Mathematik Sekundarstufe II Petra Konitzer-Haars
Inhalt:
A Zahlenfolgen, vollständige Induktion, Kombinatorik
B Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen
C Differentialrechnung
D Integralrechnung
abgeschlossenes Intervall
Arithmetische Folgen
Berechung DIN A Standard
Beweis Definition
Beweis eines Grenzwertsatzes für Zahlenfolgen
Beweis
durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Binom
Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient (a + b)n
Binomische Formel (a +
b)³
Bogenmaß eines Winkels
Catalan-Zahl
Definitionsbereich einer Funktion
divergent
echte Teilmenge
Epsilonumgebung einer Zahl
explizite
Zuordnungsvorschrift
Faktorisierung
Fakultät
Folge der Dreieckszahlen
Geometrische Folgen
Grenzwert berechnen
Grenzwert einer Folge
Grenzwert einer Folge Beispiel
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle Beispiel
Grenzwerte von Funktionen
Grenzwertsätze für Funktionen
Grenzwertsätze für
Funktionen Herleitung
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen
halboffenes Intervall
Halbwertzeit berechnen
Induktion Vollständige Induktion einfache Erklärung
Intervalle
Koeffizient
Kombination
Kombination mit Wiederholung
Kombination ohne Wiederholung
konstante Folgen
konvergent
Konvergenz von
Zahlenfolgen
konvexes ebenes Vieleck Definition
Kreditberechnung
Laufindizes δ
Limes
Limes einer konstanten Folge
Logarithmus
Logarithmengesetze
Maximum von f im Intervall I
Minimum von f im Intervall I
Monotonie von Folgen
Monotonie von Funktionen
Monotoniegesetz
der Addition
Nullfolge
Nullfolge Beispiel
obere Grenze einer Zahlenfolge
offenes
Intervall
Partialsummen
Partialsummenfolge
Permutationen
Potenzgesetz
Reihe
rekursive
Zuordnungsvorschrift
Rentenrechnung nachschüssig
Rentenrechnung vorschüssig
Satz über die Annahme der
Zwischenwerte
Satz und Definition
Unterschied
Satz vom Maximum und Minimum
Satz von der oberen Grenze
Schranken von Zahlenfolgen
stetig
Stetigkeit Definition
Σ Summenzeichen
Sigma
strenge Monotonie
Summenformel der Fünferpotenzen
Summenformel der Quadratzahlen
Summenformeln für arithmetische Folgen
Summenformeln für geometrische Folgen
Summenformel für
geometrische Folge Beispiel
Taschenrechner Nullstellenberechnung
Teilmengen
Triangulierung
unechte Teilmenge
unstetig
untere Grenze einer Zahlenfolge
Unterhaltungsmathematik
Variation
Variation mit Wiederholung
Vorzeichenwechsel
Vorzugszahlenreihen R5 R10 R20 R40
Zahlenbereiche
Zahlenfolgen
Zeichen für entspricht
Zeichen für kleiner gleich und größer gleich in HTML
Zinseszinsrechnung
Startseite php5 mysql
Mathematik 11 EOS
DEG=Altgrad
RAD=Bogenmaß
GRA=Grad
A Zahlenfolgen, vollständige Induktion, Kombinatorik
5 Zahlenbereiche:
N Menge der
natürlichen Zahlen
enthält die positiven ganzen Zahlen N={1,2,3,...}
oder enthält die nichtnegativen ganzen Zahlen N={0,1,2,3,...}
Z Menge der ganzen Zahlen (Integer)
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Q+ Menge der gebrochenen Zahlen
Die positiven rationalen Zahlen heißen gebrochene Zahlen.
Q Menge der rationalen Zahlen
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen
dargestellt werden kann.
R Menge der reellen Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen und
irrationalen Zahlen.
Eine Zahl ist irrational wenn sie reell aber nicht rational ist. z.B. π
Alle Primzahlen sind natürliche Zahlen. Es gibt also keine negativen Primzahlen.
Teilmengen
Unechte Teilmenge: alle Elemente einer Menge M1 sind auch Elemente einer Menge
M2
(jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst)
Echte Teilmenge: M2 enthält außer den Elementen von M1 noch mindestens ein
weiteres
Element, dann ist M1 echte Teilmenge von M2 M1⊆ M2
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge; man kann nämlich jeder Menge kein
Element
entnehmen.
Eine Menge geordneter Paare heißt Funktion, wenn sie keine zwei Paare enthält,
die
an der ersten Stelle übereinstimmen, sich aber an der zweiten Stelle
unterscheiden.
Jede Menge geordneter Paare [x;y], bei der zu jedem x genau ein y gehört, heißt
Funktion.
Beispiel:
f = {[x;y]; y = x² und x∈N}
Menge aller geordneten Paare [x;y] mit der Eigenschaft y = x² und x∈N
Übungsaufgaben
11e) Ermitteln Sie die Lösungsmengen der Gleichung (Grundbereich R)!
Lösung:
x1= 2 keine Lösung
x2= -3
12c) Geben Sie jeweils die Lösungsmengen der beiden Ungleichungen an
(Grundbereich R), und untersuchen Sie,
ob eine Teilmengenbeziehung zwischen ihnen besteht! Beschreiben Sie ferner den
Durchschnitt der beiden Lösungsmengen!
5x + 11 > 3x - 7
2x - 7 < 7x + 3
Lösung:
5x + 11 > 3x - 7
2x > -18 /:2
x > -9
M1 = {x; x > -9; x∈ R} Menge aller x mit der Eigenschaft x größer als -9 und x
Element der Reellen Zahlen
2x -7 < 7x + 3
-5x < 10 /:-5
x > -2
M2= {x; x > -2; x∈ R} Menge aller x mit der Eigenschaft x größer als -2 und x
Element der Reellen Zahlen
Durchschnittsmenge M1∩M2 ={d; d > -2; d∈ R}
12d) Geben Sie jeweils die Lösungsmengen der beiden Ungleichungen an
(Grundbereich R), und untersuchen Sie,
ob eine Teilmengenbeziehung zwischen ihnen besteht! Beschreiben Sie ferner den
Durchschnitt der beiden Lösungsmengen!
5x + 7 < 2(x + 2)
x < -1
M1 = {x; x < -1; x∈ R}
3(x +1) > 2(x-5)
x > -13
M2= {x; x > -13; x∈ R}
M1∩M2 ={d; -1 > d > -13; d∈ R}
13c) Bei welchen der folgenden Mengen geordneter Paare handelt es sich um
Funktionen?
Bestimmen Sie deren
Definitionsbereich und Wertebereich!
Menge aller [x; y] mit x ∈ R und y ∈ Z und x-1 < y ≤
x
Funktion y = x x∈z
Zahlenfolgen
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit einer Menge natürlicher
Zahlen als Definitionsbereich und einer
Menge reeller Zahlen als Wertebereich. Elemente des Wertebereiches heißen
Glieder der Zahlenfolgen.
Entsprechend dem Definitionsbereich gibt es endliche und unendliche
Zahlenfolgen.
Beispiel:
y = 0,5x - 1
für das 3. Glied der Folge gilt:
f(3) = a3 = 0,5 * 3 - 1 = 0,5
für das n-te Glied der Folge gilt:
f(an) = an = 0,5n -1
Die Gleichung f = (an) = (0,5n -1) bezeichnet die gesamte Folge.
5) Betrachtet werden die Folgen
ak = 3k-1
ak = 0,5k
ak = 3k - 4
k
ak = k - k²
5a) Geben Sie jeweils a1, a2, a3, a4 und a5 an!
5b) Geben Sie jeweils a100 und a500 an!
ak = 3k-1
a1 = 2
a2 = 5
a3 = 8
a4 = 11
a5 = 14
a100 = 299
a500 = 3*500-1 = 1499
ak = 0,5k
a1 = 0,5
a2 = 1
a3 = 1,5
a4 = 2
a5 = 2,5
a100 = 50
a500 = 250
ak = 3k - 4
k
a1 = -1
a2 = 1
a3 = 5
3
a4 = 2
a5 = 11
5
a100 = 296
100
a500 = 1496
500
ak = k - k²
a1 = 0
a2 = -2
a3 = -6
a4 = -10
a5 = -20
a100 = -9900
a500 = -249500
6) Geben Sie für die Folgen eine geeignete Zuordnungsvorschrift an! Berechnen
Sie
danach das jeweils 23. Glied!
-7; -3; 1; ...
2; 5; 10; 17; ...
√2; 2; 2√2; 4; ....
Lösung:
-7; -3; 1; ...
ak = 4k - 11
a23 = 81
2; 5; 10; 17; ...
ak = k²+ 1
a23 = 530
√2; 2; 2√2; 4; ....
ak =( √2)²
a23 = 2048√2
Zuordnungsvorschriften einer Folge
rekursive Zuordnungsvorschrift (recurrere lat. - zurücklaufen)
aus voranstehenden Gliedern gewonnen
Beispiel:
ak+1 = ak+5
a1 = 1
dann ist
a1+1 = a2 = a1 + 5
a1+1 = a2 = 1 + 5
a1 +1 = a2 = 6
a2 = 6
a2+1 = a3 = a2 + 5
a2 +1= a3 = 6 + 5
a3 = 11
explizite Zuordnungsvorschrift (explicare lat. - erklären)
Die Werte lassen sich unmittelbar, das heißt ohne Umformung der Funktion
berechnen.
Beispiel:
ak = 5k - 4
a1 = 5 *
1 - 4
a1 = 1
a2 = 5 *
2 - 4
a2 = 6
a3 = 5 *
3 - 4
a3 = 11
7b) Seite 17
Nennen Sie a1 bis a5 für nachstehende Folgen!
a1 = 3; ak+1 = ak + k
Lösung:
a1 + 1 = a2 = a1 + 1
a2 = 3 + 1
a2 = 4
a2 +1 = a3 = a2 + 2
a3 = 4 + 2
a3 = 6
a3+1 = a4 = a3 + 3
a4 = 9
a4+1 = a5 = a4 + 4
a5 = 13
a1 = -1 ; a2 = -2; ak+2 = ak *
ak+1
Lösung:
ak+2 = a3 = a1 * a2
a3 = -1 * -2
a3 = 2
a2+2 = a4 = a2 * a3
a4 = -2 * 2
a4 = -4
a3+2 = a5 = a3 * a4
a5 = 2 * -4
a5 = -8
a1 = 1; ak+1 = 2ak - 5
Lösung:
a1+1 = a2 = 2a1 - 5
a2 = -3
a2+1 = a3 = 2a2 - 5
a3 = -11
a3+1 = a4 = 2a3 - 5
a4 = -27
a4+1 = a5 = 2a4 - 5
a5 = -59
7c) Geben Sie eine rekursive Zuordnungsvorschrift für
(ak) = (1; 2; 4; 8; 16; ...) an!
a1 = 1; ak+1 = 2ak
a1 + 1 = a2 = 2a1
a2 = 2
a2 + 1 = a3 = 2a2
a3 = 4
Seite 18
1) Geben Sie von den nachstehenden Folgen die ersten fünf Glieder an!
Wenn künftig von einer "Folge" ohne Angabe des Definitionsbereiches gesprochen
wird, so soll
darunter stets eine Zahlenfolge verstanden werden, deren Definitionsbereich die
Menge der natürlichen
Zahlen außer 0 ist.
a) (8k -7)
a1 = 1
a2 = 9
a3= 17
a4 = 25
a5 = 33
b) 5k
2
a1 = 2,5
a2 = 5
a3 = 7,5
a4 = 10
a5 = 12,5
c) 1
k
a1 = 1
a2 = 0,5
a3 = 1
3
a4 = 1
4
a5 = 0,2
d) k²- k
a1 = 0
a2 = 2
a3 = 6
a4 = 12
a5 = 20
e) (5 + k)
-k
a1 = -6
1
a2 = -7
2
a3 = -8
3
a4 = -9
4
a5 = -10
5
f) (-1)k * 3-k
k
a1 = -2
a2 = 0,5
a3 = 0
a4 = -1
4
a5 = 2
5
2) Sind die Zahlen 1; 25; 0; -2; -30; 100 Glieder der nachstehenden Folgen?
Wenn künftig von einer "Folge" ohne Angabe des Definitionsbereiches gesprochen
wird, so soll
darunter stets eine Zahlenfolge verstanden werden, deren Definitionsbereich die
Menge der natürlichen
Zahlen außer 0 ist.
a) k
3
1 ja
25 ja
0 nein
-2 nein
-30 nein
100 ja
b) 3k -5
1 ja
25 ja
0 nein
-2 ja
-30 nein
100 ja
c) 7k - k² = k(7 - k)
1= 6
2= 10
3= 12
4= 12
5= 10
6= 6
7= 0
8= -8
9= -18
10= -30
1 nein
25 nein
0 ja
-2 nein
-30 ja
100 nein
3) Gegeben sind jeweils einige Glieder einer Zahlenfolge. Geben Sie eine
Zuordnungsvorschrift
für diese Folgen an! Ergänzen Sie dann so, dass jeweils die Glieder a1 bis a8
vorliegen!
a) a1= -17; a2= -23; a3= -29
ak= -6k -11
a4= -35
a8= -59
b) a3=4; a4= 7/2; a8= 3/2
ak= (11-k) / 2
a1= 5
a2= 9/2 = 4,5
a8= 1,5
c) a1= 1; a2= -1/2; a3= 1/6; a6= -1/720
ak= (-1( k+1 )
) / k!
Hochzahl (Exponent)
schreiben mit HTML
<SUP><SMALL> (k+1) </SMALL></SUP>
a1= (-1 2 ) / 1! = 1
a6= (-1 7 ) / 6! = -1 / 1*2*3*4*5*6
= -1/720 = - 1
720
a8= -1 / 40320
4)
a) a2= 4/3; a3= 6/5; a4= 8/7
ak= 2k / (2k - 1)
a1= 2/1
a8= 16/15
b) a5= 5; a6= 2,5; a7= 1,25
ak= 160 / 2 k
a1= 80
a2= 40
a3= 20
a4= 10
a5= 5
a6 = 2,5
a7= 1,25
a8= 0,625
c) a3= -6/27; a4= 8/81; a7= -14/2178
ak= (-1) k * 2k/3 k
a1= -2/3
a8= 16/6561
5) Ermitteln Sie für nachstehende Folgen die ersten fünf Glieder! Geben Sie
möglichst
auch explizite Zuordnungsvorschriften an!
a) a1= 2; ak+1= ak + 1/3
a2= 7/3
a3= 8/3
a4= 9/3
a5=10/3
ak= (5 + k) / 3
b) a1= 1; ak+1= 2ak - 5
a2= -3
a3= -11
a4= -27
a5= -59
ak= 2(k-1) - 5(2(k-1) -1)
6)
a) a1= 3/2; ak+1= 4/3ak
a2= 12/6
a3= 24/9
a4= 96/27
a5= 128/27
ak= 4/3(k-1) * 3/2
b) a1= 0; a2= -1/2; ak+2= ak² * ak+1
a3= 0
a4= 0
a5= 0
ak= -1/2 * δk2
Erklärung
δk2 (Delta k2) Laufindizes
wenn k= 2 dann ist
δk2= 1
wenn k≠2 dann ist δk2= 0
Monotonie von Folgen
Folgen sind spezielle Funktionen.
Eine Zahlenfolge heißt monoton wachsend wenn für jedes k gilt:
ak ≤ ak+1 daraus folgt ak+1
- ak ≥ 0
Eine Zahlen folge heißt monoton fallend wenn für jedes k gilt:
ak ≥ ak+1 daraus folgt ak+1
- ak ≤ 0
strenge Monotonie: jedes Glied ist größer oder kleiner
Folgen deren Glieder gleich sind heißen konstante Folgen. Sie sind
entsprechend
der Definition monoton wachsend als auch monoton fallend.
Man untersucht also, ob die Differenzen benachbarter Glieder stets nicht
negativ oder
nicht positiv sind.
Beispiel 1 (5 - k/2)
ak+1 - ak =
5 - (k+1) - (5 -k ) =
2
2
k/2 - (k+1)/2 =
k - k - 1 = -1/2
2
Da die Differenz ak+1 - ak für alle k negativ ist, fällt die Folge monoton, und
zwar
sogar streng monoton.
Beispiel 2
k-1
1
k > 0
ak+1 - ak
k + 1 - 1 - k - 1 =
k + 1 k
k - k -
1 =
k + 1 k
k² - (k + 1) *
(k - 1) =
k²+ k
k²+ k
k² - (k²-1)
=
k²+ k k²+ k
k²- k²+ 1 =
k²+ k
1 > 0
k²+ k
Die Folge ist streng monoton wachsend.
Beispiel 3
k²- 8k
ak+1 - ak
(k+1)²- 8(k + 1) - (k²- 8k) =
2k + 1 - 8 =
2k - 7
Die Folge ist nicht monoton. Die Differenz ak+1 - ak ist für 0 < k
≤ 3 negativ.
Die Differenz ak+1 - ak ist für k > 3 positiv.
Die Folge fällt bis k < 4 monoton und wächst monoton ab k - 4.
Beispiel 4
(-1)k * 1
k
nicht monoton
für gerade k gilt ak= positiv
für ungerade k gilt ak= negativ
Arithmetische Folge
Eine Zahlenfolge ak heißt arithmetische Folge, wenn es eine konstante Zahl d
gibt.
ak+1= ak + d
d= ak+1 - ak
Beispiel:
a1= 5; d= 7
a1;
a1= 5;
a2= a1 + d;
a2= 5 + 7= 12;
a3= a2 + d; a1 + 2d
a3= 12 + 7= 19;
a4= a3 + d; a1 + 3d
a4= 19 + 7= 26;
ak= a1 + (k - 1) * d
Arithmetische Folgen treten überall dort auf, wo sich ein gewisser Anfangswert
mehrmals
um einen festen Wert vermehrt oder auch vermindert.
Beispiele: täglich wird die gleiche Anzahl von Produkten hergestellt, monatlich
wird ein fester
Betrag von einem Konto abgebucht
9a) Geben Sie für die Folge (ak)= (2k - 7) das Anfangsglied und die Differenz
an!
a1= -5
a2= -3
a3= -1
d= 2
9b) Stellen Sie einen Zusammenhang her zwischen der Funktionsgleichung y = mx +
n und
ak= a1 + (k-1) * d
ak= d * k +(a1-d)
y= d * x + (a1 -d)
Geometrische Folge
Bei geometrischen Folgen erfolgt die Veränderung von Glied zu Glied dadurch,
dass stets
mit der gleichen Zahl multipliziert wird.
ak+1= ak * q
q= ak+1 / ak
a1= 10
q= 5
a1;
a1= 10;
a2= a1 * q
a2= 10 * 5= 50;
a3= a2 * q = a1 * q²;
a3= 50 * 5 = 10 * 5²= 250;
a4= a3 * q = a1 * q³;
a4= 250 * 5 = 10 * 5³= 1250;
ak= a1 * q k - 1
In der Praxis treten geometrische Folgen zum Beispiel beim Anwachsen eines
Guthabens durch
jährliche Verzinsung auf, wenn die Zinsen nicht abgehoben werden, aber auch beim
ungestörten Wachstum
einer Bakterienkultur oder beim radioaktiven Zerfall.
Aufgaben Seite 21
1) Untersuchen sie nachstehende Folgen auf Monotonie!
a) k / 5
ak= k /5
ak+1 - ak=
(k+1) /5 - k/5
k + 1 - k = 1
5
5
Die Folge ist monoton
wachsend.
b) 5 / k
ak+1 - ak=
5 / (k+1) - 5 / k =
5k -
5(k+1) =
(k²+ k) (k²+ k)
5k - 5k - 5 =
(k²+ k)
-5
(k²+ k)
Die Folge ist monoton fallend.
Probe:
ak= 5 / k
a1= 5
a2= 2,5
a3= 5/3
a4= 5/4
a5= 1
ak+1 - ak
a1+1 - a1=
a2 - a1 = -2,5
-5
(k²+ k)
-5 = -2,5
1 +1
c) 2k
ak+1 - ak
2k + 1 - 2k
Potenzgesetz
2k + 1
= 2k * 21
2 k * 21
- 2k =
2 * 2k
= 2k +
2k
2k + 2k
- 2k =
2k
(a²)³ = a² * a² * a² = a6
Die Folge ist monoton wachsend.
d) 3k + 3
k + 1
d= 0
a1= 3
a2= 3
a3= 3
Es ist eine konstante Folge.
e) 1
3k
ak+1 - ak
1 - 1
=
3k + 1
3k
1 - 3 * 1
=
3k + 1 3k
+ 1
1 -
3 =
3k + 1 3k
+ 1
- 2
3k + 1
Die Folge ist monoton fallend.
Probe:
a1= 1/3
a2= 1/9
a3= 1/27
a2 - a1 = 1/9 - 1/3 = 1/9 - 3/9 = -2/9
- 2 = -2/9
31 + 1
f) 5 + k
-k
ak+1 - ak
5 + (k + 1) - 5 + k =
-(k + 1)
-k
5 + (k + 1) - 5 + k =
-k - 1
-k
-k (5 + k + 1) - (-k -1) * (5 + k) =
(-k -1) * -k
-k²-6k -(-5k -k²- 5 - k) =
k²+ k
-k²-6k + 5k + k² + 5 + k =
k²+ k
5
k²+ k
Die Folge ist monoton wachsend.
