Mathematik Sekundarstufe II Petra Konitzer-Haars
Inhalt:
A Zahlenfolgen, vollständige Induktion, Kombinatorik
B Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen
C Differentialrechnung
D Integralrechnung
abgeschlossenes Intervall
Arithmetische Folgen
Berechung DIN A Standard
Beweis Definition
Beweis eines Grenzwertsatzes für Zahlenfolgen
Beweis
durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Binom
Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient (a + b)n
Binomische Formel (a +
b)³
Bogenmaß eines Winkels
Catalan-Zahl
Definitionsbereich einer Funktion
divergent
echte Teilmenge
Epsilonumgebung einer Zahl
explizite
Zuordnungsvorschrift
Faktorisierung
Fakultät
Folge der Dreieckszahlen
Geometrische Folgen
Grenzwert berechnen
Grenzwert einer Folge
Grenzwert einer Folge Beispiel
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle Beispiel
Grenzwerte von Funktionen
Grenzwertsätze für Funktionen
Grenzwertsätze für
Funktionen Herleitung
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen
halboffenes Intervall
Halbwertzeit berechnen
Induktion Vollständige Induktion einfache Erklärung
Intervalle
Koeffizient
Kombination
Kombination mit Wiederholung
Kombination ohne Wiederholung
konstante Folgen
konvergent
Konvergenz von
Zahlenfolgen
konvexes ebenes Vieleck Definition
Kreditberechnung
Laufindizes δ
Limes
Limes einer konstanten Folge
Logarithmus
Logarithmengesetze
Maximum von f im Intervall I
Minimum von f im Intervall I
Monotonie von Folgen
Monotonie von Funktionen
Monotoniegesetz
der Addition
Nullfolge
Nullfolge Beispiel
obere Grenze einer Zahlenfolge
offenes
Intervall
Partialsummen
Partialsummenfolge
Permutationen
Potenzgesetz
Reihe
rekursive
Zuordnungsvorschrift
Rentenrechnung nachschüssig
Rentenrechnung vorschüssig
Satz über die Annahme der
Zwischenwerte
Satz und Definition
Unterschied
Satz vom Maximum und Minimum
Satz von der oberen Grenze
Schranken von Zahlenfolgen
stetig
Stetigkeit Definition
Σ Summenzeichen
Sigma
strenge Monotonie
Summenformel der Fünferpotenzen
Summenformel der Quadratzahlen
Summenformeln für arithmetische Folgen
Summenformeln für geometrische Folgen
Summenformel für
geometrische Folge Beispiel
Taschenrechner Nullstellenberechnung
Teilmengen
Triangulierung
unechte Teilmenge
unstetig
untere Grenze einer Zahlenfolge
Unterhaltungsmathematik
Variation
Variation mit Wiederholung
Vorzeichenwechsel
Vorzugszahlenreihen R5 R10 R20 R40
Zahlenbereiche
Zahlenfolgen
Zeichen für entspricht
Zeichen für kleiner gleich und größer gleich in HTML
Zinseszinsrechnung
Startseite php5 mysql
Mathematik 11 EOS
DEG=Altgrad
RAD=Bogenmaß
GRA=Grad
A Zahlenfolgen, vollständige Induktion, Kombinatorik
5 Zahlenbereiche:
N Menge der
natürlichen Zahlen
enthält die positiven ganzen Zahlen N={1,2,3,...}
oder enthält die nichtnegativen ganzen Zahlen N={0,1,2,3,...}
Z Menge der ganzen Zahlen (Integer)
Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}
Q+ Menge der gebrochenen Zahlen
Die positiven rationalen Zahlen heißen gebrochene Zahlen.
Q Menge der rationalen Zahlen
Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die als Verhältnis zweier ganzer Zahlen
dargestellt werden kann.
R Menge der reellen Zahlen
Die Menge der reellen Zahlen besteht aus der Menge der rationalen und
irrationalen Zahlen.
Eine Zahl ist irrational wenn sie reell aber nicht rational ist. z.B. π
Alle Primzahlen sind natürliche Zahlen. Es gibt also keine negativen Primzahlen.
Teilmengen
Unechte Teilmenge: alle Elemente einer Menge M1 sind auch Elemente einer Menge
M2
(jede Menge ist auch Teilmenge von sich selbst)
Echte Teilmenge: M2 enthält außer den Elementen von M1 noch mindestens ein
weiteres
Element, dann ist M1 echte Teilmenge von M2 M1⊆ M2
Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge; man kann nämlich jeder Menge kein
Element
entnehmen.
Eine Menge geordneter Paare heißt Funktion, wenn sie keine zwei Paare enthält,
die
an der ersten Stelle übereinstimmen, sich aber an der zweiten Stelle
unterscheiden.
Jede Menge geordneter Paare [x;y], bei der zu jedem x genau ein y gehört, heißt
Funktion.
Beispiel:
f = {[x;y]; y = x² und x∈N}
Menge aller geordneten Paare [x;y] mit der Eigenschaft y = x² und x∈N
Übungsaufgaben
11e) Ermitteln Sie die Lösungsmengen der Gleichung (Grundbereich R)!
