = x³

f1 ' (x) = 3x²

f2(x) = -√2x
--------------------------------------
z = v(x) = 2x

u(z) = -√z

u(z) = -z^1/2

v ' (x) = 2

u ' (z) = -1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = -1/2 * (2x)^-1/2

u ' (v(x)) = -1 / (2√2x)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f2 ' (x) = [-1 / (2√2x)] * 2

f2 ' (x) = -2 / (2√2x)
----------------------------------------
f ' (x) = (3x² - 2) / (2√2x)

f ' (x) = (3x² - 1) / √2x


f) f(x) = (√x² - 3x) / (5 - 2x)
-------------------------------------------
f(x) = √x² - 3x

z = v(x) = x² - 3x

u(z) = √z

v ' (x) = 2x - 3

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (x² - 3x)^-1/2

u ' (v(x)) = 1 / (2√x² - 3x)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = [1 / (2√x² - 3x)] * (2x - 3)

f ' (x) = (2x - 3) / (2√x² - 3x)
------------------------------------------------
u(x) = √x² - 3x

u ' (x) = (2x - 3) / (2√x² - 3x)

v(x) = 5 - 2x

v ' (x) = -2

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = [((2x - 3) / (2√x² - 3x)) * (5 - 2x) - (√x² - 3x) * -2] / (5 - 2x)²

f ' (x) = [(10x - 4x² - 15 + 6x - -2(√x² - 3x) * (2√x² - 3x)) / (2√x² - 3x)] / (5 - 2x)²

f ' (x) = [(16x - 4x² - 15 + 4x² - 12x) / (2√x² - 3x)] / (5 - 2x)²

f ' (x) = [(4x - 15) / (2√x² - 3x)] / (5 - 2x)²

f ' (x) = (4x - 15) / (2 * (5 - 2x)² * √x² - 3x)


5) Es sei n eine natürliche Zahl mit n > 1. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen!

a) f(x) = (ax + b)ⁿ

z = v(x) = ax + b

u(z) = zⁿ

v ' (x) = a

u ' (z) = n * z^n-1

u ' (v(x)) = n * (ax + b)^n-1

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = n * (ax + b)^n-1 * a

f ' (x) = an * (ax + b)^n-1


b) f(x) = (ax + b)^1/n    (ax + b > 0)

z = v(x) = ax + b

u(z) = z^1/n

v ' (x) = a

u ' (z) = 1/n * z^{(1/n) - 1}

u' (v(x)) = 1/n * (ax + b)^{(1/n) - 1}

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/n * (ax + b)^{(1/n) - 1} * a

f ' (x) = a/n * (ax + b)^{(1/n) - 1}


6) Es sei g eine differenzierbare Funktion, n eine natürliche Zahl mit n > 1. Wenden Sie die Kettenregel auf folgende Spezialfälle an!

a) f(x) = [g(x)]ⁿ

z = v(x) = g(x)

u(x) = zⁿ

v ' (x) = g ' (x)

u ' (z) = n * z^n-1

u ' (v(x)) = n * g(x)^n-1

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = n * g(x)^n-1 * g ' (x)

f ' (x) = n * g ' (x) *  g(x)^n-1


b) f(x) = [g(x)]^1/n

z = v(x) = g(x)

u(x) = z^1/n

v ' (x) = g ' (x)

u ' (z) = 1/n * z^{(1/n) - 1}

u ' (v(x)) = 1/n * g(x)^{(1/n) - 1}

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1/n * g(x)^{(1/n) - 1} * g ' (x)

f ' (x) = 1/n * g ' (x) * g(x)^{(1/n) - 1}


7) Differenzieren Sie folgende Funktionen!