2) Die Folgen ak sind monoton wachsend. Ermitteln Sie
für jede der Zahlen z = 10; 50; 500 ein k, für das gilt:
ak < z ≤ ak+1
a) k/3
z = 10
k= 29
Probe:
a29= 29/3
a29+1= a30= 10
29/3 < 10
≤ 30/3
z = 50
k= 149
z = 500
k= 1499
b) 3k + 2
z = 10
k= 2
z = 50
k= 15
z = 500
k= 165
c) k² - k
z = 10
k= 3
z = 50
k= 7
z = 500
k= 22
d) a1= 1 ; ak+1= 5ak
Lösung:
ak= 5k - 1
z = 10
k= 2
z = 50
k= 3
z = 500
k= 4
3) Die Folgen ak sind monoton fallend. Ermitteln Sie für die Zahlen z = -5
und z = -120 ein k mit:
ak > z ≥ ak+1
a) -2k - 1
z = -5
k= 1
Probe:
a1= -3
a1+1= a2= -5
-3 > -5 ≥ -5
z = -120
k= 59
b) 3k - k²
z = -5
k= 4
z = -120
k= 12
c) a1= 0; ak+1 = ak -10
Lösung:
ak= -10k + 10
a1= 0
a2= -10
a3= -20
a4= -30
a5= -40
a6= -50
a7= -60
a8= -70
a9= -80
a10= -90
a11= -100
a12= -110
a13= -120
z = -5
k= 1
z = -120
k= 12
4) Setzen Sie die Folgen um vier Glieder fort, so dass arithmetische Folgen
entstehen!
a) 2; 3,8;
Lösung:
5,6; 7,4; 9,2; 11
b)15; 7,5;
Lösung:
0; -7,5; -15; -22,5; -30
c) -1; -3;
Lösung:
-5; -7; -9; -11
d) 0,7; 09;
Lösung:
1,1; 1,3; 1,5; 1,7
5) Berechnen Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folgen ak, von
denen Sie
die folgenden Werte kennen! Bestimmen Sie jeweils auch a15 und a27!
a) a1= 8,5
d= -1,5
Lösung:
ak= 10 - 1,5k
a2= 7
a3= 5,5
a4= 4
a5= 2,5
a6= 1
a15= -12,5
a27= -30,5
b) a3= 11; a8= 31
Lösung:
ak= 4k - 1
a1= 3
a2= 7
a3= 11
a4= 15
a5= 19
a6= 23
a15= 59
a27= 107
c) a4= -23; d= -12
Lösung:
ak= 25 -12k
a1= 13
a2= 1
a3= -11
a4= -23
a15= -155
a27= -299
d) a5= 25; d= -0,01
Lösung:
ak= 25,05 - 0,01k
a1= 25,04
a2= 25,03
a3= 25,02
a4= 25,01
a5= 25,00
a15= 24,90
a27= 24,78
e) a13= -6; a22= -9
Lösung:
22-13= 9
-9 - -6 = -3
Die Differenz d zwischen den Gliedern ist -1/3.
ak= -2 - (k-1) * 1/3
a1= -2
a2= -2 - 1/3
a3= -2 - 2/3
a4= -2 - 3/3
a5= -2 - 4/3
a6= -2 - 5/3
a7= -2 - 6/3
a8= -2 - 7/3
a9= -2 - 8/3
a10= -2 - 9/3
a11= -2 - 10/3
a12= -2 -11/3
a13= -2 - 12/3
a15= -2 - 14/3
a27= -2 - 26/3
6a) a7= 0; d= 12
ak= -72 + 12(k - 1)
a1= -72
a2= -60
a3= -48
a4= -36
a5= -24
a6= -12
a15= 96
a27= 240
b) a3= 7,5; d= 9
ak= -10,5 + (k-1) * 9
a1= -10,5
a2= -1,5
a3= 7,5
a4= 16,5
a5= 25,5
a6= 34,5
a15= 115,5
a27= 223,5
c) a6= 19; a9= 14,5
19 - 14,5= 4,5
6 - 9= -3
d= 4,5/-3= -1,5
ak= 26,5 -1,5(k - 1)
a1= 26,5
a2= 25
a3= 23,5
a4= 22
a5= 20,5
a6= 19
a15= 5,5
a27= -12,5
d) a7= 6,8; d= 8,6
ak= -44,8 + 8,6(k - 1)
a1= -44,8
a2= -36,2
a3= -27,6
a4= -19
a5= -10,4
a6= -1,8
a15= 75,6
a27= 178,8
e) a13= 5; a19= 9
5 - 9= -4
13 - 19= -6
d= 4/6= 2/3
ak= -3 + 2/3(k - 1)
a1= -3
a2= -2,333...
a3= -1,666..
a4= -1
a5= -0,3333...
a6= 0,3333...
a15= 6,333..
a27= 14,333..
8) Setzen Sie die Folgen um vier Glieder fort, so dass geometrische Folgen
entstehen!
a) 3; 6;
ak+1= ak * 2 rekursiv
ak= 3 * 2 k - 1
explizit
a3= 12
a4= 24
a5= 48
a6= 96
b) 36; 12
ak+1= ak * 1/3
ak= 36 * 1/3k - 1
a3= 4
a4= 4/3
a5= 4/9
a6= 4/27
c) -4; -√16
nicht genau bestimmt
√16 = 4
√16= -4
d) a1= 1/2; a2= 3/4
ak+1= ak * 3/2
a3= 9/8
a4= 27/16
a5= 81/32
a6= 243/64
e) a1= 1; a2= -2
ak+1= ak * -2
a3= 4
a4= -8
a5= 16
a6= -32
f) a1= -20; a2= -5
ak+1= ak * 1/4
a3= -5/4
a4= -5/16
a5= -5/64
a6= -5/256
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der geometrischen Folge ak, von der
nachstehende Werte bekannt sind! Beschreiben Sie die Folgen hinsichtlich ihrer
Monotonie!
9a) a1= 0,7; q= 2
ak+1= ak * q
a2= 1,4
a3= 2,8
a4= 5,6
a5= 11,2
Die Folge ist monoton steigend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
b) a1= 3; q= 0,5
a2= 1,5
a3= 0,75
a4= 3/8
a5= 3/16
Die Folge ist monoton fallend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
c) a3= -2; q= -1
a1= -2
a2= 2
a3= -2
a4= 2
a5= -2
Diese Folge ist nicht monoton.
d) a3= -1; a4= 0,25
Lösung:
ak+1= ak * 1/4
q= 1/4
a1= -16
a2= -4
a3= -1
a4= -1/4
a5= -1/16
Die Folge ist monoton steigend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
10a) a2= 5; a4= 45; q < 0
ak+1= -(ak) * -3
q= -3
a1= 5/3
a2= 5
a3= 15
a4= 45
a5= 135
streng, monoton steigend
b) a5; q= 3/2
a1= 112/81
a2= 56/27
a3= 28/9
a4= 14/3
a5= 7
streng, monoton steigend
c) a4= 64 q= 2/5
a1= 1000
a2= 400
a3= 160
a4= 64
a5= 128/5
streng, monoton fallend
d) a2= 9,1; a3= 2,6;
Lösung:
q= 2/7
a1= 637/20
a2= 91/10
a3= 13/5
a4= 26/35
a5= 52/245
streng, monoton fallend
Partialsummen
Teilsummen
Monat Leistung in Tausend Euro
1 | 9,4
2 | 9,2
3 | 11,1
4 | 10,7
5 | 10,5
6 | 9,7
7 | 7,9
8 | 7,6
9 | 9,9
10 | 10,8
11 | 11,3
12 | 9,5
Produktionsleistung bis einschließlich Monat
Monat Leistung in Tausend Euro
1 | 9,4
2 | 9,4 + 9,2= 18,6
3 | 18,6 + 11,1= 29,7
4 | 40,4
5 | 50,9
6 | 60,6
7 | 68,5
8 | 76,1
9 | 86
10 | 96,8
11 | 108,1
12 | 117,6
anderes Beispiel, umgekehrte Vorgehensweise, hier liegen die Summen vor
Quartal Leistung in Tausend Euro
1 | 28,2
2 | 54,8
3 | 82,8
4 | 110,4
einzelne Quartalsleistung ist zu ermitteln
Quartal Leistung in Tausend Euro
1 | 28,2
2 | 26,6
3 | 28
4 | 27,6
ak= a1; a2; a3;...;an;...
s1= a1;
s2= a1 + a2;
s3= a1 + a2 + a3; = die dritte Partialsumme der Folge ak
sn=a1 + a2 + a3 + ...an = Partialsumme der Folge ak
Die n-te Partialsumme sn hat also n Summanden.
Die Teilsummenfolge sn wird als Reihe
bezeichnet
sn= s1; s2; s3; ...; sn; ...
s1= a1
rekursive Beschreibung
sn+1= sn + an+1
13) Ermitteln Sie die ersten fünf Partialsummen der Folgen:
a) 3k + 5
a1= 8
a2= 11
a3= 14
a4= 17
a5= 20
s1= a1= 8
s2= 19
s3= 23
s4= 40
s5= 60
b) k²
a1= 1
a2= 4
a3= 9
a4= 16
a5= 25
s1= a1= 1
s2= 5
s3= 14
s4= 30
s5= 55
c) k
10 k
a1= 1/10
a2= 1/100
a3= 1/1000
a4= 1/10000
a5= 1/100000
s1= 1/10
s2= 11/100
s3= 111/1000
s4= 1111/10000
s5= 11111/100000
14) Eine Folge ak habe die Partialsummenfolge sk= k³
sk= 1; 8; 27; .... Geben Sie die ersten sechs Glieder der Folge ak an!
a1= 1 s1=1
a2= 7 s2= 8
a3= 19
s3= 27
a4= 37
s4= 64
a5= 61 s5= 125
a6= 91 s6= 216
sn+1= sn + an+1
sn + an+1= sn+1
an+1= sn+1 - sn
für a4 gilt
a3 +1= s3+1 - s3
a4= s4 - s3
a4= 37
Summenzeichen Sigma
Griechischer Großbuchstabe "sigma", entspricht dem S in lateinischer Schrift
n
Σ ak
k= 1
Lies: Summe ak über alle k von 1 bis n
sn= a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
n
Σ
1 = n
k= 1
n
Σ
2 = 2n
k= 1
5
Σ
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = (n² + n)
k= 1
2
Auch für die erste Partialsumme s1, die ja eigentlich keine Summe ist,
kann das Summenzeichen benutzt werden.
1
s1 = Σ
2k - 1 = 1
k= 1
Beispiele:
10a) 5
Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9= 25
k= 1
10b) 5
Σ
2k
= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32= 63
k= 0
10c) 5
Σ
(-1)k
* 3k =
1 - 3 + 9 - 27 + 81 - 243= -182
k= 0
15) Welche der vier Terme stellen die gleiche Summe dar?
7
Σ
2k-1
= 127
k= 1
7
Σ
2n-1
= 127
n= 1
7
Σ
2k
= 255
k= 0
6
Σ
2k = 127
k= 0
Für die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen ak= 2k - 1 ergeben sich
die Partialsummen:
1
s1 = Σ
2k - 1 = 1
k= 1
2
s2 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 = 4
k= 1
3
s3 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 = 9
k= 1
4
s4 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 =
16
k= 1
5
s5 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
25
k= 1
Vermutung:
n
sn = Σ
2k - 1 = n²
k= 1
100
s100 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2n-3 + 2n-1
= 10000
k= 1
12) Es ist eine Vermutung über eine Summenformel für die Folge ak= 2k
k∈N,
also für die Folge der Zweipotenzen, aufzustellen.
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 2
4 8
16 32
sk 1 3
7
15 31 63
sk= 2ak - 1
sk=( ak+1 ) - 1
sk= 2k+1 - 1
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
13) Es ist eine Vermutung über eine Summenformel für die Folge ak= 3k
k∈N,
also für die Folge der Dreierpotenzen, aufzustellen.
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 3
9 27
81 243
sk 1 4
13
40 121 364
sk= (ak+1) -1
2
sk= ak * 3 -1
2
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1)
/ 2
k= 0
Probe für s6
6
Σ 3k =
(36+1 - 1)
/ 2 = 1093
k= 0
inducere (lateinisch) hineinführen
Einzelergebnisse verallgemeinert = induktiv
1) Schreiben Sie folgende Summen ausführlich!
a)
10
Σ 5k + 3 = 3 +
8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48 + 53= 308
k= 0
b)
5
Σ (1/3)k =
1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243= 364/243
k= 0
c)
6
Σ 1/(k²
+ k) = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42= 6/7
k= 1
d)
9
Σ (-1)k
* 1/(k + 1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 -
1/10= 1627/2520
k= 0
Vorzeichenwechsel
an = (-1)n
(-1)0 = 1
(-1)1 = -1
(-1)2 = 1
(-1)3 = -1
kein Vorzeichenwechsel
an = -1n
-10 = -1
-11 = -1
-12 = -1
-13 = -1
2) Ordnen Sie die folgenden Terme so, dass Sie die Zeichen < und = in richtiger
Weise
dazwischen setzen können!
a)
8
Σ k = 1 + 2 +
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8= 36
k= 1
7
Σ k+8 = 9 + 10
+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15= 84
k= 1
8
1+ Σ k = 1 +
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8= 36
Achtung!
k= 2
5 8
Σ k + Σ k = 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 5 + 6 + 7 + 8= 41
k= 1 k=5
b)
10
Σ 1/k =
2,928968254
k= 1
11
Σ 1/k = 2,019877345
k= 2
9
Σ 1/(k+1) =
2,928968254
k= 0
11
Σ 1/(k-1) =
2,928968254
k= 2
c)
5
Σ 2k -
1 = 2 + 4 + 8 + 16= 30
k= 2
4
Σ 2k =
2 + 4 + 8 + 16= 30
k= 1
3
Σ 2k =
1 + 2 + 4 + 8= 15
k= 0
3
Σ 2n =
1 + 2 + 4 + 8= 15
n= 0
3) Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens!
a) 5 + 11 + 17 + 23 + 29 + 35 + 41 + 47 + 53 + 59 =
9
Σ 6k+5 = 320
k= 0
b) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 =
6
Σ (1/2)k =
127/64
k= 0
c) 2 - 6 + 10 - 14 + 18 - 22 + 26 - 30 =
8
Σ (4k - 2) * (-1)k
+ 1 = 2 - 6 + 10 - 14 + 18 - 22 +
26 - 30 = -16
k= 1
d) 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 90 =
9
Σ k2
+ k = 330
k= 1
4) Ermitteln Sie für die Folgen Summenformeln! Schreiben Sie die vermuteten
Summenformeln mit Hilfe des Summenzeichens!
a) ak= 2k
(ak)= (2k) eigentlich richtige Schreibweise einer Folge
k 0
1 2
3 4
5
ak 0 2
4 6
8 10
sk 0 2
6 12 20
30
sk= k²+ k
n
Σ 2k =
n²+ n
k= 0
b) ak = 1/(k²+ k) k≠0
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/2 1/6
1/12 1/20 1/30 1/42
sk 1/2 2/3 3/4
4/5 5/6 6/7
sk= k/(k+1)
n
Σ 1/(k²+ k) =
n/(n + 1)
k= 1
5) Vermuten Sie allgemeine Summenformeln!
a)
n
Σ 1/[ (3k - 2) * (3k + 1)
]
k= 1
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/4
1/28 1/70
1/130 1/208 1/304
sk 1/4
2/7 3/10
4/13 5/16
6/19
n
Σ 1/[ (3k - 2) * (3k + 1)
] = n/(3n + 1)
k= 1
b)
n
Σ k * 2k-1
k= 2
k 2
3 4
5 6
7
ak 4 12 32 80 192
448
sk 4 16
48 128 320 768
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
Carl Friedrich Gauss (1777 bis 1855) soll als Neunjähriger die vom Lehrer
verlangte Addition der natürlichen
Zahlen von 1 bis 100 über Erwarten schnell ausgeführt haben. Dazu fasste er
zunächst die Zahlen zu den 50 Paaren
1 + 100; 101
2 + 99; 101
3 + 98; 101
4 + 97;
5 + 96;
6 + 95;
7 + 94;
8 + 93;
...
50 + 51; 101
zusammen und erhielt als Summe: 50 * 101 = 5050
6) Ermitteln Sie in gleicher Weise die Summe der ersten einhundert ungeraden
Zahlen!
1 + 199; 200
3 + 197; 200
5 + 195; 200
7 + 193; 200
...
99 + 101; 200
200 * 50= 10000
Summenformel für die ersten
einhundert ungeraden Zahlen
7) Das in Aufgabe 6 beschriebene Verfahren lässt sich abwandeln, wie
nachstehendes
Beispiel für die 9. Partialsumme der Folge 3k + 2 k≥0 zeigt.
s9= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26
s9= 26 + 23 + 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2
a1 + a9= 28
a2 + a8= 28
a3 + a7= 28
s9 + s9= 9 * 28
s9= 9 * 14
s9= 126
Ermitteln Sie ebenso die Summe der ersten fünfzig natürlichen Zahlen, die bei
Teilung
durch 3 den Rest 1 lassen!
Lösung:
ak= 3k + 1 k>0
k 1
2 3
4 5
6
ak 4 7
10 13 16
19
sk 4 11 21
34 40 59
a1= 4
a50= 151
a1 + a50= 155
a2 + a49= 155
a3 + a48= 155
s50 + s50= 50 * 155
s50= 25 * 155
s50= 3875
8a) Vermuten Sie eine Summenformel für die Folge der Viererpotenzen!
ak= 4k
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 4
16 64 256 1024
sk 1 5 21
85 341 1365
n
Σ 4k
= (4n+1
- 1) / 3
k= 0
Probe:
s5= (45+1
- 1) / 3
s5= 1365
8b) Vermuten Sie eine Summenformel für die Folge der Fünferpotenzen!
ak= 5k
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 5
25 125 625
3125
sk 1 6
31 156 781 3906
n
Σ 5k
= (5n+1
- 1) / 4
k= 0
Probe:
s5= (55+1
- 1) / 4
s5= 3906
9) Vermuten Sie eine allgemeine Summenformel für die Folge ak= zk
der Potenzen
einer beliebigen natürlichen Zahl z. z > 0
n
Σ
zk
= (zn+1
- 1) / (z-1)
k= 0
Der Grundgedanke des Beweisverfahrens durch vollständige Induktion
Formel für die Summe der ungeraden Zahlen
n
Σ 2k - 1 = n²
k= 1
Fünferquadrat → Sechserquadrat
5²= 25
6²= 5²+ 2 * 5 + 1= 36
7²= 6²+ 2 * 6 + 1= 49
k²+ 2k +1
(ak) = (2k - 1)
sk+1= sk + ak+1
ak+1= 2(k+1) - 1
ak+1= 2k + 2 -1
ak+1= 2k + 1
sk+1= k²+ 2k + 1
sk+1= (k + 1)²
Beweis durch Vollständige
Induktion
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
Anfang: Die Aussage gilt für eine bestimmte natürliche Zahl (meist 0 oder
1) als Anfangswert.
Vererbung: Aus der angenommenen Gültigkeit für eine natürliche Zahl k
folgt stets die
Gültigkeit für deren Nachfolger k+1.
Anfang: Für n= 0 ist zu zeigen
20 = 21 -
1
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k = 2k+1
- 1
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k + 2k+1 = 2(k+1)+1
- 1
Veränderung der linken Seite
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k
+ 2k+1
= 2(k+1)+1
- 1
|
|
2k+1
- 1
+ 2k+1
= 2(k+1)+1
- 1
2k+1
- 1 + 2k+1
21 * 2k+1 - 1
2k+2
- 1 Potenzgesetz
= 2(k+1)+1
- 1
Die Summenformel gilt für n= 0 und n= 0 + 1 = 1 und n= 1 + 1 = 2 und n= 2 + 1 =
3 und ... Da man
durch fortgesetzte Nachfolgerbildung (Addition von 1) schließlich jede
natürliche Zahl erreicht, gilt die Formel
für alle natürlichen Zahlen.
17a) Beweisen Sie die Summenformel für die Folge der Dreierpotenzen.
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1) /
2
k= 0
Anfang: Für n= 0 ist zu zeigen
30 = (31 -
1) / 2
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k = (3k+1
- 1) / 2
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k + 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
Veränderung der linken Seite
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k
+ 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
|
|
(3k+1
- 1) / 2
+ 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
(3k+1
- 1) / 2
+ 2 * 3k+1
/ 2 = (3(k+1)+1
- 1) / 2
(31
* 3k+1
- 1) / 2 Potenzgesetz
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
(3(k+1)+1
- 1) / 2
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
17b) Beweisen Sie ebenso die Summenformel
n
Σ 2k =
n²+ n !
k= 1
Anfang: Für n= 1 ist zu zeigen
2 * 1 = 1²+ 1
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + ... + 2 * (k - 1) + 2 * k = k²+
k
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + ... + 2 * (k - 1) + 2 * k
+ 2 * (k+1) = ( k + 1)²+ (
k + 1)
Veränderung der linken Seite
k²+ k
+ 2k + 2
= k²+ 2k + 1 + k + 1
k²+ 3k + 2
= k²+ 3k + 2
H(n)
Lies: H von n
symbolische Schreibweise
Aussage über natürliche Zahlen
n = jede natürliche Zahl
Jeder natürlichen Zahl n wird aus dem Definitionsbereich von H etwas zugeordnet.
Und zwar die Aussage "wahr" oder "falsch".
18a) H(n) bedeute: "n²+ 3n + 7 ist durch 5 teilbar".
Bilden Sie H(0), H(2), H(3), H(4), H(8) und H(10)
Welche der so erhaltenen Aussagen sind wahr?
H(0) = 7 = falsch
H(2) = 17 = falsch
H(3) = 25 = richtig
H(4) = 45 = richtig
H(8) = 95 = richtig
H(10) = 137 = falsch
Bilden Sie auch H(k-1), H(k+1), H(n+2), H(2n)!
H(k-1) = k²+ k + 5
H(k+1) = k²+ 5k + 11
H(n+2) = n²+ 7n + 17
H(2n) = 4n²+ 6n + 7
n
18b) H(n) bedeute: " Σ 2k =
2n+1 - 1 "
k= 0
Bilden Sie H(3), H(5), H(n-1), H(n+1), H(2n+1)!
H(3) = 24 - 1 = 15
H(5) = 26 - 1 = 63
H(n-1) = 2n-1+1 - 1 = 2n
- 1
H(n+1) = 2n+1+1 - 1 = 2n+2
- 1
H(2n+1) = 22n+1+1 - 1 = 22n+2
- 1
Die Aussage "Für alle natürlichen Zahlen n ≥
n0 gilt H(n)" ist wahr, wenn folgendes gilt:
1. H(n) ist richtig für n = n0;
2. Aus der Gültigkeit von H(n) für n = k folgt für beliebiges k die Gültigkeit
für n= k + 1.
Ist speziell n0 = 0, so gilt H(n)
für alle natürlichen Zahlen. Folgt beispielsweise dann aus der Gültigkeit
von H(n) für n= k die für n= k + 2, so ist H(n) für alle geraden Zahlen wahr.
1) Folgende Aufgabe aus der "Unterhaltungsmathematik" ist schon sehr alt:
Ein Brett trägt die Stifte A, B und H, auf die man zylindrische, in der Mitte
durchbohrte Scheiben
verschiedener Größe stecken kann. Zunächst sind die Scheiben der Größe nach auf
dem Stift A angeordnet.
Sie sollen einzeln, jedoch mit möglichst wenigen Umsetzungen zum Stab B gebracht
werden, um dort wieder
solch einen Turm zu bilden. Dabei darf der Hilfsstift H zum Ausweichen benutzt
werden. Niemals darf jedoch
irgendwo eine größere über einer kleineren Scheibe liegen.
a) Versuchen Sie, die Aufgabe mit 6 Scheiben zu lösen, und zählen Sie, wie viele
Umsetzungen Sie benötigen!
1 Scheibe = 1 Umsetzung
= Summe 1
2 Scheiben = 3 Umsetzungen =
Summe 4
3 Scheiben = 7 Umsetzungen =
Summe 11
4 Scheiben = 15 Umsetzungen = Summe 26
5 Scheiben = 31 Umsetzungen = Summe 57
6 Scheiben = 63 Umsetzungen = Summe 120
rekursiv ak+1= 2ak + 1
explizit ak= 2k - 1
Summenformel sn= 2n+1 -2 -n
b) Wie viele Umsetzungen sind für einen Turm aus 8, 10 und 12 Scheiben
erforderlich?
ak= 2k - 1
a8= 28 - 1 = 255
a10= 210 - 1 = 1023
a12= 212 - 1 = 4095
2a) Wie viele verschiedene "Wörter" kann man aus den vier Buchstaben B, E, I und
L bilden, wenn kein Buchstabe
mehrfach vorkommen darf und jede beliebige Buchstabenzusammenstellung als "Wort"
angesehen wird?
ak= k! (k Fakultät)
a4= 4!
a4= 1 * 2 * 3 * 4 = 24
2b) Wie kann man auf Grund des Ergebnisses von 2a sofort ermitteln, wie viele
"Wörter" sich aus
fünf verschiedenen Buchstaben bilden lassen?
a5= 5!
a5= 1 * 2 * 3 * 4 * 5= 120
3) Erläutern Sie, für welche Zahlen n eine bestimmte Aussage mit Sicherheit
gilt,
wenn man folgendes weiß:
a) 1 Die Aussage ist gültig für n = 0
2 Für beliebiges k gilt: Wenn die Aussage für n = k gültig
ist, so gilt sie auch für
n = k + 3
Gilt für alle natürlichen Zahlen die durch 3 teilbar sind.
b) 1 Die Aussage ist nicht gültig für n = 1.