Lösung:
x1= 2 keine Lösung
x2= -3
12c) Geben Sie jeweils die Lösungsmengen der beiden Ungleichungen an
(Grundbereich R), und untersuchen Sie,
ob eine Teilmengenbeziehung zwischen ihnen besteht! Beschreiben Sie ferner den
Durchschnitt der beiden Lösungsmengen!
5x + 11 > 3x - 7
2x - 7 < 7x + 3
Lösung:
5x + 11 > 3x - 7
2x > -18 /:2
x > -9
M1 = {x; x > -9; x∈ R} Menge aller x mit der Eigenschaft x größer als -9 und x
Element der Reellen Zahlen
2x -7 < 7x + 3
-5x < 10 /:-5
x > -2
M2= {x; x > -2; x∈ R} Menge aller x mit der Eigenschaft x größer als -2 und x
Element der Reellen Zahlen
Durchschnittsmenge M1∩M2 ={d; d > -2; d∈ R}
12d) Geben Sie jeweils die Lösungsmengen der beiden Ungleichungen an
(Grundbereich R), und untersuchen Sie,
ob eine Teilmengenbeziehung zwischen ihnen besteht! Beschreiben Sie ferner den
Durchschnitt der beiden Lösungsmengen!
5x + 7 < 2(x + 2)
x < -1
M1 = {x; x < -1; x∈ R}
3(x +1) > 2(x-5)
x > -13
M2= {x; x > -13; x∈ R}
M1∩M2 ={d; -1 > d > -13; d∈ R}
13c) Bei welchen der folgenden Mengen geordneter Paare handelt es sich um
Funktionen?
Bestimmen Sie deren
Definitionsbereich und Wertebereich!
Menge aller [x; y] mit x ∈ R und y ∈ Z und x-1 < y ≤
x
Funktion y = x x∈z
Zahlenfolgen
Definition: Eine Zahlenfolge ist eine Funktion mit einer Menge natürlicher
Zahlen als Definitionsbereich und einer
Menge reeller Zahlen als Wertebereich. Elemente des Wertebereiches heißen
Glieder der Zahlenfolgen.
Entsprechend dem Definitionsbereich gibt es endliche und unendliche
Zahlenfolgen.
Beispiel:
y = 0,5x - 1
für das 3. Glied der Folge gilt:
f(3) = a3 = 0,5 * 3 - 1 = 0,5
für das n-te Glied der Folge gilt:
f(an) = an = 0,5n -1
Die Gleichung f = (an) = (0,5n -1) bezeichnet die gesamte Folge.
5) Betrachtet werden die Folgen
ak = 3k-1
ak = 0,5k
ak = 3k - 4
k
ak = k - k²
5a) Geben Sie jeweils a1, a2, a3, a4 und a5 an!
5b) Geben Sie jeweils a100 und a500 an!
ak = 3k-1
a1 = 2
a2 = 5
a3 = 8
a4 = 11
a5 = 14
a100 = 299
a500 = 3*500-1 = 1499
ak = 0,5k
a1 = 0,5
a2 = 1
a3 = 1,5
a4 = 2
a5 = 2,5
a100 = 50
a500 = 250
ak = 3k - 4
k
a1 = -1
a2 = 1
a3 = 5
3
a4 = 2
a5 = 11
5
a100 = 296
100
a500 = 1496
500
ak = k - k²
a1 = 0
a2 = -2
a3 = -6
a4 = -10
a5 = -20
a100 = -9900
a500 = -249500
6) Geben Sie für die Folgen eine geeignete Zuordnungsvorschrift an! Berechnen
Sie
danach das jeweils 23. Glied!
-7; -3; 1; ...
2; 5; 10; 17; ...
√2; 2; 2√2; 4; ....
Lösung:
-7; -3; 1; ...
ak = 4k - 11
a23 = 81
2; 5; 10; 17; ...
ak = k²+ 1
a23 = 530
√2; 2; 2√2; 4; ....
ak =( √2)²
a23 = 2048√2
Zuordnungsvorschriften einer Folge
rekursive Zuordnungsvorschrift (recurrere lat. - zurücklaufen)
aus voranstehenden Gliedern gewonnen
Beispiel:
ak+1 = ak+5
a1 = 1
dann ist
a1+1 = a2 = a1 + 5
a1+1 = a2 = 1 + 5
a1 +1 = a2 = 6
a2 = 6
a2+1 = a3 = a2 + 5
a2 +1= a3 = 6 + 5
a3 = 11
explizite Zuordnungsvorschrift (explicare lat. - erklären)
Die Werte lassen sich unmittelbar, das heißt ohne Umformung der Funktion
berechnen.