a) f(x) = (5x² - 7x + 8)^1/2

z = v(x) = 5x² - 7x + 8

u(z) = z^1/2

v ' (x) = 10x - 7

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (z) = 1 / 2√z

u ' (v(x)) = 1 / 2√5x² - 7x + 8

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (10x - 7) / 2√5x² - 7x + 8


b) f(x) = (x² - x + 1)^1/2

z = v(x) = x² - x + 1

u(z) = z^1/2

v ' (x) = 2x - 1

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (x² - x + 1)^-1/2

u ' (v(x)) = 1 / 2√x² - x + 1

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (2x - 1) / 2√x² - x + 1


c) f(x) = (x⁴ + x³ - x)^1/2

z = v(x) = x⁴ + x³ - x

u(z) = √z

v ' (x) = 4x³ + 3x² - 1

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (v(x)) = 1/2 * (x⁴ + x³ - x)^-1/2

u ' (v(x)) = 1 / (2√x⁴ + x³ - x)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (4x³ + 3x² - 1) / (2√x⁴ + x³ - x)


d) f(x) = √3x³ + 2x² + x + 1

z = v(x) = 3x³ + 2x² + x + 1

u(z) = √z

v ' (x) = 9x² + 4x + 1

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (z) = 1 / (2√z)

u ' (v(x)) = 1 / (2√3x³ + 2x² + x + 1)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (1 / (2√3x³ + 2x² + x + 1)) * 9x² + 4x + 1

f ' (x) = (9x² + 4x + 1) / (2√3x³ + 2x² + x + 1)


8) Bestimmen Sie den Anstieg des Graphen der Funktion f an der Stelle x0, wenn

a) f(x) = (x² - 1)¹⁵,    x0 = 2;

z = v(x) = x² - 1

u(z) = z¹⁵

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 15 * z¹⁴

u ' (v(x)) = 15 * (x² - 1)¹⁴

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 15 * (x² - 1)¹⁴ * 2x

f ' (x) = 30x * (x² - 1)¹⁴


f ' (2) = 60 * (3)¹⁴

f ' (2) = 286.978.140


b) f(x) = √x² + 1,    x0 = 3 ist!

z = v(x) = x² + 1

u(z) = √z

v ' (x) = 2x

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (z) = 1 / (2√z)

u ' (v(x)) = 1 / 2√x² + 1

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = (1 / 2√x² + 1) * 2x

f ' (x) = 2x / 2√x² + 1


f ' (3) = 6 / 2√10

f ' (3) = 6 / 2√10

f ' (3) = 3 / √10



15 Ableitungen höherer Ordnung


23) Bilden Sie die Ableitung der folgenden Funktionen!

a) f(x) = x³

f ' (x) = 3x²


b) f(x) = 3x²

f ' (x) = 6x


c) f(x) = 6x

f ' (x) = 6


Ableitungen Schreibweise

y ' = f ' (x) = dy / dx

y ' = f ' (x) = d(f(x) / dx

y ' = f ' (x) = d/dx f(x)

y '' = f '' (x) = d²/dx² f(x)    //d/dx * d/dx

y ''' = f '''(x) = d³/dx³ f(x)    //d/dx * d/dx * d/dx

x ∈ D(f)

d / dx heißt Differentialoperator

y '

y ''

y '''

y ⁽⁴⁾


Beispiel 37)
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = 4x⁵ - 7x⁴ + 8x³ - √2 x² + x - 1/2,
von der die Ableitung 6. Ordnung zu bestimmen ist.

f ' (x) = 20x⁴ - 28x³ + 24x² - 2√2 x + 1

f '' (x) = 80x³ - 84x² + 48x - 2√2

f ''' (x) = 240x² - 168x + 48

f ⁽⁴⁾ (x) = 480x - 168

f ⁽⁵⁾ (x) = 480

f ⁽⁶⁾ (x) = 0


Aufgaben:

Bilden Sie die 1. und die 2. Ableitung der folgenden Funktionen!

1a) f(x) = 3x² + 6x - 7

f ' (x) = 6x + 6

f '' (x) = 6


b) f(x) = (x² + 1)³

f ' (x) = 6x * (x² + 1)²

f ' (x) = 6x * (x⁴ + 2x² + 1)

f ' (x) = 6x⁵ + 12x³ + 6x 

f '' (x) = 30x⁴ + 36x² + 6


c) f(x) = (x² + 1)(2x³ + 5)

f(x) = 2x⁵ + 5x² + 2x³ + 5

f ' (x) = 10x⁴ + 6x² + 10x

f ''(x) = 40x³ + 12x + 10


d) f(x) = (x - 1) / (x² + 1)

u(x) = x - 1

u ' (x) = 1

v(x) = x² + 1

v ' (x) = 2x

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = (1 * (x² + 1) - (x - 1) * 2x) / (x² + 1)²

f ' (x) = (x² + 1 - 2x² + 2x) / (x² + 1)²

f ' (x) = (-x² + 2x + 1) / (x² + 1)²

f '' (x) =

u(x) = -x² + 2x + 1

u ' (x) = -2x + 2

v(x) = (x² + 1)²

v ' (x) = 4x(x² + 1)