2 Für beliebiges n = k folgt aus der angenommenen Gültigkeit
der Aussage für
k ihre Gültigkeit für k + 1.
Gilt für alle natürlichen Zahlen die größer als 1 sind.
c) 1 Die Aussage ist wahr für 0 und 1.
2 Für beliebiges k folgt aus der Wahrheit der Aussage für k
die Wahrheit für k + 2.
bei n = 0 gilt für alle geraden natürlichen Zahlen
bei n = 1 gilt für alle ungeraden natürlichen Zahlen
d) 1 Die Aussage ist gültig für n = 1.
2 Aus der Gültigkeit der Aussage für n = k folgt die
Gültigkeit für n = 2k.
Die Aussage gilt für alle Zweierpotenzen.
e) 1 Die Aussage ist wahr für n = 100.
2 Aus dem Zutreffen der Aussage für n = k folgt stets das
Zutreffen für n = k - 1.
0 ≤ n ≤ 100 n∈N
f) 1 Die Aussage trifft zu für n = 3.
2 Aus der Gültigkeit der Aussage für n = k - 1 folgt ihre
Gültigkeit für n = k.
n ≥ 3 n∈N
Beweise für Summenformeln mittels vollständiger Induktion
H(n)
1. Induktionsanfang
H(n0)
2. Induktionsschritt
wenn H(k) so H(k + 1)
k 1
2 3
4 5
6
ak 1 2
3 4
5 6
sk 1 3
6 10 15
21
ak= k
Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n +1)
2
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl und n > 0
H(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)
2
Beweis:
1. Induktionsanfang
H(1) besagt 1 = 1(1 + 1)
1
1 = 1
H(1) möglichst kleine natürliche Zahl
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
n = k
H(k): 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)
2
Induktionsbehauptung
H(k+1) wahr: 1 + 2 + 3 ... + k
+ (k + 1) = (k +1) * (k + 1 + 1)
2
k(k + 1)
+ (k + 1) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
k(k + 1)
+ 2(k + 1) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
2
(k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
1. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
19a) Stellen Sie die Beweisführung mit Hilfe des Summenzeichens dar!
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
1. Induktionsanfang
1
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
1 = 1(1 + 1)
2
1 = 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
n = m
m
Σ k =
m(m + 1)
k= 1 2
Induktionsbehauptung
m+1
Σ k =
(m + 1) * (m + 2)
k= 1
2
m+1 m
Σ k =
Σ k + (m + 1)
=
k= 1 k=1
rechte Seite
m(m + 1) + (m + 1) =
2
m²+ m + 2m + 2 =
2
m²+ 3m + 2 =
2
(m + 1) * (m + 2)
2
Wenn H(n), so H(n+1)
19b) Vergleichen Sie die bewiesene Summenformel mit der für die geraden Zahlen!
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
Summenformel für die geraden Zahlen:
n n
Σ 2k =
n² + n
=
Σ
2k = 2n(n
+ 1)
k= 1 k=1 2
n
19c) Wie groß ist Σ 3k ?
k=1
k 1
2 3
4 5
6
ak 3 6
9 12 15 18
sk 3 9
18 30 45
63
n
Σ
3k =
3n(n + 1)
k= 1
2
2. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
16) Gesucht ist eine Summenformel für die Folge (ak) mit ak=
1
k(k + 1)
k > 0
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/2 1/6
1/12 1/20 1/30 1/42
sk 1/2 2/3
3/4 4/5 5/6
6/7
Vermutung: sn= n / (n + 1)
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
Beweis:
Voraussetzung n ist eine natürliche Zahl, n > 0
1. Induktionsanfang
1
Σ 1
=
1/2
k= 1 k(k + 1)
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
n = m
m
Σ 1
= m
k= 1 k(k + 1)
m + 1
Induktionsbehauptung
m+1
Σ 1
=
m + 1
k= 1 k(k + 1)
m + 2
m+1 m
Σ 1 =
Σ 1 +
1
=
k= 1 k(k + 1) k= 1 k(k + 1)
(m + 1) * (m + 2)
|
|
Summe bis einschließlich m
das Glied m + 1
rechte Seite
m
+
1
=
m + 1
(m + 1) * (m + 2)
m * (m + 2) + 1 =
(m + 1) * (m+2)
m²+ 2m + 1 =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)²
=
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1) * (m + 1) =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)
(m + 2)
Wenn H(n), so H(n+1)
//Hefter
Summenfolge, Partialsummenfolge der Quadratzahlen
1² + 2² + 3² + ... + n²
sn = n * (n + 1) * (2n + 1)
6
sn = ((n² + n) * (2n + 1)) / 6
sn = (2n³ + n² + 2n² + n) / 6
sn = (2n³ + 3n² + n) / 6
k 1
2 3
4 5
ak 1 4
9 16 25
an 1 5
14 30 55
3. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
17) Es ist zu beweisen, dass die Folge (k²) der Quadratzahlen die
Partialsummenfolge (sn) mit
sn = n * (n + 1) * (2n + 1) hat.
6
Voraussetzung n ist eine natürliche Zahl, n > 0
Behauptung:
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 1
6
1. Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 1²= 1 * 2 * 3
6
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 1 6
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k² =
(n + 1) * (n + 2) * (2n + 3)
k= 1
6
n+1
n
Σ k² =
Σ k² + (n + 1)² =
n(n + 1) * (2n + 1) + (n + 1)²
k= 1 k=1 6
n(n + 1) * (2n + 1) + 6(n + 1)²
= / (n + 1) ausklammern
6
(n + 1) * [ n * (2n + 1) + 6(n + 1)] =
6
(n + 1) * (2n²+ 7n + 6) =
6
(n + 1) * (n + 2) * (2n + 3)
6
20a) Auch n = 0 hätte in den Gültigkeitsbereich der Summenformel von vornherein
mit einbezogen können.
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 0 6
Wie hätte dann der Induktionsanfang lauten müssen?
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 0²= 0 * 1 * 2 * (0 + 1)
6
0 = 0
20b) Untersuchen Sie die Möglichkeit des Einbeziehens von n = 0 auch bei den
Beispielen
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
und
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
!
1. Induktionsanfang
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
0
Σ k =
0(0 + 1)
k= 0
2
0 = 0(0 + 1)
2
0 = 0
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
!
k = 0 nicht möglich weil Division mit 0 nicht möglich
Summenformel für eine beliebige arithmetische Folge
Bei einer arithmetischen Folge (ak) mit dem Anfangsglied a1 = a und der
Differenz d lautet das k-te Glied:
ak= a + (k - 1) * d
n-te Partialsumme:
n
sn= Σ
a + (k - 1) * d
k= 1
sn= a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (k - 1) * d
Beispiel: d = 2; a= 0; 6. Glied
a6= 0 + (6 - 1) * 2
a6= 10
sn= 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10
sn= n * a + ( d + 2d + 3d + ... + (n - 1)d )
sn= n * a +d * (1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) )
n-1
sn= n * a + d * Σ k
k=1
unter Verwendung von:
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
(n - 1) für n
n-1
Σ k = (n
- 1) * (n -1 + 1)
k= 1 2
n-1
Σ k =
n * (n - 1)
k= 1 2
sn = n * a + d * (n - 1) * n
2
sn = 2na + n * (n - 1) * d
2
sn = n * (2a + (n - 1) * d
2
sn = n * (a + (a + (n - 1) * d))
2
an= a + (n - 1) * d
sn = n(a + an)
2
Summenformeln arithmetischer Folgen
n
sn = Σ ak
k=1
n
sn = Σ (a + (k - 1) * d)
k=1
sn = n(a + an)
2
21) Wenden Sie diese Summenformeln auf die Folgen der natürlichen, der
geraden und der ungeraden Zahlen
für n= 50 sowie für n= 100 an, vergleichen Sie mit den Ihnen bereits
bekannten Ergebnissen!
für natürliche Zahlen
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
50
Σ k =
50(50 + 1)
k= 1
2
s50= 1275
sn = n(a + an)
2
s50 = 50(1 + 50)
2
s50= 1275
100
Σ k =
100(100 + 1)
k= 1 2
s100= 5050
sn = n(a + an)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100= 5050
für gerade natürliche Zahlen
n
Σ 2k
= n²+ n
k= 1
50
Σ 2k
= 50²+ 50
k= 1
s50= 2550
sn= n(a + an)
2
s50= 50(2 + 100)
2
s50= 2550
für ungerade natürliche Zahlen
n
Σ 2k - 1 = n²
k= 1
100
Σ 2k - 1 = 100²
k= 1
s100= 10000
sn= n(a + an)
2
s100= 100(1 + 199)
2
s100= 10000
Summenformel für eine beliebige geometrische Folge
Beispiele für Summenformeln geometrischer Folgen
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1) / 2
k= 0
n
Σ 4k =
(4n+1 - 1) / 3
k= 0
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
z ≠1
00 nicht definiert deshalb z ≠0
Die Vermutung wurde auf Grund nur weniger Werte für z, die durchweg natürliche
Zahlen
sind, gewonnen. Deshalb wird man vor einer allgemeinen Beweisführung an Hand
einfacher
Beispiele überlegen, ob auch andere Werte für z zu einem vernünftigen Ergebnis
führen.
z= -2
n= 5
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
5
Σ (-2)k =
((-2)6 - 1) / -3
k= 0
= 64 -1
-3
= -21
5
Σ (-2)k
= 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 = -21
k= 0
z= 1/2
n= 5
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
5
Σ
(1/2)k = (0,56 - 1) / (0,5 -1)
= 63/32
k= 0
5
Σ
(1/2)k = 1 + 1/2
+ 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 63/32
k= 0
22) Beweisen Sie, dass für jede reelle Zahl z mit z ≠0 und
z ≠1 und für jede
natürliche Zahl n gilt:
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
!
k= 0
(zn+1 - 1) / (z -1)
/ * -1 Bruch erweitern mit -1
(1 - zn+1 ) / (1 - z)
z ≠0 und
z ≠1
geometrische Folge (ak); Anfangsglied a1 = a; Quotient q ≠0
ak= a * qk - 1
n-te Partialsumme
n
sn = Σ
a * qk - 1
k= 1
n-1
sn = Σ
a * qk
k= 0
sn= a + aq + aq2 + ... + aqn
- 1
Beispiel s6
s6= aq0
+ aq1 + aq2
+ aq3 + aq4
+ aq5 // das
letzte Glied aq5 = aqn - 1
sn= a * (1 + q + q2 + ... + qn
- 1)
n-1
sn= a * Σ
qk
k=0
unter Verwendung von:
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
sn= a * (qn-1 +1 - 1) / (q - 1)
sn= a * (qn - 1) / (q -1)
= // mit -1 erweitern
sn= a * (1 - qn ) / (1 - q)
sn= a * (qn - 1) / (q -1) =
an= a * qn - 1
sn= (aqn - a) / (q -1) =
sn= (aqn-1 * q - a) / (q -1) =
// qn = qn-1
* q1
sn= (an * q - a) / (q - 1) =
sn= (a - an * q) / (1 - q)
Summenformeln für
geometrische Folgen
n
sn = Σ
ak
k= 1
ak= a * qk - 1
n
sn = Σ
a * qk - 1
k= 1
n-1
sn = Σ
a * qk
k= 0
geometrische Folge
an = a1 * qn-1
Summenformel
sn = a1 * (qn - 1) / (q -
1)
geometrische Folge
an = a0 * qn
Summenformel
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
Beispiel: an = 2n
n 1
2 3
4 5
6
an 1 2 4
8 16 32
sn 1 3
7 15 31
63
an = a1 * qn-1
an = 1 * 2n-1
a4 = 1 * 23
a4 = 16
n 0
1 2
3 4
5
an 1 2
4 8
16 32
sn 1 3
7 15 31
63
an = a0 * qn
an = 1 * 2n
a4 = 1 * 24
a4 = 16
Probe für (ak)= (4k )
6
s6 = Σ
4k
k= 1
s6= 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 4096 = 5460
sn= a * (1 - qn ) / (1 - q)
s6= 4 * (1 - 46 ) / (1 - 4)
s6= (4 * -4095) / -3
s6= -16380 / -3
s6= 5460
Aufgaben
4. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
1) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n
gilt:
a) 40 + 41
+ 42 + ... + 4n = (4n+1
- 1) / 3
Behauptung:
n
Σ 4k
= (4n+1 - 1) / 3
k= 0
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1 + 4 = (41+1
- 1) / 3
5 = 5
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 4k =
(4n+1 - 1) / 3
k= 0
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 4k =
(4n+1+1 - 1) / 3
k= 0
n+1
n
Σ 4k =
Σ 4k +
4n + 1 =
((4n+1 - 1) / 3)
+ 4n + 1
k= 0 k=0
rechte Seite
4n+1 - 1
+ 4n + 1 =
3
1
4n+1 - 1
+ 3* 4n + 1 =
3
(41 * 4n+1
-1) / 3 =
(4n+1+1
-1) / 3
5. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1) * (3n + 4)
n
Σ 6k + 4 = (n + 1) * (3n + 4)
k=0
k 0
1 2
3 4
5
ak 4 10
16 22 28
34
sk 4 14 30
52 80
114
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 4 + 10 = 2 * 7
14 = 14
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 6k + 4 = (n + 1) * (3n + 4)
k=0
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 6k + 4 = (n + 2) * (3(n + 1) + 4)
k=0
n+1
Σ 6k + 4 = (n + 2) * (3n + 7)
k=0
n+1
Σ 6k + 4 = 3n² + 7n + 6n + 14
k=0
n+1
Σ 6k + 4 =
3n²+ 13n + 14
k=0
n+1
n
Σ 6k + 4 =
Σ 6k + 4 + 6(n
+ 1) + 4 = (n + 1) * (3n + 4) + 6(n
+ 1) + 4
k=0
k=0
rechte Seite
(n + 1) * (3n + 4) + 6(n + 1) + 4 =
3n²+ 4n + 3n + 4 + 6n + 6 +4 =
3n²+ 13n + 14
Vollständige Induktion,
einfache kurze Erklärung
1.Induktionsanfang für n = 1 Nachweis der Aussage für ein kleines n
siehe
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) = 1(1 + 1) * (1 + 2)
3
2 = 2
2. Induktionsschritt
2.1 Die Summenformel wird mit (n + 1) erweitert (für n wird n + 1 eingesetzt)
siehe
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
einfache Summenformel ohne Erweiterung
k=1 3
n+1
Σ k(k + 1) = (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
Summenformel mit Erweiterung
k=1 3
2.2 Die einfache Summenformel wird mit dem Nachfolger des letzten Gliedes der
Folge addiert.
siehe
n
Σ k(k + 1)
k=1
erstes Glied der Folge a1= 1(1+1)
letztes Glied der Folge an= n(n + 1)
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge an+1= (n + 1) * (n + 2)
n(n + 1) * (n + 2)
+
(n + 1) * (n + 2)
3
einfache Summenformel
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge
3.3 Die einfache Summenformel addiert mit dem Nachfolger des letzten Gliedes der
Folge muss gleich
sein mit der erweiterten Summenformel. Wenn dies der Fall ist, ist der Beweis
erbracht.
n(n + 1) * (n + 2)
+ (n +
1) * (n + 2)
= (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
3
3
einfache Summenformel
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge
erweiterte Summenformel
noch einfacher
k 1
2 3
4 5 |
ak 2 6
12 20 30
42
sk 2 8
20
40 70
112
letztes Glied der Folge (ak)= (k(k + 1)) n = 5 ; a5= 70
von 70 (einfache Summenformel)
über 42 (Nachfolger des letzten Gliedes der Folge)
nach 112 (erweiterte Summenformel)
70 + 42 = 112
Es folgt das Beispiel ausführlich.
6. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
2) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n
≥ 1 folgendes gilt!
a) 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
3
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
k 1
2 3
4 5
6
ak 2 6
12 20 30
42
sk 2 8
20
40 70
112
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) = 1(1 + 1) * (1 + 2)
3
2 = 2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k(k + 1) = (n + 1) (n + 1 + 1) * (n + 1
+ 2)
k=1
3
n+1
Σ k(k + 1) =
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
3
n+1
n
Σ k(k + 1) =
Σ k(k + 1) + (n + 1) * (n + 2) =
n(n + 1) * (n + 2) + (n + 1) * (n + 2)
k=1
k=1
3
rechte Seite
n(n + 1) * (n + 2) + (n + 1) * (n + 2) =
3
n(n + 1) * (n + 2) + 3(n + 1) * (n + 2)
=
3
(n + 3) * (n + 1) * (n + 2)
3
7. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
2b) 1/10 + 1/40 + 1/88 + ... + 1/[(3n - 1) * (3n + 2)]
= n / (6n + 4)
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = n /
(6n + 4)
k=1
k 1
2
3
ak 1/10
1/40 1/88
sk 1/10
2/16 3/22
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(2 * 5) = 1/10
1/10 = 1/10
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = n /
(6n + 4)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = (n +
1) / 6(n + 1) + 4
k=1
n+1
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
(n + 1) / (6n + 10)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] +
1 / [ 3(n + 1) - 1 * 3(n + 1) + 2 ] = n / (6n + 4) + 1
/[ 3(n + 1) - 1 * 3(n + 1) + 2 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ]
= n / (6n + 4) + 1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (6n + 4) +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ] =
n/ [2(3n + 2)] +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ] =
n * (3n +5) + 2
=
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
3n²+ 5n +2
=
// Faktorisierung 3n²+ 5n + 2 = (n + 1) * (3n + 2)
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
(n + 1) * (3n + 2)
=
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
(n + 1)
=
2 * (3n + 5)
(n + 1) / (6n + 10)
8. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
3) Ermitteln Sie jeweils eine Formel für die folgenden Summen sn, und beweisen
Sie
deren Richtigkeit!
a)
sn= 1/3 + 1/15 + ... + 1/ [(2n - 1) * (2n + 1)] = n / (2n + 1)
k 1
2
3
4
ak 1/3 1/15 1/35
1/63
sn 1/3 2/5 3/7
4/9
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = n /
(2n + 1)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/ (1 * 3) = 1/ (2 * 1 + 1)
1/3 = 1/3
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = n /
(2n + 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = (n
+ 1) / [2(n + 1) + 1] =
k=1
n+1
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = (n
+ 1) / (2n + 3)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] =
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] +
1 / [ 2(n + 1) - 1 * 2(n + 1) + 1 ] = n / (2n + 1) +
1 / [ 2(n + 1) - 1 * 2(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] =
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] +
1 / [(2n + 1) * (2n + 3)] = n /
(2n + 1) + 1 / [(2n + 1) * (2n + 3)]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (2n + 1) + 1 / [(2n + 1) * (2n + 3)]
n * (2n + 3) + 1 =
(2n + 1) * (2n + 3)
2n² + 3n + 1
= //
Faktorisierung (2n² + 3n + 1) = (n + 1) * (2n + 1)
(2n + 1) * (2n + 3)
(n + 1) * (2n + 1) =
(2n + 1) * (2n + 3)
(n + 1) / (2n + 3)
9. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b) sn= 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n * (2n - 1)
k 1
2
3
4
ak 1
5
9
13
sn 1
6
15 28
n
Σ (4k - 3) = n * (2n - 1)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 4 * 1 -3 = 1 * (2 * 1
-1)
1 = 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (4k - 3) = n * (2n - 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (4k - 3) = (n + 1) * 2(n + 1) - 1
k=1
n+1
Σ (4k - 3) =
(n + 1) * (2n + 1)
k=1
n+1
n
Σ (4k - 3) =
Σ (4k - 3) + 4(n +
1) - 3 = n * (2n - 1) + 4(n + 1) - 3
k=1
k=1
n+1
n
Σ (4k - 3) =
Σ (4k - 3) + 4(n +
1) - 3 = n * (2n - 1) + 4n + 1
k=1
k=1
rechte Seite
n * (2n - 1) + 4n + 1 =
2n² - n + 4n + 1 =
2n²+ 3n + 1 = // schon wieder Faktorisierung
2n²+ 3n + 1 = (n + 1) * (2n + 1)
(n + 1) * (2n + 1)
10. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
c) Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, die bei der Teilung durch 9 den
Rest 7 lassen:
(ak)= (9k + 7)
sn= 16 + 25 + 34 + ... + 9n + 7 = n * (9n + 7) - 0,5n * (9n -
9)
Folge der Dreieckszahlen: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28 ak =
k(k+1) / 2
Probe:
s5= 5 * 52 - 0,5 * 5 * 36
s5= 260 - 90
s5= 170
k 1
2
3
4
5
ak 16
25
34 43
52
sn 16
41
75 118
170
n
Σ (9k + 7) = n * (9n + 7) -
0,5n * (9n - 9)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 9 * 1 + 7 = 9 + 7 - 0,5 * 0
16 = 16
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (9k + 7) = n * (9n + 7) -
0,5n * (9n - 9)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (9k + 7) = (n + 1) (9n +9 + 7) - 0,5(n + 1) *
(9n + 9 -9)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = (n + 1) * (9n +
16) - (9n) * (0,5n + 0,5)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = 9n²+ 16n + 9n +
16 - ( 4,5n²+ 4,5n)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = 9n²+ 16n + 9n +
16 - 4,5n²- 4,5n
n+1
Σ (9k + 7) =
4,5n²+ 20,5n + 16
k=1
n+1 n
Σ (9k + 7) =
Σ (9k + 7) + 9n + 16
= n * (9n + 7) - 0,5n * (9n - 9) + 9n
+ 16
k=1
k=1
rechte Seite
n * (9n + 7) - [0,5n * (9n - 9)] + 9n + 16 =
9n² + 7n - (4,5n²- 4,5n ) + 9n + 16 =
9n² + 7n - 4,5n² + 4,5n + 9n + 16
=
4,5n²+ 20,5n + 16
4) Schreiben Sie die folgenden Summen für n = 5 ausführlich, und weisen Sie die
Gültigkeit
der angegebenen Formeln nach! Bei welchen Summen könnte die Summation schon bei
0 beginnen?
a) 11.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
4
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * (5 + 1) * (5 + 2) * (5 + 3)
k=1
4
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * 6 * 7 * 8 = 420
k=1
4
k 0
1 2
3 4
5
ak 0 6
24 60 120 210
sk 0 6
30
90 210 420
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * 6 * 7 * 8 = 420
k=0
4
Die Summation könnte auch schon bei 0 beginnen.