Beispiel:
ak = 5k - 4
a1 = 5 *
1 - 4
a1 = 1
a2 = 5 *
2 - 4
a2 = 6
a3 = 5 *
3 - 4
a3 = 11
7b) Seite 17
Nennen Sie a1 bis a5 für nachstehende Folgen!
a1 = 3; ak+1 = ak + k
Lösung:
a1 + 1 = a2 = a1 + 1
a2 = 3 + 1
a2 = 4
a2 +1 = a3 = a2 + 2
a3 = 4 + 2
a3 = 6
a3+1 = a4 = a3 + 3
a4 = 9
a4+1 = a5 = a4 + 4
a5 = 13
a1 = -1 ; a2 = -2; ak+2 = ak *
ak+1
Lösung:
ak+2 = a3 = a1 * a2
a3 = -1 * -2
a3 = 2
a2+2 = a4 = a2 * a3
a4 = -2 * 2
a4 = -4
a3+2 = a5 = a3 * a4
a5 = 2 * -4
a5 = -8
a1 = 1; ak+1 = 2ak - 5
Lösung:
a1+1 = a2 = 2a1 - 5
a2 = -3
a2+1 = a3 = 2a2 - 5
a3 = -11
a3+1 = a4 = 2a3 - 5
a4 = -27
a4+1 = a5 = 2a4 - 5
a5 = -59
7c) Geben Sie eine rekursive Zuordnungsvorschrift für
(ak) = (1; 2; 4; 8; 16; ...) an!
a1 = 1; ak+1 = 2ak
a1 + 1 = a2 = 2a1
a2 = 2
a2 + 1 = a3 = 2a2
a3 = 4
Seite 18
1) Geben Sie von den nachstehenden Folgen die ersten fünf Glieder an!
Wenn künftig von einer "Folge" ohne Angabe des Definitionsbereiches gesprochen
wird, so soll
darunter stets eine Zahlenfolge verstanden werden, deren Definitionsbereich die
Menge der natürlichen
Zahlen außer 0 ist.
a) (8k -7)
a1 = 1
a2 = 9
a3= 17
a4 = 25
a5 = 33
b) 5k
2
a1 = 2,5
a2 = 5
a3 = 7,5
a4 = 10
a5 = 12,5
c) 1
k
a1 = 1
a2 = 0,5
a3 = 1
3
a4 = 1
4
a5 = 0,2
d) k²- k
a1 = 0
a2 = 2
a3 = 6
a4 = 12
a5 = 20
e) (5 + k)
-k
a1 = -6
1
a2 = -7
2
a3 = -8
3
a4 = -9
4
a5 = -10
5
f) (-1)k * 3-k
k
a1 = -2
a2 = 0,5
a3 = 0
a4 = -1
4
a5 = 2
5
2) Sind die Zahlen 1; 25; 0; -2; -30; 100 Glieder der nachstehenden Folgen?
Wenn künftig von einer "Folge" ohne Angabe des Definitionsbereiches gesprochen
wird, so soll
darunter stets eine Zahlenfolge verstanden werden, deren Definitionsbereich die
Menge der natürlichen
Zahlen außer 0 ist.
a) k
3
1 ja
25 ja
0 nein
-2 nein
-30 nein
100 ja
b) 3k -5
1 ja
25 ja
0 nein
-2 ja
-30 nein
100 ja
c) 7k - k² = k(7 - k)
1= 6
2= 10
3= 12
4= 12
5= 10
6= 6
7= 0
8= -8
9= -18
10= -30
1 nein
25 nein
0 ja
-2 nein
-30 ja
100 nein
3) Gegeben sind jeweils einige Glieder einer Zahlenfolge. Geben Sie eine
Zuordnungsvorschrift
für diese Folgen an! Ergänzen Sie dann so, dass jeweils die Glieder a1 bis a8
vorliegen!
a) a1= -17; a2= -23; a3= -29
ak= -6k -11
a4= -35
a8= -59
b) a3=4; a4= 7/2; a8= 3/2
ak= (11-k) / 2
a1= 5
a2= 9/2 = 4,5
a8= 1,5
c) a1= 1; a2= -1/2; a3= 1/6; a6= -1/720
ak= (-1( k+1 )
) / k!
Hochzahl (Exponent)
schreiben mit HTML
<SUP><SMALL> (k+1) </SMALL></SUP>
a1= (-1 2 ) / 1! = 1
a6= (-1 7 ) / 6! = -1 / 1*2*3*4*5*6
= -1/720 = - 1
720
a8= -1 / 40320
4)
a) a2= 4/3; a3= 6/5; a4= 8/7
ak= 2k / (2k - 1)
a1= 2/1
a8= 16/15
b) a5= 5; a6= 2,5; a7= 1,25
ak= 160 / 2 k
a1= 80
a2= 40
a3= 20
a4= 10
a5= 5
a6 = 2,5
a7= 1,25
a8= 0,625
c) a3= -6/27; a4= 8/81; a7= -14/2178
ak= (-1) k * 2k/3 k
a1= -2/3
a8= 16/6561
5) Ermitteln Sie für nachstehende Folgen die ersten fünf Glieder! Geben Sie
möglichst
auch explizite Zuordnungsvorschriften an!
a) a1= 2; ak+1= ak + 1/3
a2= 7/3
a3= 8/3
a4= 9/3
a5=10/3
ak= (5 + k) / 3
b) a1= 1; ak+1= 2ak - 5
a2= -3
a3= -11
a4= -27
a5= -59
ak= 2(k-1) - 5(2(k-1) -1)
6)
a) a1= 3/2; ak+1= 4/3ak
a2= 12/6
a3= 24/9
a4= 96/27
a5= 128/27
ak= 4/3(k-1) * 3/2
b) a1= 0; a2= -1/2; ak+2= ak² * ak+1
a3= 0
a4= 0
a5= 0
ak= -1/2 * δk2
Erklärung
δk2 (Delta k2) Laufindizes
wenn k= 2 dann ist
δk2= 1
wenn k≠2 dann ist δk2= 0
Monotonie von Folgen
Folgen sind spezielle Funktionen.