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f '' (x) = [(-2x + 2) * (x² + 1)² - (-x² + 2x + 1) * 4x(x² + 1)] / (x² + 1)4


2a) f(x) = 1/5 * x³ + 7x² - x + √7

f ' (x) = 3/5 * x² + 14x - 1

f '' (x) = 6/5 * x + 14


b) f(x) = (0,5x - 5)⁴

z = v(x) = 0,5x - 5

u(z) = z⁴

v ' (x) = 0,5

u ' (z) = 4z³

u ' (v(x)) = 4(0,5x - 5)³

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 4(0,5x - 5)³ * 0,5

f ' (x) = 2(0,5x - 5)³

f '' (x) =

u(x) = 2

u ' (x) = 0

v(x) = (0,5x - 5)³

v ' (x) = 1,5(0,5x - 5)²

(u * v) ' = u ' * v + u * v '

f '' (x) = 2 * 1,5(0,5x - 5)²

f '' (x) = 3(0,5x - 5)²


c) f(x) = (1 - x²) (5 - x³)

f(x) = 5 - x³ - 5x² + x⁵

f(x) = x⁵ - x³ - 5x² + 5

f ' (x) = 5x⁴ - 3x² - 10x

f '' (x) = 20x³ - 6x - 10


d) f(x) = (x² + 5x - 7) / (2x² + x + 10)

u(x) = x² + 5x - 7

u ' (x) = 2x + 5

v(x) = 2x² + x + 10

v ' (x) = 4x + 1

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f ' (x) = ((2x + 5) * (2x² + x + 10) - (x² + 5x - 7) * (4x + 1)) / (2x² + x + 10)²

f ' (x) = (4x³ + 2x² + 20x + 10x² + 5x + 50 - (4x³ + x² + 20x² + 5x - 28x - 7)) / (2x² + x + 10)²

f ' (x) = (4x³ + 2x² + 20x + 10x² + 5x + 50 - 4x³ - x² - 20x² - 5x + 28x + 7) / (2x² + x + 10)²

f ' (x) = (-9x² + 48x + 57) / (2x² + x + 10)²

f '' (x) =

u(x) = -9x² + 48x + 57

u ' (x) = -18x + 48

v(x) = (2x² + x + 10)²

v ' (x) = 2(2x² + x + 10) * (4x + 1)
---------------------------------------------------
z = v(x) = 2x² + x + 10

u(z) = z²

v ' (x) = 4x + 1

u ' (z) = 2z

u ' (v(x)) = 2(2x² + x + 10)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 2(2x² + x + 10) * (4x + 1)
------------------------------------------------------
(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f '' (x) = [(-18x + 48) * (2x² + x + 10)² - (-9x² + 48x + 57) * 2(2x² + x + 10) * (4x + 1)] / (2x² + x + 10)⁴


3) Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f, f ' und f '' jeweils in ein und dasselbe Koordinatensystem, wenn

a) f(x) = x² - 4x + 2;

x        -2        -1        0        1        2        3        4

f(x)     14        7         2      -1       -2      -1        2


f ' (x) = 2x - 4

x        -2        -1        0        1        2

f(x)    -8        -6       -4       -2        0


f '' (x) = 2

x        -2        -1        0        1        2

f(x)      2         2         2        2        2


b) f(x) = 0,5x² - 2x + 3!

x         -2        -1        0        1        2        3        4

f(x)       9        5,5       3       1,5      1      1,5       3


f ' (x) = x - 2

x         -2        -1        0        1        2

f(x)     -4        -3       -2       -1        0


f '' (x) = 1


4a) Bestimmen Sie die 8. Ableitung der Funktion f(x) = x⁸!