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) * (1 + 2) = 1(1 + 1) * (1 + 2) * (1
+ 3)
4
6 = 2 * 3 * 4
4
6 = 6
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
4
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k(k + 1) * (k + 2) = (n + 1) * (n + 1 + 1) * (n + 1
+ 2) * (n + 1 + 3)
k=1
4
n+1
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4)
k=1
4
n+1
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
Σ k(k + 1) * (k + 2) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3)
k=1
k=1
4
rechte Seite
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3) =
4
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
+ 4 * (n + 1) * (n + 2) *
(n + 3) =
4
(n + 4) * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
=
4
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4)
4
b) 12.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] = n /
(4n + 1)
k=1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)]
k=0
k 0
1
2
3
ak -1/3
1/5 1/45
1/117
sk -1/3
-2/15 -1/9
-4/39
Für die vorgegebene Summenformel n / (4n + 1) könnte die Summation nicht schon
bei 0 beginnen.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(1 * 5) = 1/5
1/5 = 1/5
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] = n /
(4n + 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
(n + 1) /
(4n + 5)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1] = n / (4n + 1) +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1] = n / (4n + 1) +
1 / [ (4n + 1) * (4n + 5) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (4n + 1) + 1 / [ (4n + 1) * (4n + 5) ]
=
n * (4n + 5) + 1 =
(4n + 1) * (4n + 5)
4n²+ 5n + 1
= //Faktorisierung
(4n + 1) * (4n + 5)
(n + 1) * (4n + 1) =
(4n + 1) * (4n + 5)
(n + 1) /
(4n + 5)
c) 13.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n )
k=1
k 1
2
3
4
ak 1/2
1/4 1/8
1/16
sk 1/2
3/4 7/8
15/16
n
Σ (1/2)k
k=0
k 0
1
2
3
ak 1
1/2 1/4
1/8
sk 1
3/2 7/4
15/8
Für die vorgegebene Summenformel 1 - (1/2n
) kann die Summation nicht schon bei 0 beginnen.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage (1/2)1
= 1 - (1/2)1
1/2 = 1/2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n )
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n+1
)
k=1
n+1
n
Σ (1/2)k
=
Σ (1/2)k + (1/2)n+1
= 1 - (1/2n )
+ (1/2)n+1
k=1
k=1
rechte Seite
1 - (1/2)n + (1/2n+1
) =
1 - 1 *(1/2)n +
0,5 * (1/2n
) =
1 - 0,5 * (1/2n )=
1 - (1/2n+1
)
d) 14.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=1
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=0
k 0
1
2
3
ak 0
1/2 2/4
3/8
sk 0
1/2 1
11/8
Die Summation könnte auch schon bei 0 beginnen, weil s0= 0.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/21
= 2 - [ (1 + 2) / 21 ]
1/2 = 2 - 1,5
1/2 = 1/2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 3) / 2n+1 ]
k=1
n+1
Σ k/2k
= 2 * 2n
* 2 - (n + 3)
k=1
2n
* 2
n+1
n
Σ k/2k
=
Σ k/2k +
(n + 1)/2n+1 =
2 - [ (n + 2) / 2n ] + (n +
1)/2n+1
k=1
k=1
rechte Seite
2 - [ (n + 2) / 2n ] + (n +
1)/2n+1 =
2 * 2n * 2 - (n + 2) * 2 + (n
+ 1) =
2n * 2
2 * 2n
* 2 - 2n - 4 + n + 1
2n
* 2
15. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
5) Ermitteln Sie die Formeln für die folgenden Summen, und weisen Sie ihre
Richtigkeit nach!
a)
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)]
k=1
k 1
2
3
4
ak 1/4
1/28 1/70
1/30
sk 1/4
2/7 3/10 4/13
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] = n / (3n
+ 1)
k=1
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(1 * 4) = 1/ (3 * 1 + 1)
1/4
= 1/4
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] = n / (3n
+ 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
(n + 1) /
(3n + 4)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] +
1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1] = n / (3n + 1)
+ 1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] +
1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1] = n / (3n + 1)
+ 1 / [ (3n + 1) * (3n + 4) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (3n + 1) + 1 / [ (3n + 1) * (3n + 4) ]
=
n * (3n + 4) + 1 =
(3n + 1) * (3n + 4)
3n²+ 4n + 1
= //Faktorisierung
(3n + 1) * (3n + 4)
(n + 1) * (3n + 1) =
(3n + 1) * (3n + 4)
(n + 1) /
(3n + 4)
16. Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b)
n
Σ k * 2k-1
k= 2
k 2
3 4
5 6
7
ak 4 12 32 80 192
448
sk 4 16
48 128 320 768
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
1.Induktionsanfang
Für n = 2 gilt die Aussage 2 * 22-1 = (2 - 1) * 22
2 * 2 = 1 * 4
4 = 4
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k * 2k-1
= n * 2n+1
k= 2
n+1 n
Σ k * 2k-1
=
Σ k * 2k-1
+ (n + 1) * 2n
= (n - 1) * 2n
+ (n + 1) * 2n
k= 2
k= 2
rechte Seite
(n - 1) * 2n +
(n + 1) * 2n
=
n * 2n - 2n
+ n * 2n
+ 2n
=
n * 2n +
n * 2n
=
21 *
n * 2n
=
n * 2n+1
Weitere Beweise mittels vollständiger Induktion
Der Induktionsbeweis kann auch dadurch erbracht werden, dass die
Induktionsvoraussetzung unter Benutzung
bekannter Gesetzmäßigkeiten so umgeformt wird, dass sich die
Induktionsbehauptung ergibt.
1.Beweis durch Vollständige
Induktion
18) Zu beweisen ist die Wahrheit der Aussage
Für alle natürlichen Zahlen n gilt 2n >
n
Voraussetzung: n ist eine beliebige natürliche Zahl
Behauptung: 2n > n
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 0 gilt die Aussage 20
> 0
1 > 0
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
2n > n
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > n + 1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > n
/ *2
2 * 2n > 2 * n
/ Umformung
2n+1 > n + n
2n+1 > n + 1
/ n + n ≥ n + 1 gilt
aber nur für n > 0
Deshalb kann n = 0 nicht als Induktionsanfang genommen werden.
Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 21
> 1
2 > 1
Erst damit ist die behauptete Ungleichung für alle natürlichen n bewiesen.
Das nächste Beispiel soll deutlich machen, dass man den Induktionsschritt statt
von
n auf n + 1 auch von n - 1 auf n ausführen kann. Auch dabei handelt es sich ja
um den Schluss
von einer beliebigen, aber festen natürlichen Zahl auf deren Nachfolger.
Manchmal ergeben sich auf
diese Weise etwas leichter zu bearbeitende Terme.
2. Beweis durch Vollständige Induktion
19) Zu beweisen ist der Satz
Die Summe der dritten Potenzen dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen
ist stets durch 9 teilbar.
Behauptung:
n3 + (n + 1)3
+ (n + 2)3 = eine
natürliche Zahl
9
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 0 + 13
+ 23 = 9
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
Für n = k - 1 sei
(k - 1)³ + k³
+ (k + 1)³ = eine
natürliche Zahl
9
Induktionsbehauptung:
Dann ist auch für den Nachfolger von k-1 also k k3
+ (k + 1)3 +
(k + 2)³
= eine natürliche Zahl
9
Induktionsbeweis:
Die Terme in Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung stimmen nahezu
überein, nur dass
an Stelle von (k - 1)3 bei dem einen in
dem anderen (k + 2)3 im Zähler auftritt.
(k - 1)3 = (k - 1)
* (k - 1)2
(k - 1)3 = (k - 1)
* (k2 - 2k +1)
(k - 1)3
= k3 - 3k2
+ 3k - 1
(k + 2)3 = (k + 2)
* (k + 2)2
(k + 2)3 = (k + 2)
* (k2 + 4k + 4)
(k + 2)3
= k3 + 6k2
+ 12k + 8
|
|
(k + 2)3 = k3
- 3k2 + 3k - 1
+ 9k2 + 9k
+ 9
|
|
(k - 1)3
Auffüllen
(k + 2)3 = (k - 1)3
+ 9 * (k2 + 9 + 1)
Induktionsbehauptung:
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³ + 9 * (k² + 9 + 1)
9
9
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³
+ 9 * (k² + 9 + 1)
9
9
9
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³
+ (k² + 9 + 1)
9
9
|
|
|
Induktionsbehauptung
Induktionsvoraussetzung
2.Summand
1.Summand
Nach der Induktionsbehauptung ist der erste dieser beiden Summanden eine
natürliche Zahl.
Da auch der zweite Summand natürlich ist, ist die Summe eine natürliche Zahl.
Damit ist gezeigt,
dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges festes n = k - 1 die
Gültigkeit für den
Nachfolger n + 1 = k folgt. Wegen des Induktionsanfangs gilt also die Aussage
für alle natürlichen
Zahlen. Der Satz ist damit bewiesen.
3. Beweis durch Vollständige
Induktion
20) Es ist eine Formel für die Summe sn der Innenwinkel in ebenen n-Ecken zu
ermitteln.
Innenwinkelsumme Dreiecke n = 3 ; s3= 180
Wenn das n-Eck (n > 3) konvex ist, so kann man es von einem beliebigen Eckpunkt
aus mittels (n - 3)
Diagonalen in (n - 2) Dreiecke zerlegen.
Dabei werden auch die Innenwinkel des n-Ecks zerlegt.
sn= (n - 2) * 180 Grad
konvex: nach außen gewölbt, Linse
konkav: nach innen gewölbt
Beide Vielecke liegen in einer ebene.
Definition konvexes ebenes Vieleck:
Ein ebenes Vieleck heißt konvex, wenn in ihm für jede Seite s gilt: Das Vieleck
liegt gänzlich in einer der
beiden Halbebenen, die durch die durch s verlaufende Gerade erzeugt werden. Eine
Gerade zerlegt eine Ebene
immer in zwei Halbebenen.
Hat die kleine Romy Grumbach sex wird ihr Bauch konvex. Ist sie brav bleibt er
konkav.
konvexes ebenes Fünf-Eck
mit (n - 3) 5 - 3 = 2 Diagonalen
mit (n - 2) 5 - 2 = 3 Dreiecken
Beweis
Vorraussetzung n ist eine beliebige natürliche Zahl, n > 3
Behauptung: sn= (n - 2) * 180 Grad
1. Induktionsanfang:
Für n = 3 gilt die Aussage s3= 180 Grand (Innenwinkelsumme der Dreiecke)
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
sn= (n - 2) * 180 Grad
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für n = n + 1
sn+1= ((n + 1) - 2) * 180 Grad
sn+1= (n - 1) * 180 Grad
Induktionsbeweis:
Das (k + 1) - Eck kann durch eine passend gewählte Diagonale in ein n-Eck und
ein Dreieck zerlegt werden.
Die Innenwinkelsumme des (n + 1)-Ecks setzt sich demnach aus der Winkelsumme des
n-Ecks und der des Dreiecks
zusammen.
(n - 2) * 180 Grad +
180 Grad
=
(n - 1) * 180 Grad
|
|
|
n-Eck
Dreieck
(n + 1)-Eck
n * 180 Grad - (2 * 180 Grad) + 180 Grad
=
n * 180 Grad - 180 Grad
n * 180 Grad - 180 Grad =
n * 180 Grad - 180 Grad
1. Ermitteln Sie, von welchem n ab die folgenden Ungleichungen gelten, und
beweisen Sie die
Behauptungen durch vollständige Induktion!
4. Beweis durch vollständige
Induktion
a)
2n > 2n
Voraussetzung: n ist eine beliebige natürliche Zahl n ≥ 0
Behauptung: 2n > 2n
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 20
> 2 * 0
1 > 0
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
2n > 2n
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > 2n + 2
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > 2n
/ *2
2 * 2n > 4n
/ Umformung
2n+1 > 4n
2n+1 > 2n + 2
/Gilt wegen: 4n ≥ 2n + 2 gilt aber
nur für n > 0
Deshalb kann n = 0 nicht als Induktionsanfang genommen werden.
Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage nicht 21
= 2 * 1
2 = 2
Für n = 2 gilt die Aussage nicht 22
= 2 * 2
4 = 4
Für n = 3 gilt die Aussage 23
> 2 * 3
8 > 6
Die Ungleichung ist bewiesen für folgende natürlichen n, n = 0 und n > 2
b)
5. Beweis durch
vollständige Induktion
2n > 2n + 1
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl, n > 2
Behauptung: 2n > 2n
+ 1
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 3 gilt die Aussage 23
> 2 * 3 + 1
8 > 7
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 2 gelte
2n > 2n + 1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > 2n + 3
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > 2n + 1
/ *2
2 * 2n > 4n + 2
/ Umformung
2n+1 > 4n + 2
2n+1 > 2n + 3
/Gilt wegen: 4n + 2 > 2n + 3 gilt für n > 2
6. Beweis durch
vollständige Induktion
c)
2n > n2
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl, n > 4
Behauptung: 2n >
n2
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 5 gilt die Aussage 25
> 52
32 > 25
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 4 gelte
2n > n2
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > (n + 1)2
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > n2
/ *2
2 * 2n > 2 * n2
/ Umformung
2n+1 >
n2 + n2
2n+1 >
(n + 1)2
/Gilt wegen: n2 + n2
> n2 + n + 1 gilt für n >1
7. Beweis durch vollständige Induktion
2) Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung für n > 1!
1/ (n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/2n > 13/24
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl n >1
Behauptung:
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 2 gilt die Aussage
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
4
Σ 1/k > 13/24
k=3
4
Σ 1/k = 1/3 + 1/4 = 7/12
k=3
7/12 > 13/24
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 1 gelte
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2 *(n + 1)
Σ 1/k
> 13/24
k= n + 1 + 1
2n + 2
Σ 1/k > 13/24
k= n + 2
Induktionsbeweis
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
2n + 2
2n
Σ 1/k >
Σ 1/k
k= n + 2 k= n + 1
für n = 5
12
10
Σ 1/k >
Σ 1/k
k= 7
k= 6
2n + 2
Σ 1/k > 13/24
k= n + 2
3) Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
7. Beweis durch vollständige
Induktion
a)
92 - 1 = eine natürliche Zahl
8
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage (90 - 1) / 8 = 0
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
(9n - 1) / 8 = eine natürliche Zahl
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
(9n+1 - 1) / 8 = eine natürliche Zahl
Induktionsbeweis:
(9n - 1) / 8 = eine natürliche Zahl /
Voraussetzung
(9n+1 - 1) / 8 = eine natürliche Zahl /Behauptung
(9n+1 - 1) / 8 = (9 * 9n - 1) / 8
72 * 9n - 8 =
8 * 9n - 8 +
64 * 9n
8
8
8 8
8
72 * 9n - 8
= 8 * 9n - 8
+
8 * 9n
8
8
8 8
|
|
|
Induktionsbehauptung
Induktionsvoraussetzung
2.Summand
1.Summand
Nach der Induktionsbehauptung ist der erste dieser beiden Summanden eine
natürliche Zahl.
Da auch der zweite Summand natürlich ist, ist die Summe eine natürliche Zahl.
Damit ist gezeigt,
dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges festes n die
Gültigkeit für den
Nachfolger n + 1 folgt. Wegen des Induktionsanfangs gilt also die Aussage
für alle natürlichen
Zahlen. Der Satz ist damit bewiesen.
8. Beweis durch Vollständige
Induktion
b)
11n+2 + 122n+1 = eine natürliche
Zahl
133
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 112 + 121 = 133
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
11n+2 + 122n+1 = durch 133 teilbar
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
11n+3 + 122n+3 = durch 133 teilbar
Induktionsbeweis:
11 * 11n+2 + 122 * 122n+1
= // Induktionsbehauptung umgeformt
11 * 11n+2 + 144 * 122n+1 // Induktionsbehauptung umgeformt
es gilt 144 = 11 + 133
11 * 11n+2 + 11 * 122n+1
+ 133 * 122n+1 = //
Anwendung von 144 = 11 + 133
11 * (11n+2
+ 122n+1 )
+ 133 * 122n+1
|
|
1. Summand
2. Summand
laut Induktionsvoraussetzung durch
wegen Faktor 133 ebenfalls durch
133 teilbar
133 teilbar
9. Beweis durch Vollständige
Induktion
11n+1 + 122n-1 = eine natürliche
Zahl n ≥ 1
133
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 112 + 121 = 133
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
11n+1 + 122n-1 = durch 133 teilbar
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
11n+2 + 122n+1 = durch 133 teilbar
Induktionsbeweis:
11 * 11n+1 + 122 * 122n-1
= // Induktionsbehauptung umgeformt
11 * 11n+1 + 144 * 122n-1 // Induktionsbehauptung umgeformt
es gilt 144 = 11 + 133
11 * 11n+1 + 11 * 122n-1
+ 133 * 122n-1 = //
Anwendung von 144 = 11 + 133
11 * (11n+1
+ 122n-1 )
+ 133 * 122n-1
|
|
1. Summand
2. Summand
laut Induktionsvoraussetzung durch
wegen Faktor 133 ebenfalls durch
133 teilbar
133 teilbar
10.Beweis durch Vollständige
Induktion
3
n
c) * 2
+1 ist durch 3n+1 teilbar.
|
2^3^n
einfacher ausgedrückt
2^3^n = k * 3^(n+1) - 1
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 2^3^0 = k * 3^(0+1) - 1
2^3 = k * 3 - 1
8 = 4 * 2
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
2^3^n = k * 3^(n+1) - 1
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
2^3^(n+1) = k * 3^(n+2) - 1
Induktionsbeweis:
2^3^(n+1) = 2^[ (3^n) * (3^1) ] =
(2^3^n)^3
|
linke Seite der Induktionsvoraussetzung
(2^3^n)^3 = (k * 3^(n+1) - 1)^3
|
rechte Seite der Induktionsvoraussetzung
(k * 3^(n+1) - 1)^3 = [(k * 3^(n+1) - 1)^2] * (k * 3^(n+1) - 1)
nur die Rechte Seite:
[(k * 3^(n+1) - 1)^2]
*
(k * 3^(n+1) - 1) =
[k * 3^(2n+2) - 2 * k * 3^(n+1) +1]
*
(k * 3^(n+1) - 1) =
k * 3^(3n+3) - 2 * k * 3^(2n+2) + k *
3^(n+1) - k * 3^(2n+2) +
2 * k * 3^(n+1) - 1 =
k * 3^(3n+3) - 3 * k * 3^(2n+2) + 3 * k * 3^(n+1)
- 1 =
k * 3^(3n+3) - k * 3^(2n+3) + k * 3^(n+2)
- 1 =
2^3^(n+1) =
[ k * 3^(2n+1) - k *
3^(n+1) + k ]
*
3^(n+2) - 1
|
|
1. Faktor der Induktionsbehauptung
2. Faktor der Induktionsbehauptung
11. Beweis durch Vollständige Induktion
4) Ermitteln Sie die Anzahl der Diagonalen in einem ebenen n-Eck, und beweisen
Sie die gefundene Formel sowohl
mittels vollständiger Induktion als auch ohne dieses Verfahren!
k(n) = (n * (n - 3) /2)
n > 3
Anzahl der Ecken
n
|
|
n 3
4 5
6
7
8
k(n) 0 2
5 9
14
20
|
| |
Anzahl der Diagonalen
k(n) k(n+1)
s(n) 0 2
7 16 30
50
|
Summe der Diagonalen Summenformel: s(n) = [ n * (n+1) * (n-4) / 6] + 2
n
Σ n * (n - 3) /2)
= [ n * (n+1) * (n-4) / 6] + 2
k= 3
rekursiv:
k(n+1) = k(n) + n - 1
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 4 gilt die Aussage k(4) = (4 * (4-3) / 2)
k = 2
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
k(n) = (n * (n - 3) /2)
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von k(n), k(n +1)
k(n+1) = [ (n+1) * (n - 2) /2) ]
k(n+1) = (n²- 2n + n - 2 ) / 2
k(n+1) = (n²- n - 2 ) / 2
Induktionsbeweis:
k(n+1) = k(n) + n - 1
k(n+1) = [n * (n - 3) /2] + n - 1
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + n - 1
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + [ 2 * (n - 1) / 2]
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + [ (2n - 2) / 2]
k(n+1) = (n²- n -
2 ) / 2
Direkter Beweis
Anzahl aller Verbindungslinien im n-Eck sind
(n-1) + (n-2) + (n-3).... = n * (n-1)/2
Abzug der Außenlinien n weil keine Diagonalen
(n * (n-1) / 2) - n
(n * (n-1) / 2) -2n/2 = n * (n - 3) / 2
12. Beweis durch Vollständige
Induktion
Beweisen Sie durch Vollständige Induktion, dass 6n - 1, n∈N, ein Vielfaches von
5 ist!
6n - 1 = 5 * k
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 61 - 1 = 5 * k
6 - 1 = 5 * 1
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
6n
- 1 = 5 * k
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
6n+1 - 1 = 5 * k
Induktionsbeweis:
61 * 6n - 1 = 5 * k //Induktionsbehauptung
6 * (6n
- 1) + 6 - 1 = 5 * k
|
linke Seite der Induktionsvoraussetzung
6 * (6n - 1) + 5 = 6 * 5k + 5
6 * 5k + 5 lässt sich durch 5 teilen.
13. Beweis durch Vollständige
Induktion
5) Beweisen Sie den folgenden Satz durch vollständige Induktion!
Haben n verschiedene Geraden einer Ebene einen Punkt gemeinsam, so wird die
Ebene von den Geraden in 2 * n Teile zerlegt.
n
Σ 2 * k / k = 2n
k > 0
k=1
k
1 2
3 4
5
ak 2 2
2 2
2
sk 2 4
6 8
10
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 2 * 1/1 = 2 * 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 2 * k / k = 2n
k > 0
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 2 * k / k = 2 * (n + 1)
k > 0
k=1
n+1
Σ 2 * k / k =
2n + 2
k=1
n+1
n
Σ 2 * k / k =
Σ 2 * k / k + 2 * (n+1) / (n+1)
= 2n + 2 * (n+1) / (n+1)
k=1
k=1
rechte Seite:
2n + 2 * (n+1) / (n+1) =
2n + 2
Anwendungen zu Folgen und ihren Partialsummen
21) 220 Meter Papier (Stärke 0,2mm) werden auf eine Rolle mit dem Radius 7,5 cm
gewickelt.
a) Wie viele Lagen ergeben sich?
b) Wie lang ist der Durchmesser der Rolle zum Schluss?