Eine Zahlenfolge heißt monoton wachsend wenn für jedes k gilt:
ak ≤ ak+1 daraus folgt ak+1
- ak ≥ 0
Eine Zahlen folge heißt monoton fallend wenn für jedes k gilt:
ak ≥ ak+1 daraus folgt ak+1
- ak ≤ 0
strenge Monotonie: jedes Glied ist größer oder kleiner
Folgen deren Glieder gleich sind heißen konstante Folgen. Sie sind
entsprechend
der Definition monoton wachsend als auch monoton fallend.
Man untersucht also, ob die Differenzen benachbarter Glieder stets nicht
negativ oder
nicht positiv sind.
Beispiel 1 (5 - k/2)
ak+1 - ak =
5 - (k+1) - (5 -k ) =
2
2
k/2 - (k+1)/2 =
k - k - 1 = -1/2
2
Da die Differenz ak+1 - ak für alle k negativ ist, fällt die Folge monoton, und
zwar
sogar streng monoton.
Beispiel 2
k-1
1
k > 0
ak+1 - ak
k + 1 - 1 - k - 1 =
k + 1 k
k - k -
1 =
k + 1 k
k² - (k + 1) *
(k - 1) =
k²+ k
k²+ k
k² - (k²-1)
=
k²+ k k²+ k
k²- k²+ 1 =
k²+ k
1 > 0
k²+ k
Die Folge ist streng monoton wachsend.
Beispiel 3
k²- 8k
ak+1 - ak
(k+1)²- 8(k + 1) - (k²- 8k) =
2k + 1 - 8 =
2k - 7
Die Folge ist nicht monoton. Die Differenz ak+1 - ak ist für 0 < k
≤ 3 negativ.
Die Differenz ak+1 - ak ist für k > 3 positiv.
Die Folge fällt bis k < 4 monoton und wächst monoton ab k - 4.
Beispiel 4
(-1)k * 1
k
nicht monoton
für gerade k gilt ak= positiv
für ungerade k gilt ak= negativ
Arithmetische Folge
Eine Zahlenfolge ak heißt arithmetische Folge, wenn es eine konstante Zahl d
gibt.
ak+1= ak + d
d= ak+1 - ak
Beispiel:
a1= 5; d= 7
a1;
a1= 5;
a2= a1 + d;
a2= 5 + 7= 12;
a3= a2 + d; a1 + 2d
a3= 12 + 7= 19;
a4= a3 + d; a1 + 3d
a4= 19 + 7= 26;
ak= a1 + (k - 1) * d
Arithmetische Folgen treten überall dort auf, wo sich ein gewisser Anfangswert
mehrmals
um einen festen Wert vermehrt oder auch vermindert.
Beispiele: täglich wird die gleiche Anzahl von Produkten hergestellt, monatlich
wird ein fester
Betrag von einem Konto abgebucht
9a) Geben Sie für die Folge (ak)= (2k - 7) das Anfangsglied und die Differenz
an!
a1= -5
a2= -3
a3= -1
d= 2
9b) Stellen Sie einen Zusammenhang her zwischen der Funktionsgleichung y = mx +
n und
ak= a1 + (k-1) * d
ak= d * k +(a1-d)
y= d * x + (a1 -d)
Geometrische Folge
Bei geometrischen Folgen erfolgt die Veränderung von Glied zu Glied dadurch,
dass stets
mit der gleichen Zahl multipliziert wird.
ak+1= ak * q
q= ak+1 / ak
a1= 10
q= 5
a1;
a1= 10;
a2= a1 * q
a2= 10 * 5= 50;
a3= a2 * q = a1 * q²;
a3= 50 * 5 = 10 * 5²= 250;
a4= a3 * q = a1 * q³;
a4= 250 * 5 = 10 * 5³= 1250;
ak= a1 * q k - 1
In der Praxis treten geometrische Folgen zum Beispiel beim Anwachsen eines
Guthabens durch
jährliche Verzinsung auf, wenn die Zinsen nicht abgehoben werden, aber auch beim
ungestörten Wachstum
einer Bakterienkultur oder beim radioaktiven Zerfall.
Aufgaben Seite 21
1) Untersuchen sie nachstehende Folgen auf Monotonie!
a) k / 5
ak= k /5
ak+1 - ak=
(k+1) /5 - k/5
k + 1 - k = 1
5
5
Die Folge ist monoton
wachsend.
b) 5 / k
ak+1 - ak=
5 / (k+1) - 5 / k =
5k -
5(k+1) =
(k²+ k) (k²+ k)
5k - 5k - 5 =
(k²+ k)
-5
(k²+ k)
Die Folge ist monoton fallend.