f ' (x) = 8x⁷

f '' (x) = 56x⁶

f ''' (x) = 336x⁵

f ⁽⁴⁾ (x) = 1680x⁴

f ⁽⁵⁾ (x) = 6720x³

f ⁽⁶⁾ (x) = 20160x²

f ⁽⁷⁾ (x) = 40320x

f ⁽⁸⁾ (x) = 40320

40320 = 8!


b) Bestimmen Sie die 3. Ableitung der Funktion f(x) = x⁴ + 5x³ - 9x + 3!

f ' (x) = 4x³ + 15x² - 9

f '' (x) = 12x² + 30x

f ''' (x) = 24x + 30


c) Bestimmen Sie die 4. Ableitung der Funktion f(x) = x^1/2!

f ' (x) = 1/2 * x^-1/2

f '' (x) = -1/4 * x^-3/2

f '''(x) = 3/8 * x^-5/2

f ⁽⁴⁾ (x) = -15/16 * x^-7/2


Bestimmen Sie die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktionen! An welchen Stellen des
Definitionsbereiches von f sind f ' und f '' nicht definiert?

5a) f(x) = √x    x ≥ 0

f ' (x) = 1/2 * x^-1/2

f ' (x) = 1 / (2√x)    x > 0

f '' (x) = -1/4 * x^-3/2

f '' (x) = -1 / (4√x³)    x > 0


b) f(x) = x^2/3    x ≥ 0

f ' (x) = 2/3 * x^-1/3      x > 0

f '' (x) = -2/9 * x^-4/3    x > 0


c) f(x) = √1 - x²    |x| ≤ 1

z = v(x) = 1 - x²

u(z) = √z

v ' (x) = -2x

u ' (z) = 1/2 * x^-1/2

u ' (z) = 1 / (2√z)

u ' (v(x)) = 1 / (2√1 - x²)

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = -2x / (2√1 - x²)

f ' (x) = -x / √1 - x²    |x| < 1   
 
f '' (x) =

u(x) = -x

u ' (x) = -1

v(x) = √1 - x²

v ' (x) = -x / √1 - x²

(u / v)' = (u'v - uv') / v²

f '' (x) = (-1 * √1 - x² - (-x * -x / √1 - x²)) / (1 - x²)

f '' (x) = (-√1 - x² - x² / √1 - x²)) / (1 - x²)

f '' (x) = (-√1 - x² * √1 - x² - x²) / ((1 - x²) * √1 - x²)

f '' (x) = (-(1 - x²) - x²) / ((1 - x²) * √1 - x²)

f '' (x) = -1 / ((1 - x²) * √1 - x²)    |x| < 1   


6a) f(x) = x^1/3    x ≥ 0

f ' (x) = 1/3 * x^-2/3    x  ≠ 0

f '' (x) = -2/9 * x^-5/3   

f '' (x) = -2 / (9x * x^2/3)    x  ≠ 0


b) f(x) = x^-2/3    x > 0

f ' (x) = -2/3 * x^-5/3    x > 0

f '' (x) = 10/9 * x^-8/3

f '' (x) = 10 / (9x² * x^2/3)    x  ≠ 0


6c) f(x) = √x -√x    x ≥ 1

z = v(x) = x - √x

u(z) = √z

v ' (x) = 1 - 1/2 * x^-1/2

v ' (x) = 1 - 1/(2√x)

u ' (z) = 1/2 * z^-1/2

u ' (z) = 1 / 2√z

u ' (v(x)) = 1 / 2√x - √x

f ' (x) = u ' (v(x)) * v ' (x)

f ' (x) = 1 / (2√x - √x) * (1 - 1/(2√x))

f ' (x) = 1 / (2√x - √x)  *  -1 / [(2√x - √x) * (2√x)]    x > 1


Bestimmen Sie jeweils den Definitionsbereich und die 1. und 2. Ableitung der folgenden Funktionen!

7a) f(x) = (1 - x²)^-1/2    |x| < 1      

z = v(x) = 1 - x²