220m = 220000mm Summe der Kreisumfänge
1. Umdrehung
uk= 2π * rk
2. Umdrehung
uk+1= 2π * ( rk + 0,2mm)
uk+1= 2πrk + 0,4π
uk+1= uk + 0,4π
// um 0,4π vergrößert sich bei jeder Umdrehung der Umfang
n
Σ uk = n *
u1 +
n * (n - 1) * 0,4π
k= 1 2
|
weil bei der ersten Umdrehung keine Vergrößerung um 0,4π ist
n
Σ k =
n * (n + 1)
k= 1 2
n-1
Σ k =
n * (n - 1)
k= 1 2
220000mm = n * 150π + (n²- n) * 0,4π
2
220000mm = n * 150π + n² * 0,2π
- n * 0,2π
0 = n² * 0,2π + n * 149,8π -
220000
0 = n²π + 749 nπ - 1100000
0 = n² + 749 n - 350140,87
P/ Q Formel
n1 = -374,5 + 700,27
n1 = 325,77
n = 326
b)
rn= r1 + (n - 1) * 0,2mm
r326= 75mm + 325 * 0,2mm
r326= 140mm
Durchmesser= 280 mm
Logarithmus
Im Bereich der reellen Zahlen gilt der Satz:
Für jede Zahl a > 0 und jede Zahl b > 0 mit b≠1 gibt es genau eine Zahl x, die
Lösung der Gleichung
bx
= a ist.
x = logb a
Beispiele:
log2 32 = 5;
denn 25 = 32
log2 0,25 = -2; denn 2-2
= 1 = 1
22 4
log9 3 = 0,5;
denn 90,5 =
√9 = 3
Logarithmengesetze
logb (a * c) = logb a + logb
c
log2 (4 * 16) = 2 + 4
logb (a / c) = logb a - logb
c
log2 (64 / 16) = 6 - 4
logb ac
= c *
logb a
log5 252 = 2 *
log5 25 = 4
Meist rechnet man mit Logarithmen zur Basis 10, das heißt mit den dekadischen
Logarithmen (Symbol lg).
22) Folgende Gleichungen sind zu lösen! x5
= 29 und 5x = 29
x5 = 29
lg x5 = lg 29
5 * lg x = lg 29
5 * lg x = 1,462 //
/5
lg x = 0,292
x= 100,292
x= 1,96
5x = 29
lg 5x = lg 29
x * lg 5 = lg 29
x= lg 29 / lg 5
x= 1,462 / 0,699
x= 2,09
23) Zwischen den Längen 15mm und 210mm sind weitere vier Längen so
einzuschalten,
dass eine geometrische Stufung erreicht wird.
(sn) = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6
s1= 15
s6= 210
(sn) = 15 +
15 * q +
15 * q2
+ 15 * q3
+ 15 * q4
+
15 * q5
|
|
s1
s6
15 * q5 = 210
q5 = 14
5 * lg q = lg 14
5 * lg q = 1,146 / /5
lg q = 0,229
100,229 = 1,69
q = 1,69
Die gesuchte geometrische Stufung ist:
(sn) = 15mm + 25,35mm + 42,84mm + 72,40mm + 122,36mm + 210mm.
24) Jemand rechnet zur Ermittlung von q folgendermaßen:
5 * lg q = lg 14
lg q = lg 2,8 usw.
Analysieren Sie den Fehler!
(lg 14) ≠ lg 14
5
5
24.1) Für welche natürliche Zahl n gilt in der monoton fallenden geometrischen
Folge (an) mit
a0= 4
q= 19/20
erstmalig an < 1,5 ?
Hierbei ist an nicht das n-te Glied, sondern das (n + 1)-te Glied.
explizite Zuordnungsvorschrift:
an= 4 * (19/20)n
n∈N
4 * (19/20)n < 1,5 / /4
(19/20)n < 0,375
n * lg (19/20) < lg 0,375
n * (-0,0223) < -0,426 / / -0,0223
n > 19,1
Lösung: Für n = 20 gilt an < 1,5.
24.2)
a) Überprüfen sie die im Beispiel 24.1 ausgesprochene Vermutung, korrigieren Sie
gegebenenfalls, und beantworten
Sie die in diesem Beispiel gestellte Frage!
n 0 1
2 3
19 20
an 4 3.8
3,61 3,4295 1,509
1,433
b) Woraus erklärt sich beim Lösen der Ungleichung im Beispiel 24.1 der Wechsel
vom Kleiner- zum Größerzeichen?
Division mit negativer Zahl = Vorzeichenwechsel
Aufgaben
1) Eine endliche arithmetische Folge (ak) habe die Differenz -2 und als
letztes Glied die Zahl 17.
a) Wie viele Glieder hat die Folge, wenn die Summe aller Glieder 897 beträgt?
b) Das wievielte Glied ist 43, wenn die Folge 50 Glieder hat?
a)
Hilfsmittel umgekehrte Folge
Folge ak = 17 + ( 2 * (n - 1))
k 1
2 3
4 5
ak 17 19
21 23 25
an 17 36
57 80 105
an = n² + 16n
897 = n² + 16n
n² + 16n - 897 = 0
p/q-Formel
n= 23
eigentliche Folge
ak= 61 - (2 * (n - 1))
b)
Hilfsmittel umgekehrte Folge
Folge ak = 17 + ( 2 * (n - 1))
a50= 17 + (2 * 49)
a50= 115
eigentliche Folge
ak= 115 - (2 * (n - 1))
43= 115 - (2 * (n - 1))
43= 115 - 2n + 2
2n= 74 / / 2
n= 37
a37= 43
2) Berechnen Sie a1, a2, und a15 einer arithmetischen Folge!
9
Σ ak = 92,25
k=1
q+1 + q+2 + q+3 + q+4 + q+5 + q+6 + q+7 + q+8 + q+9 = 9 * q + 45
| |
a1 a2
n
Σ k = (n²+ n)
k=1 2
9
Σ k = 45
k=1
9 * q + 45 = 92,25 / -45
9 * q = 47,25 / / 9
q = 5,25
9
Σ 5,25 + k = 92,25
k=1
a1= 6,25
a2= 7,25
a9= 14,25
15
Σ ak = 210
k=1
n
Σ k = (n²+ n)
k=1 2
15
Σ k = 120
k=1
15 * q + 120 = 210 / -120
15 * q = 90 / / 15
q = 6
15
Σ 6+ k = 210
k=1
a1= 7
a2= 8
a15= 21
3) In einer geometrischen Folge (ak) sei 64/243 das 7. Glied und q= -2/3
a) Wie lautet das Anfangsglied?
k 1
2 3
7
ak x x *
q x * q²
64/243
x * q6 = 64/243
x * 64/729 = 64/243
x= 3
a1= 3
b) Berechnen Sie Partialsumme s6 und s7!
6
Σ 3 * (-2/3)k-1
k=1
s6= 133/81
s7= 463/243
c) Welches Glied ist erstmalig dem Betrag nach kleiner als 0,01.
3 * (-2/3)k-1 < 0,01
(-2/3)k-1 < 1/300
(k-1) * lg 2/3 < lg 1/300
/ Betrag
(k-1) * -0,176 < -2,477
k * -0,176 + 0,176 < -2,477
k * -0,176 < -2,653
/ / -0,176
k > 15,07
k = 16
4) Eine geometrische Folge (ak) habe die Glieder a1= 7 und a6= 2,29.
a) Wie groß ist der Quotient dieser Folge?
a1 a2
a3
a4 a5
a6
a1 q * a1
q2 * a1 q3 * a1
q4 * a1 q5 * a1
q5 * a1 = 2,29
7 * q5 = 2,29
q5 = 0,327
5 * lg q = lg 0,327
lg q = - 0,097
q= 0,8
ak= 7 * 0,8k-1
b) Welches Glied ist erstmalig kleiner als 1?
7 * 0,8n-1 < 1
0,8n-1 < 1/7
(n - 1) lg 0,8 < lg 1/7
(n - 1) * -0,0969 < -0,8451
-n * 0,0969 + 0,0969 < -0,8451
-n * 0,0969 < -0,942 / / 0,0969
-n < -9,721 / * -1
n > 9
Das 10. Glied ist erstmalig kleiner als 1.
c) Wie viele Glieder sind zu summieren, wenn die Summe 28,0 betragen soll?
k 1
2 3
4 5
6 7
8
ak 7
5,6 4,48
3,584 2,862 2,29
1,83 1,46
an 7
12,6 17,08 20,66
23,53 25,82 27,64
n
Σ 7 * 0,8k-1
k= 0
an= 7 * qn - 1
q - 1
28 = 7 * (0,8n -1) / -0,2
/*-0,2
-5,6 = 7 * 0,8n - 7
/ + 7
1,4 = 7 * 0,8n
0,2 = 0,8n
lg 02 = n * lg 0,8
-0,699 = n *- 0,096 / /0,096
n= 7,28
5) Messungen ergeben, dass die Temperatur zum Erdinnern hin um etwa 3°C je 100
Meter
Tiefe zunimmt, wobei in unseren Breiten eine Temperatur von 10°C in 25 Meter
Tiefe zugrunde
zu legen ist.
a) Welche Temperatur herrscht in 2300 Meter Tiefe?
in 2325 Meter Tiefe
23
10 +
Σ 3 = 10 + 69 = 79
k=1
23
Σ 3 = 3 * n
k=1
Zeichen für Entspricht
100 Meter ≙ 3° ≙
25 Meter ≙ x
x= 0,75
In 2300 Meter Tiefe herrschen 78,25 °C.
Zeichen für
kleiner gleich und größer gleich in HTML
kleiner gleich ≤
größer gleich ≥
b) In welcher Tiefe werden 100°C erreicht?
10 + 3 * n = 100
n= 30
30 * 100m = 3000m
3000m + 25m = 3025m
In 3025 Meter Tiefe herrschen 100°C.
c) Ein Thermalbad in Karlovy Vary wird von eine Quelle von 72°C gespeist. Aus
welcher
Tiefe kommt sie?
10 + 3 * n = 72
n= 62/3
62/3 * 100m = 2066,66m
2066,66m + 25m = 2091,66m
6) Bei einer Drehmaschine ist die niedrigste Drehzahl 20 min-1
und die höchste 100 min-1.
Dazwischen liegen weitere vier Drehzahlen, die geometrisch abgestuft sind.
Ermitteln Sie die
gesamte Folge der Drehzahlen!
(sn) = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6
s1= 20
s6= 100
(sn) = 20 +
20 * q +
20 * q2
+ 20 * q3
+ 20 * q4
+
20 * q5
|
|
s1
s6
20 * q5 = 100
q5 = 5
5 * lg q= lg 5
lg q= 0,1397940009
q= 1,379729661
Die gesuchte geometrische Stufung ist:
(sn) = 20min-1 + 27,59min-1 +
38,07min-1 + 52,53min-1 + 72,48min-1
+ 100min-1 .
7) Die Vorzugszahlenreihen
R5, R10, R20 und R40 sind geometrische Folgen mit a0 = 1 und
a5 = 10
a10 = 10
a20 = 10
a40 = 10 .
Vorzugszahlenreihe R5
a0 a1
a2 a3
a4 a5
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 1 * q5
a0 = 1
a5 = 10
1 * q5 = 10
5 * lg q = lg 10
lg q = 1/5
q= 1,584893192
Vorzugszahlenreihe R10
a0 a1
a2 a3
a4....
a10
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q10
a0 = 1
a10 = 10
1 * q10 = 10
10 * lg q = lg 10
lg q = 1/10
q= 1,258925412
Vorzugszahlenreihe R20
a0 a1
a2 a3
a4....
a20
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q20
a0 = 1
a20 = 10
1 * q20 = 10
20 * lg q = lg 10
lg q = 1/20
q= 1,122018454
Vorzugszahlenreihe R40
a0 a1
a2 a3
a4....
a40
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q40
a0 = 1
a40 = 10
1 * q40 = 10
40 * lg q = lg 10
lg q = 1/40
q= 1,059253725
a) Ermitteln Sie die Quotienten und die Glieder für R5 und für R10 ( Runden auf
drei gültige Ziffern)!
R5
q= 1,584893192
a0 a1
a2 a3
a4 a5
1 1,585 2,512
3,981 6,310 10
R10
q= 1,258925412
a0 a1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
a8 a9
a10
1
1,259 1,585
1,995 2,512
3,162 3,981
5,012 6,310
7,943 10
b) Eine verbindliche Rundwertreihe für R10 lautet:
1; 1,2; 1,6; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10.
Vergleichen Sie mit den genauen Werten! Ermitteln Sie dazu die maximale
prozentuale Abweichung!
a0 a1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
a8 a9
a10
1
1,259 1,585
1,995 2,512
3,162 3,981
5,012 6,310
7,943 10
1
1,2 1,6
2,0 2,5
3,0 4,0
5,0 6,0
8,0 10
0% 4,69%
0,95% 0,25% 0,48%
5,12% 0,48%
0,24% 4,91% 0,72%
0%
für a1:
1,259 ≙ 100
1,2 ≙ x
x= 95,31
100 - 95,31 = 4,69
8) Ein Guthaben von 4000,00 Mark der DDR verbleibt 10 Jahre auf einem Sparkonto
und wird mit 3,25% verzinst.
Wie groß ist der gesamte Zinsbetrag, wenn
a) die Zinsen jährlich abgehoben werden;
4000 Mark der DDR ≙ 100%
x Mark der DDR ≙ 3,25%
x= 130 Mark der DDR
130 * 10 Jahre = 1300 Mark der DDR an Zinsen für 10 Jahre
b) die Zinsen jeweils nach Ablauf eines Jahres dem Guthaben zur weiteren
Verzinsung zugeschlagen werden?
Zinseszinsrechnung:
Gn = G0 * qn
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
1.Jahr
4000 * 3,25 / 100 = 130
4000 * 0,0325 = 130
gesamt im 1. Jahr:
4000 * 1,0325 = 4130 /
0,0325 + 1
gesamt im 2. Jahr:
4000 * 1,03252 =
4264,225
gesamt im 3. Jahr:
4000 * 1,03253 =
4402,81
gesamt im 4. Jahr:
4000 * 1,03254 =
4545,90
gesamt im 5. Jahr:
4000 * 1,03255 = 4693,65
gesamt im 6. Jahr:
4000 * 1,03256 = 4846,19
gesamt im 7. Jahr:
4000 * 1,03257 = 5003,69
gesamt im 8. Jahr:
4000 * 1,03258 = 5166,31
gesamt im 9. Jahr:
4000 * 1,03259 = 5334,21
gesamt im 10. Jahr:
4000 * 1,032510 = 5507,58
5507,58 - 4000 = 1507,58 Mark der DDR an Zinsen für 10 Jahre
9) Ein Waldbestand wird auf 2 Millionen m³, sein jährlicher Zuwachs auf 4%
geschätzt.
a) Wie groß ist gemäß dieser Schätzung der Holzbestand nach 10 Jahren, wenn in
der Zwischenzeit
kein Einschlag erfolgt?
Gn = G0 * qn
q = 1 + p/100
2 Millionen m³ * 1,0410 = 2,96048 Millionen m³
b) Wie groß ist der Holzbestand nach 15 Jahren, wenn jährlich 30000
m³eingeschlagen werden?
Rentenrechnung nachschüssig
Gn = G0 * qn +/- r(qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
Gn= 2 Millionen m³* 1,0415 - 30000 * (1,0415
- 1)
1,04 - 1
Gn= 3601887,011 - (30000 * 20,02358764)
Gn= 3601887,011 - 600707,6291
Gn= 3001179,382 m³
3.001.179,38
Rentenrechnung vorschüssig
für r = r * q
Gn = G0 * qn +/- r * q (qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
Gn= 2 Millionen m³* 1,0415 -
300000 * 1,04 *
(1,0415 - 1)
1,04 - 1
Gn= 3601887,011 - (300000 * 1,04 * 20,02358764)
Gn= 3601887,011 - 624735,9343
Gn= 2977151,077 m³
2.977.151,08
c) Wie viele Kubikmeter Holz könnten jährlich eingeschlagen werden, wenn damit
der Wald nach 15 Jahren
völlig abgeholzt sein soll?
Gn= 3601887,011 - (300000 * 20,02358764)
0= 3601887,011 - (x * 20,02358764)
x * 20,02358764 = 3601887,011 / /20,02358764
x= 179882,20 m³
Kontrolle der Zinsen- und Rentenberechnung
weitere Aufgaben:
1) Sind 1; 3; 1/2; 3/5; 7/4 und 7/5 Glieder der nachstehenden Folgen?
a) 2k - 1
5
a1= 1/5
a2= 3/5
a3= 5/5
a4= 7/5
a5= 9/5
a6= 11/5
a7= 13/5
a8= 15/5
b) 7/k
a1= 7
a2= 7/2
a3= 7/3
a4= 7/4
a5= 7/5
a6= 7/6
a7= 7/7
c) 3k - 2
k + 1
a1= 1/2
a2= 4/3
a3= 7/4
a4= 10/5
a5= 13/7
a6= 16/8
a7= 19/9
a8= 22/10
a9= 25/11
a10= 28/12
a11= 31/13
a12= 34/14
2) Ermitteln Sie die jeweils ersten fünf Glieder nachstehender Folgen!
a)
1 - 1/10k-1
a1= 1 - 1/101-1 = 0
a2= 1 - 1/102-1 = 9/10
a3= 1 - 1/103-1 = 99/100
a4= 1 - 1/104-1 = 999/1000
a5= 1 - 1/105-1 = 9999/10000
b) cos * k * π / 2 k ≥ 0
4
Σ cos * k * π / 2
k=0
a0= cos * 0 * 90° = 1
a1= cos * 1 * 90° = 0
a2= cos * 2 * 90° = -1
a3= cos * 3 * 90° = 0
a4= cos * 4 * 90° = 1
c) lg 10k k ≥ 0
4
Σ lg 10k
k=0
a0= 0 * lg 10 = 0
a1= 1 * lg 10 = 1
a2= 2 * lg 10 = 2
a3= 3 * lg 10 = 3
a4= 4 * lg 10 = 4
3)* Versuchen Sie, explizite und rekursive Zuordnungsvorschriften zu geben!
Aufgaben mit Stern bei der Nummer sind von erhöhtem Schwierigkeitsgrad.
a) 0; 4; 8/3; 12/5; ...
k 0
1 2
3
4 5
6
ak 0
4/1 8/3
12/5 16/7
20/9 24/11
ak= 4 * k
2k - 1
ak+1= ak - 4/((2 * k)² - 1)
Probe:
24/11= 20/9 - 4/99
b) 1; 1; 3/4; 4/8; 5/16; ...
k 0
1 2
3
4 5
6
ak 1 1
3/4
4/8 5/16 6/32
7/64
ak= k + 1
2k
ak+1= 1/2 * ak + 1
2k
c) 2; 6; 12; 20; 30; ...
k
1 2
3
4 5
6
ak 2
6 12
20 30
42
ak= (k + 1)² - (k + 1)
ak+1= ak + 2 * (k + 1)
d) 3/8; 8/15; 15/24; 24/35; ...
ak= k * (k + 2)
(k + 1) * (k + 3)
4) Setzen Sie um jeweils vier Glieder fort, so dass geometrische Folgen ak
entstehen!
a) 2/3; 1; 3/2; ...
q= 3/2
9/4; 27/8; 81/16; 243/32
b) -1; 0,8; ...
q= -0,8
-0,64; 0,512; -0,4096; 0,32768
c) √3; 3;
q= √3
3 * √3; 9; 9 * √3; 27
In welcher dieser Folgen wird 1000 überschritten, wenn man sie weit genug
fortsetzt?
Geben Sie in diesem Falle k an!
a) ak= 2/3 * (3/2)k-1
1000 =
2/3 * (3/2)k-1
// erst 1000 / (2/3)
(3/2)k-1 = 1500
(k - 1) * lg (3/2) = lg 1500
(k - 1) * 0,176 = 3,176
(k - 1) = 18,045
k= 19,045
Das heißt erst ab k= 19,045 ist ak größer als 1000. Bei k= 19 ist ak noch
kleiner
als 1000.
Das Ergebnis ist also k= 20.
c) ak= (√3)k
1000= (√3)k
k * lg √3 = lg 1000
k * 0,23856 = 3
k= 12,58
k= 13
5) Wie viele Glieder haben die nachstehenden endlichen geometrischen Folgen?
a) 1; 5; 25; ...; 15625
ak= 5k-1
15625= 5k-1
(k - 1) * lg 5 = lg 15625
(k - 1) * 0,699 = 4,194
(k - 1) = 6
k= 7
Die Folge hat 7 Glieder.
b) 81; 54; 36; ...; 3 13
81
q= 2/3
ak= 81 * (2/3)k-1
256/81 = 81 * (2/3)k-1
(2/3)k-1 = (256/81) / 81
(2/3)k-1 = (256/6561)
(k - 1) * lg 2/3 = lg 256/6561
(k - 1) = 8
k= 9
Die Folge hat 9 Glieder.
c) 2; 6; 18; ...; 4374
ak= 2 * 3k-1
4374 = 2 * 3k-1
3k-1 = 2187
(k - 1) * lg 3 = lg 2187
k - 1 = 7
k= 8
Die Folge hat 8 Glieder.
6)* Für gewisse Folgen ak kann die Untersuchung auf Monotonie auch durch
Betrachtung des Quotienten ak+1 / ak erfolgen.
Erläutern Sie das näher an Hand der Beispiele!