Probe:
ak= 5 / k
a1= 5
a2= 2,5
a3= 5/3
a4= 5/4
a5= 1
ak+1 - ak
a1+1 - a1=
a2 - a1 = -2,5
-5
(k²+ k)
-5 = -2,5
1 +1
c) 2k
ak+1 - ak
2k + 1 - 2k
Potenzgesetz
2k + 1
= 2k * 21
2 k * 21
- 2k =
2 * 2k
= 2k +
2k
2k + 2k
- 2k =
2k
(a²)³ = a² * a² * a² = a6
Die Folge ist monoton wachsend.
d) 3k + 3
k + 1
d= 0
a1= 3
a2= 3
a3= 3
Es ist eine konstante Folge.
e) 1
3k
ak+1 - ak
1 - 1
=
3k + 1
3k
1 - 3 * 1
=
3k + 1 3k
+ 1
1 -
3 =
3k + 1 3k
+ 1
- 2
3k + 1
Die Folge ist monoton fallend.
Probe:
a1= 1/3
a2= 1/9
a3= 1/27
a2 - a1 = 1/9 - 1/3 = 1/9 - 3/9 = -2/9
- 2 = -2/9
31 + 1
f) 5 + k
-k
ak+1 - ak
5 + (k + 1) - 5 + k =
-(k + 1)
-k
5 + (k + 1) - 5 + k =
-k - 1
-k
-k (5 + k + 1) - (-k -1) * (5 + k) =
(-k -1) * -k
-k²-6k -(-5k -k²- 5 - k) =
k²+ k
-k²-6k + 5k + k² + 5 + k =
k²+ k
5
k²+ k
Die Folge ist monoton wachsend.
2) Die Folgen ak sind monoton wachsend. Ermitteln Sie
für jede der Zahlen z = 10; 50; 500 ein k, für das gilt:
ak < z ≤ ak+1
a) k/3
z = 10
k= 29
Probe:
a29= 29/3
a29+1= a30= 10
29/3 < 10
≤ 30/3
z = 50
k= 149
z = 500
k= 1499
b) 3k + 2
z = 10
k= 2
z = 50
k= 15
z = 500
k= 165
c) k² - k
z = 10
k= 3
z = 50
k= 7
z = 500
k= 22
d) a1= 1 ; ak+1= 5ak
Lösung:
ak= 5k - 1
z = 10
k= 2
z = 50
k= 3
z = 500
k= 4
3) Die Folgen ak sind monoton fallend. Ermitteln Sie für die Zahlen z = -5
und z = -120 ein k mit:
ak > z ≥ ak+1
a) -2k - 1
z = -5
k= 1
Probe:
a1= -3
a1+1= a2= -5
-3 > -5 ≥ -5
z = -120
k= 59
b) 3k - k²
z = -5
k= 4
z = -120
k= 12
c) a1= 0; ak+1 = ak -10
Lösung:
ak= -10k + 10
a1= 0
a2= -10
a3= -20
a4= -30
a5= -40
a6= -50
a7= -60
a8= -70
a9= -80
a10= -90
a11= -100
a12= -110
a13= -120
z = -5
k= 1
z = -120
k= 12
4) Setzen Sie die Folgen um vier Glieder fort, so dass arithmetische Folgen
entstehen!
a) 2; 3,8;
Lösung:
5,6; 7,4; 9,2; 11
b)15; 7,5;
Lösung:
0; -7,5; -15; -22,5; -30
c) -1; -3;
Lösung:
-5; -7; -9; -11
d) 0,7; 09;
Lösung:
1,1; 1,3; 1,5; 1,7
5) Berechnen Sie die ersten sechs Glieder der arithmetischen Folgen ak, von
denen Sie
die folgenden Werte kennen! Bestimmen Sie jeweils auch a15 und a27!
a) a1= 8,5
d= -1,5
Lösung:
ak= 10 - 1,5k
a2= 7
a3= 5,5
a4= 4
a5= 2,5
a6= 1
a15= -12,5
a27= -30,5
b) a3= 11; a8= 31
Lösung:
ak= 4k - 1
a1= 3
a2= 7
a3= 11
a4= 15
a5= 19
a6= 23
a15= 59
a27= 107
c) a4= -23; d= -12
Lösung:
ak= 25 -12k
a1= 13
a2= 1
a3= -11
a4= -23
a15= -155
a27= -299
d) a5= 25; d= -0,01
Lösung:
ak= 25,05 - 0,01k
a1= 25,04
a2= 25,03
a3= 25,02
a4= 25,01
a5= 25,00
a15= 24,90
a27= 24,78
e) a13= -6; a22= -9
Lösung:
22-13= 9
-9 - -6 = -3
Die Differenz d zwischen den Gliedern ist -1/3.
ak= -2 - (k-1) * 1/3
a1= -2
a2= -2 - 1/3
a3= -2 - 2/3
a4= -2 - 3/3
a5= -2 - 4/3
a6= -2 - 5/3
a7= -2 - 6/3
a8= -2 - 7/3
a9= -2 - 8/3
a10= -2 - 9/3
a11= -2 - 10/3
a12= -2 -11/3
a13= -2 - 12/3
a15= -2 - 14/3
a27= -2 - 26/3
6a) a7= 0; d= 12
ak= -72 + 12(k - 1)
a1= -72
a2= -60
a3= -48
a4= -36
a5= -24
a6= -12
a15= 96
a27= 240
b) a3= 7,5; d= 9
ak= -10,5 + (k-1) * 9
a1= -10,5
a2= -1,5
a3= 7,5
a4= 16,5
a5= 25,5
a6= 34,5
a15= 115,5
a27= 223,5
c) a6= 19; a9= 14,5
19 - 14,5= 4,5
6 - 9= -3
d= 4,5/-3= -1,5
ak= 26,5 -1,5(k - 1)
a1= 26,5
a2= 25
a3= 23,5
a4= 22
a5= 20,5
a6= 19
a15= 5,5
a27= -12,5
d) a7= 6,8; d= 8,6
ak= -44,8 + 8,6(k - 1)
a1= -44,8
a2= -36,2
a3= -27,6
a4= -19
a5= -10,4
a6= -1,8
a15= 75,6
a27= 178,8
e) a13= 5; a19= 9
5 - 9= -4
13 - 19= -6
d= 4/6= 2/3
ak= -3 + 2/3(k - 1)
a1= -3
a2= -2,333...
a3= -1,666..
a4= -1
a5= -0,3333...
a6= 0,3333...
a15= 6,333..
a27= 14,333..
8) Setzen Sie die Folgen um vier Glieder fort, so dass geometrische Folgen
entstehen!
a) 3; 6;
ak+1= ak * 2 rekursiv
ak= 3 * 2 k - 1
explizit
a3= 12
a4= 24
a5= 48
a6= 96
b) 36; 12
ak+1= ak * 1/3
ak= 36 * 1/3k - 1
a3= 4
a4= 4/3
a5= 4/9
a6= 4/27
c) -4; -√16
nicht genau bestimmt
√16 = 4
√16= -4
d) a1= 1/2; a2= 3/4
ak+1= ak * 3/2
a3= 9/8
a4= 27/16
a5= 81/32
a6= 243/64
e) a1= 1; a2= -2
ak+1= ak * -2
a3= 4
a4= -8
a5= 16
a6= -32
f) a1= -20; a2= -5
ak+1= ak * 1/4
a3= -5/4
a4= -5/16
a5= -5/64
a6= -5/256
Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der geometrischen Folge ak, von der
nachstehende Werte bekannt sind! Beschreiben Sie die Folgen hinsichtlich ihrer
Monotonie!
9a) a1= 0,7; q= 2
ak+1= ak * q
a2= 1,4
a3= 2,8
a4= 5,6
a5= 11,2
Die Folge ist monoton steigend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
b) a1= 3; q= 0,5
a2= 1,5
a3= 0,75
a4= 3/8
a5= 3/16
Die Folge ist monoton fallend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
c) a3= -2; q= -1
a1= -2
a2= 2
a3= -2
a4= 2
a5= -2
Diese Folge ist nicht monoton.
d) a3= -1; a4= 0,25
Lösung:
ak+1= ak * 1/4
q= 1/4
a1= -16
a2= -4
a3= -1
a4= -1/4
a5= -1/16
Die Folge ist monoton steigend. Es handelt sich um
strenge Monotonie.
10a) a2= 5; a4= 45; q < 0
ak+1= -(ak) * -3
q= -3
a1= 5/3
a2= 5
a3= 15
a4= 45
a5= 135
streng, monoton steigend
b) a5; q= 3/2
a1= 112/81
a2= 56/27
a3= 28/9
a4= 14/3
a5= 7
streng, monoton steigend
c) a4= 64 q= 2/5
a1= 1000
a2= 400
a3= 160
a4= 64
a5= 128/5
streng, monoton fallend
d) a2= 9,1; a3= 2,6;
Lösung:
q= 2/7
a1= 637/20
a2= 91/10
a3= 13/5
a4= 26/35
a5= 52/245
streng, monoton fallend
Partialsummen
Teilsummen
Monat Leistung in Tausend Euro
1 | 9,4
2 | 9,2
3 | 11,1
4 | 10,7
5 | 10,5
6 | 9,7
7 | 7,9
8 | 7,6
9 | 9,9
10 | 10,8
11 | 11,3
12 | 9,5
Produktionsleistung bis einschließlich Monat
Monat Leistung in Tausend Euro
1 | 9,4
2 | 9,4 + 9,2= 18,6
3 | 18,6 + 11,1= 29,7
4 | 40,4
5 | 50,9
6 | 60,6
7 | 68,5
8 | 76,1
9 | 86
10 | 96,8
11 | 108,1
12 | 117,6
anderes Beispiel, umgekehrte Vorgehensweise, hier liegen die Summen vor
Quartal Leistung in Tausend Euro
1 | 28,2
2 | 54,8
3 | 82,8
4 | 110,4
einzelne Quartalsleistung ist zu ermitteln
Quartal Leistung in Tausend Euro
1 | 28,2
2 | 26,6
3 | 28
4 | 27,6
ak= a1; a2; a3;...;an;...
s1= a1;
s2= a1 + a2;
s3= a1 + a2 + a3; = die dritte Partialsumme der Folge ak
sn=a1 + a2 + a3 + ...an = Partialsumme der Folge ak
Die n-te Partialsumme sn hat also n Summanden.