Nicht nur q ist entscheidend, sondern auch ob ak > 0 oder ak < 0 ist.
ak= (k + 1)
(2k - 1)
(k + 2)
(2k + 1) =
(k + 1)
(2k - 1)
2k² + 3k - 2
2k² + 3k + 1
monoton fallend weil:
q < 1
ak > 0 für alle k
ak= (1 - k)
(2k - 1)
-k
(2k + 1) =
(1 - k)
(2k - 1)
2k² - k
2k² - k - 1
monoton fallen weil:
q > 1
ak < 0 für alle k > 1
7) Beweisen Sie, dass die Summe der Kuben der natürlichen Zahlen von 1 bis n
gleich dem Quadrat
der Summe dieser natürlichen Zahlen ist!
n
n
Σ k³ = ( Σ
k )²
k=1 k=1
n
Σ k³ = [(n² + n) / 2]²
k=1
n
Σ k³ = (n4
+ 2n³ + n²) / 4
k=1
17. Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k³ = (n4
+ 2n³ + n²) / 4
k=1
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
1³ = (1 + 2 + 1) / 4
1 = 1
2. Induktionsschritt
n
Σ k³ + (n + 1)³ =
[(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
k=1
(n4
+ 2n³ + n²) / 4 + (n + 1)³ = [(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)³] / 4 = [(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
nur die linke Seite:
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)³] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)² * (n * 1)] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n² + 2n + 1) * (n + 1)] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) ] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4n³ +
4n² + 8n² + 8n + 4n + 4 ] / 4
[n4 + 6n³ +13n² + 12n + 4 ] / 4
nur die rechte Seite
[(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
[(n + 1)² * (n + 1)² + 2 * ((n + 1)² * (n + 1)) + (n + 1)²] /
4
[(n² + 2n + 1) * (n² + 2n + 1) + 2 * ((n² + 2n + 1) * (n + 1)) + n²
+ 2n + 1] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 2n³ + 4n² + 2n +
n² + 2n + 1 + 2 * (n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) + n² + 2n + 1] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 2n³ + 4n² + 2n +
n² + 2n + 1 + 2n³ + 2n² + 4n² + 4n + 2n + 2 + n² + 2n + 1] / 4
[n4 + 6n³+ 13n²+ 12n + 4] / 4
8) Ermitteln Sie eine Summenformel für die Summe der Quadrate der ungeraden
Zahlen,
und beweisen Sie diese Formel!
n
Σ (2k - 1)² = 4/3n³ - 1/3n
k=1
k 1
2 3
4 5
6 7
ak 1 9
25 49 81
121 169
an 1 10
35 84 165
286 455
18. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ (2k - 1)² = 4/3n³ - 1/3n
k=1
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(2 * 1 - 1)² = 4/3 * 1 - 1/3 * 1
1 = 1
2. Induktionsschritt
4/3n³ - 1/3n + (2(n + 1) - 1)² = 4/3(n + 1)³ - 1/3(n
+ 1)
4/3n³ - 1/3n + (2n + 1)² = 4/3 *
(n + 1)² * (n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ - 1/3n + 4n² + 4n + 1 = 4/3 *
(n²+ 2n + 1) * (n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3 *
(n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3 *
(n³ + 3n² + 3n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 4n + 4/3 - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 4n + 4/3 - 1/3n - 1/3
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 11/3n + 1
19. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
9) Es ist zu beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
sn= 1 - 4 + 9 - 16 + 25 + ... + (-1)n-1 * n²
n
Σ (-1)k-1 * k²
= (-1)n-1 * n * (n + 1)
k=1
2
k 1
2 3
4 5
6 7
ak 1 -4
9 -16 25
-36 49
an 1 -3
6 -10 15
-21 28
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(-1)1-1 * 1² = (-1)1-1
* 1 * (1 + 1)
2
(-1)0 * 1² = (-1)0 * 1
* (1 + 1)
2
1
= 1
2. Induktionsschritt
(-1)n-1 * n * (n + 1)
+ (-1)n+1-1 * (n + 1)² = (-1)n+1-1
* (n + 1) * (n + 1 + 1)
2
2
(-1)n-1 * n * (n + 1)
+ (-1)n * (n + 1)² = (-1)n
* (n + 1) * (n + 2)
2
2
-1 * (-1)n * n² +
n + 2 * (-1)n *
n² + 2n + 1 = (-1)n
* n² + 3n + 2
2
2
a = (-1)n
-a * n² + n +
2 * a *
n² + 2n + 1 = a
* n² + 3n + 2
2
2
-an² -an + 2an²
+ 4an + 2a = an²
+ 3an + 2a
2
2
an² + 3an + 2a =
an² + 3an + 2a
2
2
20. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
10)* Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgende Gleichung für
alle natürlichen Zahlen
n ≥ 1 gilt!
n
Σ (2k - 1) * (2k + 1)
= 4n³ +
6n² - n
k=1
3
k 1
2 3
4 5
ak 3 15
35 63 99
an 3 18
53 116 215
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(2k - 1) * (2k + 1) = 4n³
+ 6n² - n
3
1 * 3 = 4 + 6 - 1
3
3 = 3
2. Induktionsschritt
4n³
+ 6n² - n + (2n + 2 - 1) * (2n + 2 + 1) = 4 * (n + 1)³
+ 6 * (n + 1)² - (n + 1)
3
3
4n³
+ 6n² - n + (2n + 1) * (2n + 3) = 4 * (n + 1)²
* (n + 1) + 6 * (n + 1)² - (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² -
n + 4n² + 8n + 3 = 4 * (n²
+ 2n + 1) * (n + 1) + 6 *
(n² + 2n + 1)
- (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² - n
+ 3 * (4n² + 8n + 3) = 4 *
(n³ + n²
+ 2n² + 2n + n + 1) + 6 *
(n² + 2n + 1)
- (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² - n
+ 12n² + 24n + 9 = 4n³
+ 4n² + 8n² + 8n + 4n + 4 + 6n² + 12n + 6 - n - 1
3
3
4n³ + 18n² + 23n
+ 9 = 4n³ + 18n² +
23n + 9
3
3
11) Welche Summe ergeben alle durch 11 teilbaren Zahlen x mit 0 < x < 1000?
n
Σ 11k = 11n² + 11n
k=1
2
11n < 1000
n= 90
90
Σ 11k = 11 * 90² + 11 * 90
k=1
2
90
Σ 11k = 45045
k=1
33
12) Berechnen Sie
Σak für die arithmetische Folge
ak = -3,5; -2,8; ... !
k=17
n
Σ-4,2 + 0,7k
k=1
k 1
2 3
4 5
ak -3,5
-2,8 -2,1
-1,4 -0,7
an -3,5
-6,3 -8,4
-9,8 -10,5
an= k * (-35/10) + 7/10 * (k² - k)
2
a33= (-1155/10) + (3696/10)
a33= 2541/10
a16= (-560/10) + (840/10)
a16= 280/10
a33 - a16 = 2261/10
33
Σ-4,2 + 0,7k = 2261/10
k=17
13) Eine geometrische Folge ak habe das Anfangsglied a1= 2 und Quotienten q =
1,25.
a) Berechnen Sie das 4. Glied und die Summe der ersten 4 Glieder!
n
Σ2 * 1,25k-1
k=1
a1= 2
a4= 125/32
k 1
2 3
4 5
ak 2
5/2 25/8
125/32 625/128
an 2/1
9/2 61/8
369/32 2101/128
4
Σ2 * 1,25k-1 =
369/32
k=1
b) Welchen Index hat das Glied, das erstmals größer als 20 ist?
2 * 1,25k-1 = 20
1,25k-1 = 10
(k - 1) lg 1,25 = lg 10
k - 1 = 10,31
k = 11,31
Das erste Glied, welches größer als 20 ist, hat den Index 12.
14)* Wenn die reellen Zahlen a, b, c eine dreigliedrige arithmetische Folge
bilden, dann gilt
3 * (a² + b² + c²) = 6 * (a - b)² + (a + b + c)².
Beweisen Sie diesen Sachverhalt!
3 * (a² + b² + c²) = 6 * (a - b)² + (a + b + c)²
3a² + 3b² + 3c² = 6 * ( a² - 2ab + b²) + (a + b + c) * (a + b + c)
3a² + 3b² + 3c² = 6 * [( a² - 2ab + b²) + (a² + a b + ac + ab + b² + bc + ac +
bc + c²)]
3a² + 3b² + 3c² = 6a² - 12ab + 6b² + a² + a b + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
3a² + 3b² + 3c² = 7a² - 10ab + 7b² + 2ac + 2bc + c²
a= a1
b= a1 + d
c= a1 + 2d
3a1² + 3 * (a1 + d)² + 3 * (a1 + 2d)² = 7 a1² - 10a1 * (a1 + d) + 7 * (a1 + d)²
+ 2a1 * (a1 + 2d) + 2 * (a1 + d) * (a1 + 2d) + (a1 + 2d)²
3a1² + 3 * (a1² + 2a1d + d²) + 3 * (a1² + 4a1d + 4d²) = 7a1² - 10a1² - 10a1d +
7a1² + 14a1d + 7d² + 2a1² + 4a1d + (2a1 + 2d) * (a1 + 2d) + (a1 + 2d)²
3a1² + 3a1² + 6a1d + 3d² + 3a1² + 12a1d + 12d² = 7a1² - 10a1² - 10a1d + 7a1² +
14a1d + 7d² + 2a1² + 4a1d + 2a1² + 4a1d + 2a1d + 4d² + a1² + 4a1d + 4d²
3a1² +
3a1² + 6a1d + 3d² +
3a1² + 12a1d + 12d² =
7a1² -
10a1² - 10a1d +
7a1² + 14a1d + 7d² +
2a1² + 4a1d +
2a1² + 4a1d + 2a1d + 4d² +
a1² + 4a1d + 4d²
9a1² + 6a1d + 3d² +
12a1d + 12d² = 9a1² -
10a1d +
14a1d + 7d² +
4a1d +
4a1d +
2a1d + 4d² +
4a1d + 4d²
9a1² + 18a1d + 15d² = 9a1² + 18a1d + 15d²
15) Ein gestufter Regelwiderstand R= 1kΩ ist so beschaffen, dass in jeder seiner
8 kleineren Stufen der jeweils ausgeschaltete Widerstand
proportional dem vorher vorhandenen ist. Der Endwiderstand beträgt R0= 100Ω. Wie
groß sind die Teilwiderstände R1 bis R8?
a0 a1
a2 a3
a4....
a8
100 * q0 100 * q1 100 * q2 100 * q3
100 * q4 .... 100 * q8
a0 = 100Ω
a8 = 1000Ω
100 * q8 = 1000
q8 = 10
8 lg q = lg10
lg q= 1/8
q= 1,333521432
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
100
133,35 177,83
237,14 316,23
421,70 562,34 749,89 999,99
16) Je nach konkreter Situation werden bei einer Tablettenkur unterschiedliche
Tagesdosen verordnet, zum Beispiel derart:
Am 1. Tag sind 3 Tabletten zu nehmen. Dann ist täglich um 2 Tabletten bis zur
Maximaldosis von 11 Tabletten zu steigern.
Insgesamt soll die Kur 21 Tage dauern, wobei das Abklinken am Ende umgekehrt wie
der Beginn erfolgt.
Wie viele Tage lang ist die Maximaldosis zu nehmen, und wie viele Tabletten
werden insgesamt für die Kur benötigt?
n
Σ3 + 2 * (k - 1)
k=1
k 1
2 3
4 5
ak 3 5
7 9
11
an 3 8
15 24 35
11 Tage lang 11Tabletten = 121 Tabletten
insgesamt 191 Tabletten
Berechnung DIN A Standard
17) Nach TGL 0-476 genügen die Papierformate der A-Reihe den folgenden
Bedingungen:
1) Das Format A0 ist ein Rechteck von 1 m² Flächeninhalt, dessen
Seitenlängen a0 und b0
sich wie 1 : √2 verhalten.
2) Alle Formate ak (k = 1; ...; 10) entstehen aus ak-1 durch halbieren der
längeren Rechteckseite bk-1.
Untersuchen Sie die Zahlenfolgen ak und bk, k ≥ 1!
A0 = x * x * √2 = 1 m²
______
x= √(1/ √2)
A0 = ak * bk
A0= x * x√2
A1= x * x√2
2
A2= x * x√2
2 2
A3= x * x√2
2 4
A4= x * x√2
4 4
A5= x * x√2
4 8
A6= x * x√2
8 8
A7= x * x√2
8 16
A8= x * x√2
16 16
A9= x * x√2
16 32
A10= x * x√2
32 32
k 0
1 2
3 4
ak x
x x/2
x/2 x/4
k 0 1 2 3 4
bk x√2
(x√2)/2
(x√2)/2
(x√2)/4
(x√2)/4
DIN A4 = 21,02241038cm * 29,73017788cm
Kombinatorik
Permutationen
permutare lat. vertauschen
26) Stellen Sie aus der Menge der vier Buchstaben a, b, e, r sämtliche
verschiedenen geordneten Mengen her!
Schreiben Sie sie in der Reihenfolge nieder, in der sie auch in einem Wörterbuch
stehen würden!
a b e r
a b r e
a e b r
a e r b
a r b e
a r e b
b a e r
b a r e
b e a r
b e r a
b r a e
b r e a
e a b r
e a r b
e b a r
e b r a
e r a b
e r b a
r a b e
r a e b
r b a e
r b e a
r e a b
r e b a
Ergebnis: 24 Permutationen
Jede Anordnung der n Elemente einer endlichen Menge nennt man eine Permutation
dieser n Elemente.
Bezeichnung: Pn
Beispiel P3
a b c
a b c a c b
b a c b c a
c a b c b a
Für die Besetzung der ersten Stelle gibt es
drei Möglichkeiten.
Bei der Besetzung der zweiten Stelle bleiben dann noch
zwei Möglichkeiten.
Die dritte Stelle ist automatisch festgelegt.
P3 = 3 *
2 * 1
Pn = n * Pn-1
P4 = 4 * 3 * 2 * 1
P5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
P6 = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Pn = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1 = n!
n! = n-Fakultät
Beispiel:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
es ist definiert:
0! = 1
1! = 1
(n - 1)! = (n - 1) * (n - 1 - 1)!
n! = n * (n - 1)!
(n + 1)! = (n + 1) * n!
Pn = n! n∈N,
n > 0
14.
Beweis durch Vollständige Induktion
1. Induktionsanfang
P1 = 1!
1 = 1
1 Element hat nur eine Permutation
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Pk = k!
Induktionsbehauptung
Pk+1= (k + 1)!
Induktionsbeweis
Pk+1= Pk * (k + 1)
Pk+1= k! * (k + 1)
Pk+1= (k + 1)!
28) Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es, wenn 8 Personen auf den 8
Sitzen eines D-Zug-Abteils Platz nehmen?
Wie ändern sich Problem und Antwort, wenn weniger als 8 Personen im Abteil sind?
Anzahl der Sitzplätze
Anzahl der Personen
Möglichkeiten
8
8
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
8
7
8! / 1! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 40320
8
6
8! / 2! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 20160
8
5
8! / 3! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720
8
4
8! / 4! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680
8
3
8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336
8
2
8! / 6! = 8 * 7 = 56
8
1
8! / 7! = 8
Beispiel 8 Sitzplätze für 2 Personen ergibt 56 Möglichkeiten
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 34,
35, 36, 37, 38, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 56, 57,
58, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 81, 82,
83, 84, 85, 86, 87
1) Wie groß ist die Summe aller dreistelligen Zahlen, die man als Permutationen
der Grundziffern 2, 4, 6 schreiben kann?
246
264
426
462
624
642
Summe = 2664
2) Wie viele Permutationen lassen sich aus den Grundziffern 1, 2, 3, 4 bilden?
P4 = 4!
P4 = 24
Denken Sie sich diese Permutationen gemäß 1 < 2 < 3 < 4 lexikographisch
geordnet!
Wie viele davon stehen dann
a) vor 2134
b) zwischen 2134 und 3214
c) nach 3214?
a = 1
b = 2
e = 3
r = 4
2 1 3 4 = b a e r
3 2 1 4 = e b a r
a b e r
a b r e
a e b r
a e r b
a r b e
a r e b
b a e r
b a r e
b e a r
b e r a
b r a e
b r e a
e a b r
e a r b
e b a r
e b r a
e r a b
e r b a
r a b e
r a e b
r b a e
r b e a
r e a b
r e b a
3) Wie viele Permutationen der Elemente u, v, w, x, y, z beginnen
a) mit w b)
mit x y c) v z
x u?
P6 = 6!
P6 = 720
a) 720 / 6 = 120
b) 120 beginnen mit x
120 / 5 = 24 beginnen mit x y
c) 24 / 4 = 6
6 / 3 = 2 beginnen mit v z x u
4) Errechnen Sie die folgenden Terme für n = 4 auf möglichst bequeme Weise!
a) 2n!
2 * 4!
2 * 24 = 48
b) (2n)!
8! = 40320
c) n * n!
4 * 24 = 96
d) n! / n
4! / 4 = 3! = 6
e) n! / (n + 1)!
n! / n! * (n + 1) = 1/5
f) n! / (n! + 1) = 24/25
5) Formen Sie die folgenden Terme um, indem Sie Brüche beseitigen!
a) (n + 1)! / n!
n! * (n + 1) / n! = n + 1
b) (n + 1)! / (n + 1)
n! * (n + 1) / (n + 1) = n!
c) (n - 3)! / (n - 2)!
(n - 3) * (n - 4)! / (n - 2) * (n - 3)! =
(n - 3) * (n - 4)! / (n - 2) * (n - 3) * (n - 4)! =
1 / (n - 2)
d) (n + 1)! / (n - 1)!
n! * (n + 1) / (n - 1)! =
/ n! = n * (n - 1)!
n * (n - 1)! * (n + 1) / (n - 1)! =
n * (n + 1)
e) n! / (n - 1)
n * (n -1)! / (n - 1) =
n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 1)=
n * (n - 2)!
6) Lösen Sie die folgenden Gleichungen!
a) x! = 7(x - 1)!
x * (x - 1)! = 7 * (x - 1)!
x= 7
b) x! - 120 = 0
x! = 120
x= 5
c) x(x - 1)! = x!
x! = x!
Die Gleichung ist erfüllt für jedes natürliche x.
d) x! = 3x!
keine Lösung wegen
0! = 1
7) 7 Personen wollen von Tag zu Tag ihre Sitzordnung auf 7 Stühlen ändern,
beginnend mit dem 01.01.1980.
An welchem Tage muss sich spätestens eine bereits vorher dagewesene Sitzordnung
wiederholen?
Dabei sollen zwei Sitzordnungen A und B als verschieden gelten, wenn bei A
mindestens eine Person auf einem
anderen Platz sitzt als bei B.
P7 = 7!
P7 = 5040
Nach 5040 Tagen, also am 19.10.1993 wiederholt sich die Sitzordnung.
Variationen und Kombinationen
a b c und a c b sind Teilmengen von a b c d e f
Jede geordnete Teilmenge ist eine Variation.
a b c und a c b sind zwei
Variationen von a b c d e f
Jede Teilmenge ist eine Kombination.
a b c und a c b sind eine
Kombination von a b c d e f
n Elemente zur k-ten Klasse
Variation:
k
Vn = n! / (n - k)!
k= verschiedene Elemente
n= Gesamtzahl der Elemente
vorheriges Beispiel:
Anzahl der Sitzplätze
Anzahl der Personen
Möglichkeiten
8
8
8
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
V8
= 8! / (8 - 8)!
7
8
7
8! / 1! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 40320
V8
= 8! / (8 - 7)!
6
8
6
8! / 2! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 20160
V8
= 8! / (8 - 6)!
8
5
8! / 3! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720
8
4
8! / 4! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680
8
3
8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336
8
2
8! / 6! = 8 * 7 = 56
1
8
1
8! / 7! = 8 V8
= 8! / (8 - 1)!
29) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Vergabe von Gold-, Silber- und
Bronzemedaille gibt es bei der Teilnahme von 6 Läuferinnen?
3
V6 = 6! / (6 - 3)! = 120
123, 124, 125, 126,
132, 134, 135, 136, 142, 143,
145, 146, 152, 153, 154, 156, 162, 163, 164, 165,
213, 214,
215, 216, 231, 234, 235, 236,
241, 243, 245, 246, 251, 253, 254, 256, 261, 263, 264, 265,
312, 314, 315, 316,
321, 324, 325, 326, 341, 342,
345, 346, 351, 352, 354, 356, 361, 362, 364, 365, 412, 413, 415, 416, 421, 423,
425, 426, 431, 432, 435, 436, 451, 452, 453, 456, 461, 462, 463, 465, 512, 513,
514, 516, 521, 523, 524, 526,
531, 532, 534, 536, 541, 542, 543, 546, 561, 562, 563, 564, 612, 613, 614, 615,
621, 623, 624, 625, 631, 632,
634, 635, 641, 642, 643, 645, 651, 652, 653, 654
Ermitteln Sie auch
2
V26 = 26 * 25 = 650
15. Beweis durch Vollständige
Induktion
Beweis
k
Vn = n! / (n - k)!
n wird bei diesem Beweis als fest angenommen.
1.Induktionsanfang:
1
Vn = n! / (n - 1)! = n * (n -
1)! / (n - 1)! = n
2. Induktionsschritt:
Induktionsvorrausetzung:
k-1
Vn = n! / (n - k)! = n!
/ (n - (k - 1)!)
k-1
Vn = n! / (n - k + 1)!
Induktionsbehauptung:
k
Vn = n! / (n - k)!
Induktionsbeweis:
k
k-1
Vn = Vn
* (n - k + 1)
k
Vn = (n - k + 1) * n! / (n - k
+ 1)!
k
Vn = (n - k + 1) * n! / [(n - k
+ 1) * (n - k)!]
k
Vn = n! / (n - k)!
30) Wie viele Wörter aus 3, 4 und 5 Buchstaben des Wortes Salbe kann man bilden?
Dabei soll sich in keinem Wort ein Buchstabe wiederholen.
3
V5 = 5! / (5 - 3)! = 60
4
V5 = 5! / (5 - 4)! = 120
5
V5 = 5! / (5 - 5)! = 120
Kombination:
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
3
C6
<
V6
k= 3 verschiedene Elemente
n= 6 Gesamtzahl der Elemente
3
C6 = 6! / [(6 - 3)! * 3!] = 20
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356, 456
31) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, in der Figur
: : : vier Punkte anzukreuzen?
Überprüfen Sie die errechnete Anzahl durch Aufzeichnen aller Möglichkeiten!
4
C6 = 6! / [(6 - 4)! * 4!] = 15
1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356,
2456, 3456,
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
= n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1)) * (n - k)!
(n - k)! * k!
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
= n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1))
k!
Beispiele:
4
C9 = 9 * 8 * 7 * 6
4!
4
C9 = 126
Lotterie 6 aus 49 ist eine Kombination
6
C49 = 49! / [(49 - 6)! * 6!]
6
C49 = 13983816
k
Ermitteln Sie Cn
für n = 1; 2; 3; 4; 5 und 1 ≤
k ≤ n!
1
C1 = 1
1
C2 = 2
2
C2 = 1
1
C3 = 3
2
C3 = 3
3
C3 = 1
1
C4 = 4
2
C4 = 6
3
C4 = 4
4
C4 = 1
1
C5 =
5
2
C5 =
10
3
C5 =
10
4
C5 =
5
5
C5 =
1
Binomialkoeffizient
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b
+ 10a3b2 +
10a2b3 +
5ab4
+ 1b5
Koeffizient = Faktor vor einem Term
k
Cn ist der Koeffizient des (k + 1)-ten
Summanden in der Summe von (a + b)n.
33) Bestätigen Sie diese Aussage, indem Sie
3
C5
und
4
C5
nach der Formel
k
Cn = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1))
k!
4
C9 = 9 * 8 * 7 * 6
4!
errechnen!
3
C5 = 5 * 4 * 3
3!
3
C5 = 10
4
C5 = 5 * 4
4!
4
C5 = 5
Für die Binomialkoeffizienten wird auch noch die Symbolik
n
( k ) verwendet (lies: n über k).
k n-k
Cn =
Cn
k n+k
k+1
Cn +
Cn = Cn+1
Beweis
Behauptung:
k n+k
k+1
Cn +
Cn = Cn+1
n! / [(n - k)! * k!] +
n! / [(n - (k + 1))! * (k + 1)!] =
(n + 1)! / [(n + 1 - (k + 1))! * (k +
1)!]
Beweis:
n! / [(n - k)! * k!] +
n! / [(n - (k + 1))! * (k + 1)!]
n! / [(n - k) * (n - k - 1)! * k!] +
n! / [(n - k -1))! * (k + 1) * k!]
//Umformung entsprechend
(n + 1)! = (n + 1) * n!
n! = n * (n - 1)! (n - 1)! = (n - 1) * (n - 1 - 1)!
n! * (k + 1) + n! * (n - k)
//Hauptnenner
(n - k) * (n - k - 1)! * k! * (k + 1)
n! * (k + 1 - k + n)
(n - k)! * (k + 1)!
n! * (n + 1)
(n - k)! * (k + 1)!
n! * (n + 1)
(n - k + 1 - 1)! * (k + 1)!
(n +
1)!
(n + 1 - (k + 1))! * (k + 1)!