Die Teilsummenfolge sn wird als Reihe
bezeichnet
sn= s1; s2; s3; ...; sn; ...
s1= a1
rekursive Beschreibung
sn+1= sn + an+1
13) Ermitteln Sie die ersten fünf Partialsummen der Folgen:
a) 3k + 5
a1= 8
a2= 11
a3= 14
a4= 17
a5= 20
s1= a1= 8
s2= 19
s3= 23
s4= 40
s5= 60
b) k²
a1= 1
a2= 4
a3= 9
a4= 16
a5= 25
s1= a1= 1
s2= 5
s3= 14
s4= 30
s5= 55
c) k
10 k
a1= 1/10
a2= 1/100
a3= 1/1000
a4= 1/10000
a5= 1/100000
s1= 1/10
s2= 11/100
s3= 111/1000
s4= 1111/10000
s5= 11111/100000
14) Eine Folge ak habe die Partialsummenfolge sk= k³
sk= 1; 8; 27; .... Geben Sie die ersten sechs Glieder der Folge ak an!
a1= 1 s1=1
a2= 7 s2= 8
a3= 19
s3= 27
a4= 37
s4= 64
a5= 61 s5= 125
a6= 91 s6= 216
sn+1= sn + an+1
sn + an+1= sn+1
an+1= sn+1 - sn
für a4 gilt
a3 +1= s3+1 - s3
a4= s4 - s3
a4= 37
Summenzeichen Sigma
Griechischer Großbuchstabe "sigma", entspricht dem S in lateinischer Schrift
n
Σ ak
k= 1
Lies: Summe ak über alle k von 1 bis n
sn= a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an
n
Σ
1 = n
k= 1
n
Σ
2 = 2n
k= 1
5
Σ
k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 = (n² + n)
k= 1
2
Auch für die erste Partialsumme s1, die ja eigentlich keine Summe ist,
kann das Summenzeichen benutzt werden.
1
s1 = Σ
2k - 1 = 1
k= 1
Beispiele:
10a) 5
Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9= 25
k= 1
10b) 5
Σ
2k
= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32= 63
k= 0
10c) 5
Σ
(-1)k
* 3k =
1 - 3 + 9 - 27 + 81 - 243= -182
k= 0
15) Welche der vier Terme stellen die gleiche Summe dar?
7
Σ
2k-1
= 127
k= 1
7
Σ
2n-1
= 127
n= 1
7
Σ
2k
= 255
k= 0
6
Σ
2k = 127
k= 0
Für die Folge der ungeraden natürlichen Zahlen ak= 2k - 1 ergeben sich
die Partialsummen:
1
s1 = Σ
2k - 1 = 1
k= 1
2
s2 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 = 4
k= 1
3
s3 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 = 9
k= 1
4
s4 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 =
16
k= 1
5
s5 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 =
25
k= 1
Vermutung:
n
sn = Σ
2k - 1 = n²
k= 1
100
s100 = Σ
2k - 1 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + 2n-3 + 2n-1
= 10000
k= 1
12) Es ist eine Vermutung über eine Summenformel für die Folge ak= 2k
k∈N,
also für die Folge der Zweipotenzen, aufzustellen.
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 2
4 8
16 32
sk 1 3
7
15 31 63
sk= 2ak - 1
sk=( ak+1 ) - 1
sk= 2k+1 - 1
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
13) Es ist eine Vermutung über eine Summenformel für die Folge ak= 3k
k∈N,
also für die Folge der Dreierpotenzen, aufzustellen.
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 3
9 27
81 243
sk 1 4
13
40 121 364
sk= (ak+1) -1
2
sk= ak * 3 -1
2
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1)
/ 2
k= 0
Probe für s6
6
Σ 3k =
(36+1 - 1)
/ 2 = 1093
k= 0
inducere (lateinisch) hineinführen
Einzelergebnisse verallgemeinert = induktiv
1) Schreiben Sie folgende Summen ausführlich!
a)
10
Σ 5k + 3 = 3 +
8 + 13 + 18 + 23 + 28 + 33 + 38 + 43 + 48 + 53= 308
k= 0
b)
5
Σ (1/3)k =
1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + 1/243= 364/243
k= 0
c)
6
Σ 1/(k²
+ k) = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + 1/42= 6/7
k= 1
d)
9
Σ (-1)k
* 1/(k + 1) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + 1/9 -
1/10= 1627/2520
k= 0
Vorzeichenwechsel
an = (-1)n
(-1)0 = 1
(-1)1 = -1
(-1)2 = 1
(-1)3 = -1
kein Vorzeichenwechsel
an = -1n
-10 = -1
-11 = -1
-12 = -1
-13 = -1
2) Ordnen Sie die folgenden Terme so, dass Sie die Zeichen < und = in richtiger
Weise
dazwischen setzen können!