34) Zeigen Sie, dass die Gültigkeit von
k n-k
Cn =
Cn
unmittelbar aus
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
folgt!
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [(n - (n - k))! * (n - k)!]
//für k = (n - k)
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [(n - n + k))! * (n - k)!]
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [ k! * (n - k)!]
27) Betrachtet werden die Kombinationen der 8 Elemente a, b, c, e, f, g, i, k
zur 3. Klasse.
Zu berechnen ist
a) die Anzahl aller dieser Kombinationen;
3
C8 = 56
b) die Anzahl derjenigen unter diesen Kombinationen, die keinen Vokal enthalten;
Vokal = a, e, i, o, u ergibt b, c, f, g, k
3
C5 = 10
c) die Anzahl derjenigen unter diesen Kombinationen, die den Buchstaben e
enthalten.
zunächst wie bei b) diejenigen welche e nicht enthalten
3
C7 = 35
danach
3
3
C8 -
C7 = 56 - 35 = 21
1) Welche der Variationen zur 3. Klasse aus den Buchstaben d, e, i, n ergeben
ein in unserer Umgangssprache
vorhandenes Wort?
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V4 = 4! / (4 - 3)!
3
V4 = 24
123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324,
341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432
d e i
d e n
d i e
d i n
d n e
d n i
e d i
e d n
e i d
e i n
e n d
e n i
i d e
i d n
i e d
i e n
i n d
i n e
n d e
n d i
n e d
n e i
n i d
n i e
2) Berechnen Sie
a)
4
V7 = 840
b)
3
V10 = 10! / (10 - 3)! = 720
c)
4
V9 = 9! / (9 - 4)! = 3024
d)
2
V12 = 12! / (12 - 2)! = 132
3) Schreiben Sie als möglichst einfache Terme:
a)
2
Vn = n! / (n - 2)!
n! / (n - 2)! = n * (n - 1)! / (n -2)! = n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 2)! = n *
(n - 1)
b)
n-1
Vn = n! / (n - (n - 1))! = n! / 1! =
n!
Probe:
5
V6 = 6! / 1! = 6!
c)
n-2
Vn = n! / (n - (n - 2))! = n! / 2!
= n! / 2
d)
n
Vn+1 = (n + 1)! / ((n + 1) - n)! =
(n + 1)! / 1! = (n + 1)!
4) Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen
a) von 9 Elementen zur 3. Klasse
3
C9 = 9! / [(9 - 3)! * 3!] = 9 * 8 *
7 / 6 = 84
123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 145, 146, 147,
148, 149, 156, 157, 158,
159, 167, 168, 169, 178, 179, 189, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 245, 246, 247,
248, 249, 256, 257, 258,
259, 267, 268, 269, 278, 279, 289, 345, 346, 347, 348, 349, 356, 357, 358, 359,
367, 368, 369, 378, 379,
389, 456, 457, 458, 459, 467, 468, 469, 478, 479, 489, 567, 568, 569, 578, 579,
589, 678, 679, 689, 789
b) von 7 Elementen zur 4. Klasse
4
C7 = 7! / [(7 - 4)! * 4!] = 7 * 6 *
5 * 4 / 24 = 35
1234, 1235, 1236, 1237, 1245, 1246, 1247, 1256, 1257, 1267, 1345, 1346, 1347,
1356, 1357, 1367, 1456,
1457, 1467, 1567, 2345, 2346, 2347, 2356, 2357, 2367, 2456, 2457, 2467, 2567,
3456, 3457, 3467, 3567,
4567
c) von 12 Elementen zur 8. Klasse
8
C12 = 12! / [(12 - 8)! * 8!] = 12 *
11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 / (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) =
8
C12 = 12! / [(12 - 8)! * 8!] = 11 *
10 * 9 / (2 * 1) = 495
5) Wie viele Kombinationen der Elemente a, b, c, d, e, f, g zur 5. Klasse gibt
es? Welche
Kombination steht bei lexikographischer Anordnung an 5., 10., 15., und 20.
Stelle?
5
C7 = 7! / [(7 - 5)! * 5!] = 7 * 6 *
5 * 4 * 3 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 21
12345, 12346, 12347, 12356,
12357,
12367, 12456, 12457, 12467, 12567,
13456, 13457, 13467, 13567, 14567,
23456, 23457, 23467, 23567, 24567,
34567
5. Stelle a b c e g
10. Stelle a b e f g
15. Stelle a d e f g
20. Stelle b d e f g
6) Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten!
a)
7
2
2
C7 = 7 * 6 / 2 = 21
b)
10
3
3
C10 = 10 * 9 * 8 / 3! = 120
c)
30
1
1
C30 = 30 / 1! = 30
d)
8
8
8
C8 = 8! / 8! = 1
e)
12
10
10
C12 = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 *
5 * 4 * 3 / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) =
10
C12 = 12 * 11 / (2 * 1) = 66
f)
13
0
0
C13 = 13! / [(13 - 0)!
* 0!] =
0
C13 = 13! / [(13 - 0)!
* 1] = 1
7) Berechnen Sie möglichst vorteilhaft die folgenden Summen und Differenzen von
Binomialkoeffizienten!
a)
3
C9
+
4
C9
= (9 * 8 * 7 / 3!) + (9 * 8 * 7 * 6 / 4!)
= (9 * 8 * 7 / 3!) + (9 * 8 * 7 * 6 / 4 * 3!)
= (9 * 8 * 7 / 6) + (9 * 2 * 7 * 6 / 6)
= (3 * 4 * 7) + (9 * 2 * 7) = 84 + 126 = 210
b)
14
C16
+
13
C16
14
C16
= n! / [(n - k)! * k!]
14
C16
= 16! / [(16 - 14)! * 14!] =
14
C16
= 16! / [2 * 14!] =
13
C16
= n! / [(n - k)! * k!]
13
C16
= 16! / [(16 - 13)! * 13!] =
14
C16
= 16! / [3! * 13!] =
16! / [2 * 14!] +
16! / [6 * 13!] =
16! / [2 * 14 * 13!] +
16! / [6 * 13!] =
6 * 16! /
[2 * 6 * 14 * 13!] + 2 * 14 * 16! /
[2 * 6 * 14 * 13!] =
6 * 16! + 28 * 16! / (2 * 6 * 14 * 13!) =
34 * 16! / (2 * 6 * 14 * 13!) =
17 * 16! / (6 * 14 * 13!) =
17! / (6 * 14!) =
17 * 16 * 15 * 14! / (6 * 14!) =
17 * 16 * 15 / 6 =
17 * 8 * 15 / 3 =
17 * 8 * 5 = 680
c)
12
C15
+
12
C14
12
C15
= n! / [(n - k)! * k!]
12
C15
= 15! / [(15 - 12)! * 12!]
12
C14
= 14! / [(14 - 12)! * 12!]
15! / [3! * 12!] + 14! / [2! *
12!] =
15! / [6 * 12!] + 14! / [2 *
12!] =
15! / [6 * 12!] + 3 * 14! / [6 *
12!] =
15 * 14! / [6 * 12!] + 3 * 14! / [6 *
12!] =
18 * 14! / [6 * 12!] =
18 * 14 * 13 * 12! / [6 * 12!] =
3 * 14 * 13 = 546
d)
8
C12
-
8
C11
8
C12
= 12! / [(12 - 8)! * 8!]
8
C11
= 11! / [(11 - 8)! * 8!]
12! / [(12 - 8)! * 8!] - 11! / [(11 - 8)! *
8!] =
12! / [24 * 8!] - 11! / [6 *
8!] =
12! / [24 * 8!] - 4 * 11! / [24 *
8!] =
12 * 11! / [24 * 8!] - 4 * 11! / [24 *
8!] =
8 * 11! / [24 * 8!] =
11! / [3 * 8!] =
11 * 10 * 9 * 8! / [3 * 8!] =
11 * 10 * 9 / 3 =
11 * 10 * 3 = 330
8a) Wie viele Würfe, bei denen die einzelnen Würfel unterschiedliche Augenzahlen
zeigen, sind bei zwei Würfeln möglich?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C6 = 6 * 5 / 2 = 15
12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56
b) Wie viele Würfe sind überhaupt beim Werfen mit zwei Würfeln möglich?
Kombination mit Wiederholung
k
Cn = (n + k - 1)! / [(n - 1)! * k!]
2
C6 = (6 + 2 - 1)! / [(6 - 1)! * 2!]
2
C6 = (7)! / [(5)! * 2!]
2
C6 = 5040 / 240 = 21
11, 12, 13, 14, 15, 16,
22, 23, 24, 25, 26,
33, 34, 35, 36,
44, 45, 46,
55, 56,
66
9) Beim "Tele-Lotto 5 aus 35" sind 5 Zahlen von insgesamt 35 auszuwählen.
Ermitteln Sie,
wie viele verschiedene Tipps jeweils abgegeben werden müssen, um mit Sicherheit
im ersten
Rang, im zweiten Rang oder im dritten Rang zu gewinnen!
erster Rang = 5 richtige Zahlen
5
C35 = 35! / [(35 - 5)! * 5!]
35! / [(35 - 5)! * 5!] = 35! / [30! * 5!] = 324632
zweiter Rang = 4 richtige Zahlen
4
C35 = 35! / [(35 - 4)! * 4!]
35! / [(35 - 4)! * 4!] = 35! / [31! * 4!] = 52360
dritter Rang = 3 richtige Zahlen
3
C35 = 35! / [(35 - 3)! * 3!]
35! / [(35 - 3)! * 3!] = 35! / [32! * 3!] = 6545
Einfache Anwendungen zur Kombinatorik
28) Am Stundenplanbrett einer Schule mit insgesamt 32 Lehrkräften soll jede
Lehrkraft durch ein Plättchen
gekennzeichnet werden, das entweder einfarbig oder zweigeteilt und zweifarbig
oder dreigeteilt und dreifarbig ist.
Kommt man mit fünf verschiedenen Farben aus?
a1 + a2 + a3
≥ 32
einfarbig + zweifarbig + dreifarbig
≥ 32
einfarbige Plättchen
bei 5 Farben gibt es 5 einfarbige Plättchen
a1= 5
zweifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau = blau-rot
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C5 = 5! / [(5 - 2)! * 2!]
2
C5 = 5! / [3! * 2!]
a2 = 10
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45
oder z.B. rot-blau ≠ blau-rot
k
Vn = n! / (n - k)!
2
V5 = 5! / (5 - 2)!
2
V5 = 5! / 3!
= 20
12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35,
41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54
dreifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 5! / [2! * 3!]
a3 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
oder z.B. rot-blau-gelb ≠ blau-rot-gelb
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V5 = 5! / (5 - 3)!
3
V5 = 5! / 2! = 60
123, 124, 125, 132, 134, 135, 142, 143, 145, 152, 153, 154, 213, 214, 215, 231,
234, 235, 241, 243, 245, 251,
253, 254, 312, 314, 315, 321, 324, 325, 341, 342, 345, 351, 352, 354, 412, 413,
415, 421, 423, 425, 431, 432,
435, 451, 452, 453, 512, 513, 514, 521, 523, 524, 531, 532, 534, 541, 542, 543
Ohne Benutzung der Reihenfolge reichen 5 verschiedene Farben nicht aus.
35a) Begründen Sie , dass man in Aufgabe 28 mit 6 verschiedenen Farben (unter
sonst gleichen Bedingungen) auskommt,
ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen!
einfarbige Plättchen
bei 6 Farben gibt es 6 einfarbige Plättchen
a1= 6
zweifarbige Plättchen
z.B. rot-blau = blau-rot
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C6 = 6! / [(6 - 2)! * 2!]
2
C6 = 6! / [4! * 2!]
a2 = 720 / 48
a2 = 15
dreifarbige Plättchen
z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C6 = 6! / [(6 - 3)! * 3!]
3
C6 = 6! / [3! * 3!]
a3 = 20
b) Reichen 5 Farben auch, falls man zwar die Reihenfolge nicht
berücksichtigt, jedoch auch dreigeteilte Plättchen mit lediglich
zwei Farben zulässt, also etwa mit "blau-rot-blau" gewisse Wiederholungen von
Farben gestattet?
dreifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 5! / [2! * 3!]
a3 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
zusätzlich:
121, 131, 141, 151,
212, 232, 242, 252,
313, 323, 343, 353,
414, 424, 434, 454,
515, 525, 535, 545
29) Es sind 9 Punkte einer Ebene gegeben, von denen niemals 3 auf ein und
derselben Geraden
liegen. Wie viele Geraden gibt es, die 2 der 9 Punkte enthalten?
2
C9 = 9! / [(9 - 2)! * 2!]
2
C9 = 9! / [7! * 2!] = 36
36) Überlegen Sie, wie sich die in Aufgabe 29 ermittelte Anzahl reduziert, wenn
von den 9 Punkten
genau 3 Punkte auf ein und derselben Geraden liegen!
ABC auf einer Geraden
AB, AC, BC
3 Geraden weniger
30) Im Zugmeldeverkehr der Deutschen Reichsbahn, im Schiffs- und Amateurfunk
erfolgt die Nachrichtenübermittlung
mit Hilfe Morsezeichen. Die von Morse benutzten Zeichen setzen sich aus Punkten
und Strichen zusammen, die kurzen
beziehungsweise langen Stromimpulsen entsprechen. Wie viele verschiedene
Buchstaben lassen sich als Folgen von jeweils
höchstens vier Impulsen darstellen?
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
ages = a1
+ a2 + a3
+ a4
1
V2 = 21 = 2
1, 2
2
V2 = 22 = 4
11, 12, 21, 22
3
V2 = 23 = 8
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
4
V2 = 24 = 16
1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211,
2212, 2221, 2222
ages = 30
30 verschiedene Buchstaben (also mehr, als das Alphabet enthält) lassen sich als
Folgen von jeweils höchstens
4 Impulsen darstellen.
1) Aus einer Produktionsserie wird bei der Qualitätskontrolle eine bestimmte
Anzahl von Erzeugnissen ausgewählt
und untersucht. Das Ergebnis der Untersuchung dieser einzelnen Stücke gibt
Aufschluss über die Qualität der gesamten
Serie. Wie viele verschiedene Stichprobenmöglichkeiten gibt es bei einer
Produktionsserie von 100 Stück, wenn bei
der Stichprobe 5 Einzelstücke untersucht werden sollen?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
5
C100 = 100! / [(100 - 5)! * 5!]
5
C100 = 100! / [95! * 5!]
5
C100 = 100 * 99 * 98 * 97 * 96 * 95! / [95! *
120]
5
C100 = 100 * 99 * 98 * 97 * 96 /
120
5
C100 = 10 * 99 * 98 * 97 * 8 =
75287520
2) Bei der Blindenschrift nach Braille besteht die Grundform aus sechs zu einem
Rechteck angeordneten
Punkten. Jeder Buchstabe wird durch 1 bis 6 Punkte gebildet, von denen jeder an
eine Stelle diese Schemas
gesetzt wird (eingedrückt oder erhaben hervorstehend).
Wie viele verschiedene Zeichen lassen sich auf diese Weise bilden?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
1
C6 = 6! / [(6 - 1)! * 1!] = 6
2
C6 = 6! / [(6 - 2)! * 2!] = 15
3
C6 =20
4
C6 = 15
5
C6 = 6
12345, 12346, 12356, 12456, 13456, 23456
6
C6 = 1
Es lassen sich 63 verschiedene Zeichen auf diese Weise bilden.
3) Auf wie viele verschiedene Arten kann man ein ebenes konvexes Sechseck durch
Diagonalen,
die einander nicht schneiden, in Dreiecke zerlegen?
Definition der Catalan-Zahl
Die n-te Catalan-Zahl Cn ist z.B.
die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ein konvexes
(n+2)-Eck
durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen (Triangulation).
Die ersten Catalan-Zahlen sind 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862
n
Cn = 1 / (n + 1) *
C2n
C4= 1 / 5 *
n! / [(n - k)! * k!]
C4= 1 / 5 * 8! / [4! * 4!]
C4 = 14
Es gibt 14 Möglichkeiten ein konvexes 6-Eck in Diagonalen zu zerteilen.
C5= 1 / 6 *
n! / [(n - k)! * k!]
C5= 1 / 6 * 10! / [5! * 5!]
C5 =42
Es gibt 42 Möglichkeiten ein konvexes 7-Eck in Diagonalen zu zerteilen.
4) In wie vielen Punkten höchstens können 5, 8, n Geraden einander schneiden?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
Cn = n! / [(n - 2)! * 2!]
2 Geraden
2
C2 = 2! / [(2 - 2)! * 2!]
2
C2 = 1
4 Geraden
2
C4 = 6
5 Geraden
2
C5 = 10
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45
5a) Wie viele Anschlüsse sind in einem Fernsprechnetz mit fünfstelligen
Rufnummern möglich, wenn man die
mit 0 und 1 beginnenden Rufnummern für Sonderanschlüsse reserviert und hier
nicht berücksichtigt?
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
5
V10 = 105
5
V10 = 100000
0 am Anfang = 10000
1 am Anfang = 10000
2 am Anfang = 10000
3 am Anfang = 10000
4 am Anfang = 10000
5 am Anfang = 10000
6 am Anfang = 10000
7 am Anfang = 10000
8 am Anfang = 10000
9 am Anfang = 10000
100000 - 20000 = 80000
5b) Wie viele Verbindungen lassen sich dann in diesem Netz herstellen (ohne
Berücksichtigung der Sonderanschlüsse)?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C80000 = 80000! / [79998! * 2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 * 79998! / [79998! *
2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 * 79998! / [79998! *
2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 / 2 =
3.199.960.000
6) Die polizeilichen Kennzeichen für Kraftfahrzeuge enthalten in jedem Bezirk
der DDR außer einem diesem Bezirk
zugewiesenen Kennbuchstaben entweder einen weiteren Buchstaben und eine
Vierergruppe der Ziffern 0 bis 9 oder
zwei weitere Buchstaben und eine Dreiergruppe solcher Ziffern.
Wie viele verschiedene Kennzeichen können in jedem dieser Fälle zu einem
einzigen Kennbuchstaben vergeben werden?
weiter Buchstabe + Vierergruppe der Ziffern
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
4
V10 = 104
4
V10 = 10000
26 * 10000 = 260.000
zwei weitere Buchstaben + Dreiergruppe der Ziffern
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
3
V10 = 103
3
V10 = 1000
Variation mit Wiederholung
2
V26 = 262
2
V26 = 676
676 * 1000 = 676.000
7) Beim "Sportfest-Toto 6 aus 49" sind von 49 Zahlen (Sportarten) 6 beliebige
Zahlen anzukreuzen.
a) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man einen solchen Tippzettel
ausfüllen, das heißt, wie viele
Tipps muss man abgeben, um mit Sicherheit einen "Sechser" darunter zu haben?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
6
C49 = 49! / [(49 - 6)! * 6!]
6
C49 = 13.983.816
b)* Wie viele Tipps genügen, um mit Sicherheit einen "Fünfer mit Zusatzzahl" zu
haben?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
6
C48 = 48! / [(48 - 6)! * 6!]
6
C48 = 12.271.512
3) Gegeben sei die Folge ak mit ak = 1 / [(n + 2) * (n + 3)] mit n größer oder
gleich 1.
Diese Folge und ihre Partialsummenfolge an sind auf Monotonie zu untersuchen.
Außerdem
ist eine explizite Zuordnungsvorschrift für die Folge an gesucht.
k 1
2 3
4 5
6 7
8
ak 1/12 1/20
1/30 1/42
1/56 1/72
1/90 1/110
an 1/12 2/15
1/6 4/21
5/24 2/9
7/30 8/33
Die Folge ak fällt streng monoton.
Die Folge an wächst streng monoton, weil alle Glieder von ak positiv sind.
ak = 1 / [(k + 2) * (k + 3)]
an = n / (3n + 9)
21. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = n / (3n + 9)
k=1
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1 / [(1 + 2) * (1 + 3)] = 1 /
(3 * 1 + 9)
1/12 = 1/12
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = n / (3n + 9)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = (n + 1) / (3n + 12)
k=1
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] + 1 / [(n + 1 + 2) * (n + 1 + 3)] = n / (3n + 9) + 1 / [(n + 1 + 2) * (n + 1
+ 3)]
k=1
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] + 1 / [(n + 3) * (n + 4)] = n / (3n + 9) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
k=1
rechte Seite
n / (3n + 9) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
n / 3(n + 3) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
n * (n + 4) / 3(n + 3) * (n + 4) + 1 * 3 / 3(n + 3) * (n + 4)
n² + 4n + 3 / 3(n + 3) * (n + 4)
//Faktorisierung
(n + 1) * (n + 3) / 3(n + 3) * (n + 4)
(n + 1) / [3 * (n + 4)]
32) Das Bild A20 zeigt eine Rotationskapselpumpe im Schnitt. An den Saugstutzen S
wird der Rezipient mit einem
Volumen von 3000 cm³ angeschlossen. Durch den exzentrischen Vollzylinder Z
können je Drehung 200cm ³ Luft
zum Druckstutzen D befördert werden.
Rezipient = Glasglocke mit Ansatzrohr für eine Vakuumpumpe zum Herstellen eines
luftleeren Raumes (Physik)
a) Wie groß ist der Druck im Rezipienten nach 5 und nach 10 Umdrehungen, wenn
der ursprüngliche Druck 1000 mbar
beträgt?
Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ist das Produkt von Druck p und zugehörigem
Volumen V konstant.
p1 * 3200 = p0 * 3000
p1 = p0 * 3000/3200
Das Verhältnis aus V1 = 3000 und V2 = 3200 gilt für
jede Umdrehung!
pk+1= pk * 15/16
pn = 1000 * (15/16)n
p5 = 1000 * (15/16)5
p5 = 724 mbar
p10 = 1000 * (15/16)10
p10 = 525 mbar
b) Wie viel Minuten muss die Pumpe bei 50 Umdrehungen je Minute laufen, um einen
Druck von 10-6
mbar
zu erreichen?
pn = 1000 * (15/16)n
10-6 = 1000 * (15/16)n
n * lg(15/16) = lg(10-6 / 1000)
n = -9/-0,0280287
n = 321,10
321,10 Umdrehungen geteilt durch 50 Umdrehungen = 6,42 Minuten
33) Für die Fertigung eines Werkstücks sind unter anderen folgende Arbeitsgänge
auszuführen:
1 Bohren, Durchmesser 6 mm
2 Senken
3 Bohren, Durchmesser 2,4 mm
4 Gewindeschneiden, M3
5 Fräsen.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen dieser Arbeitsgänge sind bei der Entwicklung
der Technologie in
Betracht zu ziehen, wenn als Einschränkung nur zu beachten ist, dass 2 erst nach
1 und 4 erst nach 3
erfolgen kann?
Senken
Um senkrecht zur Drehachse liegende Profil- oder Kegelflächen herzustellen, wird
das Senken angewendet.
Der Senker (ein mehrschneidiges Werkzeug) erzeugt dabei besonders geformte
Teilflächen. Im Unterschied
zum Bohren wird aber nicht ins Volle gearbeitet, sondern in bereits vorhandene
Löcher.
ohne Beschränkung
P5 = 5! = 120
1 vor 2
12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254, 13425, 13452, 13524,
13542, 14235, 14253, 14325, 14352,
14523, 14532, 15234, 15243, 15324, 15342, 15423, 15432, 31245, 31254, 31425,
31452, 31524, 31542, 34125, 34152,
34512, 35124, 35142, 35412, 41235, 41253, 41325, 41352, 41523, 41532, 43125,
43152, 43512, 45123, 45132, 45312,
51234, 51243, 51324, 51342, 51423, 51432, 53124, 53142, 53412, 54123, 54132,
54312
2 vor 1
21345, 21354, 21435, 21453, 21534, 21543, 23145, 23154, 23415, 23451, 23514,
23541, 24135, 24153, 24315, 24351,
24513, 24531, 25134, 25143, 25314, 25341, 25413, 25431, 32145, 32154, 32415,
32451, 32514, 32541, 34215, 34251,
34521, 35214, 35241, 35421, 42135, 42153, 42315, 42351, 42513, 42531, 43215,
43251, 43521, 45213, 45231, 45321,
52134, 52143, 52314, 52341, 52413, 52431, 53214, 53241, 53421, 54213, 54231,
54321
Da die Arbeitsgänge 1 und 2 als Elemente der Permutationen gleichberechtigt
sind, gibt es unter den 120 Permutationen ebenso
viele, bei denen 1 vor 2 steht, wie solche, bei denen 2 vor 1 steht. So bleiben
bei Berücksichtigung der ersten Einschränkung nur
60 Permutationen übrig. Unter diesen gibt es wieder ebenso viele, bei denen 3
vor 4 steht, wie solche, bei denen 4 vor 3 steht.
Es gibt also nur 30 Permutationen, die beiden einschränkenden Bedingungen
genügen.
1) Betrachtet werden die Flogen
ak= k² / k!
ak= 2k / k!
ak= 4k / k!.
a) Berechnen Sie die ersten sechs Glieder dieser Folgen!
ak= k² / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 1
2 9/6
16/24 25/120 36/720
ak= 2k / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 2
2 8/6
16/24 32/120
64/720
ak= 4k / k!.
k 1
2 3
4 5 6
ak 4
8 32/3 32/3
1024/120 4096/720
b) Machen Sie Aussagen über die Monotonie dieser Folgen, und beweisen Sie diese
Aussagen!
ak= k² / k!
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
(k + 1)² / (k + 1)! - k² / k! =
(k + 1)² / [(k + 1) * k!] - k² * (k + 1) /
[(k + 1) * k!] =
(k + 1)² - k² * (k + 1) / [(k + 1) * k!] =
k² + 2k + 1 - (k³ + k²) / [(k + 1) * k!] =
k² + 2k + 1 - k³ - k² / [(k + 1) * k!] =
- k³ + 2k + 1 / [(k + 1) * k!]
a2 - a1 = positiv
a3 - a2 = negativ
Die Folge ist nicht monoton. Die Folge wächst bis k=2 und fällt ab k > 2.
ak= 2k / k!
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
2k+1 / (k + 1)! - 2k / k! =
2k+1 - 2k * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
Für alle natürlichen k gilt:
2k+1 - 2k * (k + 1) ≥ 0. Deshalb ist die Folge
monoton wachsend.
ak= 4k / k!.
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
4k+1 / (k + 1)! - 4k / k! =
4k+1 - 4k * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
Für alle natürlichen k gilt:
nur der Zähler
für k = 1
16 - 4 * 2 = 8
für k = 2
64 - 16 * 3 = 16
für k = 3
256 - 64 * 4 = 0
für k = 4
1024 - 256 * 5 = -256
für k = 5
4096 - 1024 * 6 = -2048
Die Folge ist nicht monoton. Die Folge wächst bis k= 4 und fällt ab k > 4.
Wie steht es mit der Monotonie der Folge 10k / k! und 100k
/ k! ?
10k / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 10 50
500/3 1250/3 2500/3
12500/9
ak+1 - ak = 0
10k+1 / (k + 1)! - 10k / k! = 0
10k+1 / (k + 1) * k! - 10k * (k + 1) / [(k + 1) * k!] = 0
10k+1 - 10k * (k + 1)/ [k + 1) * k!] = 0 / Nenner
wird vernachlässigt
10k+1 - 10k * (k + 1) = 0
10k+1 = 10k * (k + 1) / 10k
10 = k + 1
k = 9
a10 - a9 = 0
a8 = 2480,15
a9 = 2755,73
a10 = 2755,73
a11 = 2505,21
Die Folge ist nicht monoton. Sie wächst bis k = 10 und fällt ab k > 10.
100k / k!
k 1
2 3
ak 100 5000
50000/3
ak+1 - ak = 0
100k+1 / (k + 1)! - 100k / k! = 0
100k+1 / (k + 1) * k! - 100k * (k + 1) / [(k + 1) * k!] =
0
100k+1 - 100k * (k + 1)/ [k + 1) * k!] = 0 / Nenner
wird vernachlässigt
100k+1 - 100k * (k + 1) = 0
100k+1 = 100k * (k + 1) / 100k
100 = k + 1
k = 99
a100 - a99 = 0
a99 = 1071510288125470000000000000000000000000000,00
a100 = 1071510288125470000000000000000000000000000,00
a101 = 1060901275371750000000000000000000000000000,00
Die Folge ist nicht monoton. Sie wächst bis k = 100 und fällt ab k > 100.
Betrachten Sie auch kk / k! !
ak+1 - ak
(k + 1)k+1 / (k + 1)! - kk / k!
(k + 1)k+1 - kk * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
(k + 1)k+1 - kk * (k + 1)
(k + 1)k+1 - kk+1 - kk
Die Folge ist streng monoton wachsend.
2) Untersuchen Sie, für welche natürlichen n die folgenden Ungleichungen gelten,
und beweisen Sie Ihre Aussagen!
n
C2n
≥ 2n
(2n)! / [(2n - n)! * n!] ≥ 2n
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n
Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n.
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage
2/1 ≥ 2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n
dann gilt auch
(2n + 2)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n /
* 2
2 *
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n+1
2 * (n + 1) * (n + 1) / [2 * (n + 1) *
(n + 1)] *
2 *
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n+1
2 * (n + 1) * (n + 1) / [2 * (n + 1) *
(n + 1)] = 1
(n + 1) * (n + 1) * 2 (2n)! /
[(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
(2n + 2) * (n + 1) * (2n)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
(2n + 2) * (2n + 1) * (2n)! /
[(n
+ 1)! * (n + 1)!] ≥
(2n + 2) * (n
+ 1) * (2n)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
rot ist größer als gelb, gelb ist größer als grün (entsprechend
Induktionsvoraussetzung), damit ist rot größer als grün
(2n + 2)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
16. Beweis durch Vollständige
Induktion
n! < [(n + 1) / 2]n
Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt:
n! < [(n + 1) / 2]n
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 2 gilt die Aussage
2 < 1,5²
2 < 2,25
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n > 1 gelte
n! < [(n + 1) / 2]n
dann gilt auch
(n + 1)! <
[(n + 2) / 2]n+1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
n! < [(n + 1) / 2]n
/ * (n + 1)
n! * (n + 1) < [(n + 1) / 2]n *
(n + 1)
(n + 1)! < [(n + 1) / 2]n
* (n + 1)
(n + 1)! < [(n + 1) / 2]n *
2 * [(n + 1) / 2]1
(n + 1)! < 2 * [(n + 1) / 2]n+1 <
[(n + 2) / 2]n+1
es ist zu zeigen:
2 * [(n + 1) / 2]n+1 <
[(n + 2) / 2]n+1
2 * (n + 1)n+1 <
(n + 2)n+1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 <
(n + 2)n+1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 <
((n +1) + 1)n+1
Binomialkoeffizient (a + b)n
= an + n * an-1 * b + ... + bn
((n +1) + 1)n+1 = (n + 1)n+1 + (n + 1) * (n + 1)n
+ ... + 1
((n +1) + 1)n+1 = (n + 1)n+1 + (n + 1)n+1
+ ... + 1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 < (n +
1)n+1 + (n + 1)n+1 + ... + 1
q.e.d. quod erat demonstrandum
3) In einer Ebene mögen k Geraden so verlaufen, dass keine Gerade zu einer
anderen parallel ist
und es keinen Punkt der Ebene gibt, durch den mehr als zwei der Geraden gehen.
Es ist zu untersuchen,
in wie viele Teile die Ebene durch diese Geraden zerlegt wird.
a) Veranschaulichen Sie sich den Fall k = 3 durch eine Skizze!
b) Nehmen Sie eine vierte Gerade hinzu, und erläutern Sie, warum die Hinzunahme
einer (k + 1)-ten Geraden
zu k bereits vorhandenen die Anzahl der Ebenenteile um k + 1 erhöht.
rekursiv
ak+1= ak + (k + 1)
k 1
2 3
4 5
ak 2
4 7
11 16
Die (k + 1)-te Gerade schneidet k Geraden. Immer wenn die neue Gerade eine
vorhandene Gerade schneidet,
dann tritt sie in ein neues Gebiet der Ebene ein. Die Anzahl der Gebiete, die
von der neuen Geraden geteilt werden
ist k + 1, denn das erste Gebiet wird ja schon geteilt, bevor die neue Gerade
die erste vorhandene Gerade schneidet.
c) Ermitteln Sie eine Formel für die Anzahl der Ebenenteile bei k Geraden, und
beweisen Sie diese durch Vollständige Induktion!
explizit
ak= (k² + k + 2) / 2
17. Beweis durch Vollständige
Induktion
ak= (k² + k + 2) / 2
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für k = 1 gilt die Aussage (1 + 1 + 2) / 2 = 2
Eine Gerade teilt eine Ebene in 2 Gebiete.
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
ak= (k² + k + 2) / 2
Induktionsbehauptung:
Dann gilt für den Nachfolger von k, k + 1
ak+1= [(k² + k + 2) / 2] + (k + 1)
[(k + 1)² + (k + 1) + 2] / 2 = [(k² + k + 2) / 2] + (k + 1)
(k² + 2k + 1 + k + 1 + 2) / 2 = [(k² + k + 2) / 2] + 2 * (k + 1)
(k² + 3k + 4) / 2 = [k² + k + 2 + 2 * (k + 1)] / 2
(k² + 3k + 4) / 2 = (k² + k + 2 + 2k + 2) / 2
(k² + 3k + 4) / 2 = (k² + 3k + 4) / 2
4) Ein Walmdach (zwei Teilflächen sind gleichschenklige Dreiecke, zwei
Teilflächen sind gleichschenklige Trapeze) soll
mit Ziegeln gedeckt werden. Die unterste (längste) Schicht enthält an der
kürzeren Hausseite 35 Ziegel, an der längeren
65 Ziegel. Auf jeder Teilfläche werden es von Schicht zu Schicht zwei Ziegel
weniger.
Wie viele Ziegel werden für das Dachdecken mindestens benötigt, wenn mit 8 %
Abfall zu rechnen ist?
2 Dreiecke
ak= 35 - 2k
1= 35 - 2k
-34= - 2k
k= 17
17
Σ 35 - 2k = 324
k=0
für 2 Dreiecke = 324 + 324
2 Trapeze
ak= 65 - 2k
17
Σ 65 - 2k = 864
k=0
für 2 Trapeze = 864 + 864
gesamt = 2376 Ziegel
2376
≙ 92 %
x
≙ 100%
x= 2583 Ziegel
5) Rohre, Rundstähle und dergleichen werden häufig so verladen bzw. gestapelt,
dass in jeder
höheren Schicht die Rohre in den Lücken der darunterliegenden Schicht liegen.
a) Geben Sie an, wie viele Rohre ein Stapel höchstens haben kann, wenn in der
untersten Schicht
6 Rohre liegen!
-
- -
- - -
- - - -
- - - - -
- - - - - -
21 Rohre kann ein Stapel höchstens haben, wenn in der untersten Schicht 6 Rohre
liegen.
b) Mit wie vielen Schichten muss man beim Stapeln von 50 Rohren mindestens
rechnen, wenn
in der untersten Schicht nicht mehr als 10 Rohre liegen können? Wie hoch ist der
Stapel in diesem Fall?
ak= 10-k
1= 10 - k
-9 = - k
k = 9
9
Σ 10 - k = 55
k=0
zwei Stapel weniger
7
Σ 10 - k = 52
k=0
Mit 8 Schichten muss man rechnen.
-
-
-
-
-
-
-
-
------------------------------------
Im Schnitt der Rohre entstehen zwischen den Mittelpunkten gleichseitige
Dreiecke.
tan60°= x / d/2
x = √3 * d/2
zwischen den Rohren insgesamt = 7 * √3 * d/2
1. Schicht = d/2
8. Schicht = d/2
insgesamt = 7 * √3 * d/2 + 2 * d/2
c) Wie viele Rohre von 0,6 m Durchmesser und 5 m Länge können in dieser Weise
höchstens gestapelt werden,
wenn für die unterste Schicht eine rechteckige Fläche von 10 m Länge und 6 m
Breite zu Verfügung steht?
2 Stapel mit jeweils 10 Rohren in der untersten Schicht
9
Σ 10 - k = 55
k=0
+
9
Σ 10 - k = 55
k=0
gesamt = 110 Rohre
6) Bei der Lagerhaltung werden häufig Materialien unterschiedlicher
Rohstoffzusammensetzungen und
Abmessungen durch Farbmarkierungen gekennzeichnet. Bei Rohren soll jede Sorte
mit drei verschiedenfarbigen
Ringen am Rohrende markiert sein. Wie viele verschiedene Sorten kann man so mit
Hilfe von fünf Farben kennzeichnen?
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V5 = 5! / (5 -3)!
3
V5 = 5! / (5 -3)!
3
V5 =
60
123, 124, 125, 132, 134, 135, 142, 143, 145, 152, 153, 154, 213, 214, 215, 231,
234, 235, 241, 243, 245,
251, 253, 254, 312, 314, 315, 321, 324, 325, 341, 342, 345, 351, 352, 354, 412,
413, 415, 421, 423, 425,
431, 432, 435, 451, 452, 453, 512, 513, 514, 521, 523, 524, 531, 532, 534, 541,
542, 543
7) Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit drei unterscheidbaren Würfeln insgesamt
a) 6 Augen
b) 14 Augen zu werfen?
Für welche Augenzahl gibt es die größte Anzahl von Möglichkeiten?
insgesamt Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
3
V6 = 63
3
V6 =
216
Binomialkoeffizient
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1)3
=
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1)
*
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) *
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) =
x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 +
x^11 + x^10 +
x^9 + x^8 + x^7 + x^6 +
x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 +
x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 +
x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 =
(x^12 + 2x^11 + 3x^10 + 4x^9 + 5x^8 + 6x^7 + 5x^6 + 4x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 1x^2) *
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) =
x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 +
x^13 +
2x^17 + 2x^16 + 2x^15 +
2x^14 + 2x^13 + 2x^12
3x^16 + 3x^15 + 3x^14 + 3x^13 + 3x^12 + 3x^11
4x^15 + 4x^14 + 4x^13 + 4x^12 + 4x^11 + 4x^10
5x^14 + 5x^13 + 5x^12 + 5x^11 + 5x^10 + 5x^9
6x^13 + 6x^12 + 6x^11 + 6x^10 + 6x^9 + 6x^8
5x^12 + 5x^11 + 5x^10 + 5x^9 + 5x^8 + 5x^7
4x^11 + 4x^10 + 4x^9 + 4x^8 + 4x^7 + 4x^6
3x^10 + 3x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 3x^5
2x^9 + 2x^8 + 2x^7 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^4
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +
x^3
1x^18 +
3x^17 +
6x^16 +
10x^15 +
15x^14 +
21x^13 +
25x^12 +
27x^11 +
27x^10 +
25x^9 +
21x^8 +
15x^7 +
10x^6 +
6x^5 +
3x^4 +
1x^3
Augenzahl 18 = 1 Möglichkeit
Augenzahl 17 = 3 Möglichkeiten
Augenzahl 16 = 6 Möglichkeiten
Augenzahl 15 = 10 Möglichkeiten
Augenzahl 14 = 15 Möglichkeiten
Augenzahl 13 = 21 Möglichkeiten
Augenzahl 12 = 25 Möglichkeiten
Augenzahl 11 = 27 Möglichkeiten
Augenzahl 10 = 27 Möglichkeiten
Augenzahl 9 = 25 Möglichkeiten
Augenzahl 8 = 21 Möglichkeiten
Augenzahl 7 = 15 Möglichkeiten
Augenzahl 6 = 10 Möglichkeiten
Augenzahl 5 = 6 Möglichkeiten
Augenzahl 4 = 3 Möglichkeiten
Augenzahl 3 = 1 Möglichkeit
8) Zu einem Eishockeyturnier werden 20 Spieler eines Verbandes gemeldet.
a) Wie viele Möglichkeiten, die Rückennummern 1 bis 20 zu verteilen, gibt es,
wenn ein bestimmter Spieler
auf jeden Fall die Nummer 11 erhält und ein zweiter keinesfalls die Nummer 9
tragen soll?
4 Spieler, 4 Rückennummern ohne Beschränkung
k
Vn = n! / (n - k)!
4
V4 = 4! / (4 - 4)!
4
V4 =
24
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
3
V3 =
6
123,
132, 213, 231, 312, 321
erster Spieler soll nicht die Eins bekommen
6 / 3 = 2
6 - 2 = 4
4 Möglichkeiten gibt, es die Rückennummer bei 4 Spielern mit 4 Rückennummern zu
verteilen.
20 Spieler, 20 Rückennummern ohne Beschränkung
k
Vn = n! / (n - k)!
20
V20 = 20! / (20 - 20)!
20
V20 =
2,432902008 * 1018
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
19
V19 =
1,21 * 1017
ein Spieler soll nicht die Neun bekommen
1,21 * 1017
/ 19 = 6,402373706 * 1015
1,21 * 1017
-
6,402373706 * 1015 =
1,152427267 * 1017
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn außerdem ein dritter Spieler entweder 3
oder 7
bekommen soll?
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
Ein zweiter Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer (3 oder 7).
18
V18 =
6,40237373706 * 1015
ein Spieler soll nicht die Neun bekommen
6,40237373706 * 1015
/ 18 = 3,556874281 * 1014
6,40237373706 * 1015
-
3,556874281 * 1014
=
6,046686278 * 1015
6,046686278 * 1015 * 2 =
1,209337256 * 1016
9) Bei einem Schulsportfest haben sich vier Schüler (A,B,C,D = 1,2,3,4) für den
Endlauf über 100 m
qualifiziert. Nach den Vorlaufzeiten war für den Einlauf ins Ziel die
Reihenfolge (C,B,D,A = 3,2,4,1) zu
vermuten. Der tatsächliche Einlauf ergab aber sowohl einen anderen Platz für
jeden einzelnen Läufer als
auch sämtlich andere (geordnete) Paare direkt aufeinander folgender Läufer. Der
Sportlehrer hatte die
Reihenfolge (A,D,B,C = 1,4,2,3) vorausgesagt, doch stimmten auch hier nur zwei
Plätze mit dem
tatsächlichen Ergebnis überein. In welcher Reihenfolge kamen die Läufer ins
Ziel?
4
V4 = 24
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143,
2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241,
3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
1324, 1423, 1432, 2134, 2143,
2314, 2413, 4123, 4132, 4312,
sämtlich andere geordnete Paare direkt aufeinander folgender Läufer
32, 24, 41
2134, 2143,
2314, 4312,
keine Lösung
10) Neun Touristen übernachten in einer Berghütte. Wie viele Möglichkeiten der
Verteilung der Plätze
gibt es in folgenden Fällen?
Bei b) bis d)* sollen Fälle nicht unterschieden werden, in denen gleiche
Personengruppen beieinander bleiben,
jedoch unterschiedliche Zimmer belegen.
a) Es stehen ein Raum mit vier und ein Raum mit fünf Betten zur Verfügung.
5 werden ausgewählt, 4 ergänzen sich
z.B.
45789
2316
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
5
C9 = 9! / [(9 - 5)! * 5!]
5
C9 = 126
b) Es können zwei Räume mit je sechs Betten bezogen werden.
entweder 6 und 3 oder 5 und 4
6
C9 = 84
5
C9 = 126
126 + 84 = 210
Es gibt 210 Möglichkeiten bei zwei Räumen mit je sechs Betten.
c) Es können drei Räume mit je drei Betten genutzt werden.
3 von 9 und 3 von den noch übrigen 6
3
C9 = 84
3
C6 = 20
84 * 20 = 1680
Es gibt 1680 Möglichkeiten bei drei Räumen mit je drei Betten.
d)* Es stehen drei Räume mit je vier Betten zur Verfügung.
Aufgaben mit Stern bei der Nummer sind von erhöhtem Schwierigkeitsgrad.
4 Betten 4Betten
4Betten
3
3
3
4
4
1
4
3
2
3
C9 = 84
*
3
C6 = 20
= 1680
4
C9 =
126
*
4
C5 = 5
= 630
4
C9 =
126
*
3
C5 =
10
= 1260
1680 + 630 + 1260 = 3570 Möglichkeiten
11) In der näheren Umgebung eines Erholungsortes gibt es 7 oder 13 oder 22
verschiedene Wanderrouten.
Wie viele Farben benötigt man zur unterschiedlichen Kennzeichnung dieser Routen
unter folgenden Bedingungen?
a) Die Kennzeichnung kann durch einen waagerechten Strich, ein Kreuz, einen
Kreis oder ein Dreieck erfolgen.
7 Wanderrouten = 4 Zeichen * 1 Farbe = 8 Möglichkeiten
13 Wanderrouten = 4 Zeichen * 3 Farben = 16 Möglichkeiten
22 Wanderrouten = 4 Zeichen * 5 Farben = 24 Möglichkeiten
b) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche in verschiedenen
Farben, deren Reihenfolge nicht
berücksichtigt wird.
Kombination ohne Wiederholung
2
C5 =
10 5 Farben für 7 Wanderrouten
2
C6 =
15 6 Farben für 13 Wanderrouten
2
C8 = 28
8 Farben für 22 Wanderrouten
c) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche. Dabei dürfen beide
Striche auch die gleiche Farbe
haben, und die Reihenfolge der Farben wird nicht berücksichtigt.
Kombination mit Wiederholung
2
C4 =
10 4 Farben für 7 Wanderrouten
2
C5 =
15 5 Farben für 13 Wanderrouten
2
C7 = 28
7 Farben für 22 Wanderrouten
d) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche in verschiedenen
Farben, bei denen aber
die Reihenfolge beachtet wird.
Variation ohne Wiederholung
2
V4 = 12
4 Farben für 7 Wanderrouten
2
V5 = 20
5 Farben für 13 Wanderrouten
2
V6 = 30
6 Farben für 22 Wanderrouten
12) Die Entwertung von Fahrscheinen für Nahverkehrsmittel erfolgt vielfach durch
das Einstanzen von 1 bis 6
Löchern an verschiedenen Stellen eines 2-mal-3-Schemas wie bei der Grundform der
Blindenschrift.
a) Wie viele verschiedene Kennzeichnungen sind auf diese Weise möglich?
1 2
3 4
5 6
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