a)
8
Σ k = 1 + 2 +
3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8= 36
k= 1
7
Σ k+8 = 9 + 10
+ 11 + 12 + 13 + 14 + 15= 84
k= 1
8
1+ Σ k = 1 +
2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8= 36
Achtung!
k= 2
5 8
Σ k + Σ k = 1 + 2 + 3 + 4 +5 + 5 + 6 + 7 + 8= 41
k= 1 k=5
b)
10
Σ 1/k =
2,928968254
k= 1
11
Σ 1/k = 2,019877345
k= 2
9
Σ 1/(k+1) =
2,928968254
k= 0
11
Σ 1/(k-1) =
2,928968254
k= 2
c)
5
Σ 2k -
1 = 2 + 4 + 8 + 16= 30
k= 2
4
Σ 2k =
2 + 4 + 8 + 16= 30
k= 1
3
Σ 2k =
1 + 2 + 4 + 8= 15
k= 0
3
Σ 2n =
1 + 2 + 4 + 8= 15
n= 0
3) Schreiben Sie folgende Summen unter Verwendung des Summenzeichens!
a) 5 + 11 + 17 + 23 + 29 + 35 + 41 + 47 + 53 + 59 =
9
Σ 6k+5 = 320
k= 0
b) 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 =
6
Σ (1/2)k =
127/64
k= 0
c) 2 - 6 + 10 - 14 + 18 - 22 + 26 - 30 =
8
Σ (4k - 2) * (-1)k
+ 1 = 2 - 6 + 10 - 14 + 18 - 22 +
26 - 30 = -16
k= 1
d) 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 + 90 =
9
Σ k2
+ k = 330
k= 1
4) Ermitteln Sie für die Folgen Summenformeln! Schreiben Sie die vermuteten
Summenformeln mit Hilfe des Summenzeichens!
a) ak= 2k
(ak)= (2k) eigentlich richtige Schreibweise einer Folge
k 0
1 2
3 4
5
ak 0 2
4 6
8 10
sk 0 2
6 12 20
30
sk= k²+ k
n
Σ 2k =
n²+ n
k= 0
b) ak = 1/(k²+ k) k≠0
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/2 1/6
1/12 1/20 1/30 1/42
sk 1/2 2/3 3/4
4/5 5/6 6/7
sk= k/(k+1)
n
Σ 1/(k²+ k) =
n/(n + 1)
k= 1
5) Vermuten Sie allgemeine Summenformeln!
a)
n
Σ 1/[ (3k - 2) * (3k + 1)
]
k= 1
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/4
1/28 1/70
1/130 1/208 1/304
sk 1/4
2/7 3/10
4/13 5/16
6/19
n
Σ 1/[ (3k - 2) * (3k + 1)
] = n/(3n + 1)
k= 1
b)
n
Σ k * 2k-1
k= 2
k 2
3 4
5 6
7
ak 4 12 32 80 192
448
sk 4 16
48 128 320 768
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
Carl Friedrich Gauss (1777 bis 1855) soll als Neunjähriger die vom Lehrer
verlangte Addition der natürlichen
Zahlen von 1 bis 100 über Erwarten schnell ausgeführt haben. Dazu fasste er
zunächst die Zahlen zu den 50 Paaren
1 + 100; 101
2 + 99; 101
3 + 98; 101
4 + 97;
5 + 96;
6 + 95;
7 + 94;
8 + 93;
...
50 + 51; 101
zusammen und erhielt als Summe: 50 * 101 = 5050
6) Ermitteln Sie in gleicher Weise die Summe der ersten einhundert ungeraden
Zahlen!
1 + 199; 200
3 + 197; 200
5 + 195; 200
7 + 193; 200
...
99 + 101; 200
200 * 50= 10000
Summenformel für die ersten
einhundert ungeraden Zahlen
7) Das in Aufgabe 6 beschriebene Verfahren lässt sich abwandeln, wie
nachstehendes
Beispiel für die 9. Partialsumme der Folge 3k + 2 k≥0 zeigt.
s9= 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26
s9= 26 + 23 + 20 + 17 + 14 + 11 + 8 + 5 + 2
a1 + a9= 28
a2 + a8= 28
a3 + a7= 28
s9 + s9= 9 * 28
s9= 9 * 14
s9= 126
Ermitteln Sie ebenso die Summe der ersten fünfzig natürlichen Zahlen, die bei
Teilung
durch 3 den Rest 1 lassen!
Lösung:
ak= 3k + 1 k>0
k 1
2 3
4 5
6
ak 4 7
10 13 16
19
sk 4 11 21
34 40 59
a1= 4
a50= 151
a1 + a50= 155
a2 + a49= 155
a3 + a48= 155
s50 + s50= 50 * 155
s50= 25 * 155
s50= 3875
8a) Vermuten Sie eine Summenformel für die Folge der Viererpotenzen!
ak= 4k
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 4
16 64 256 1024
sk 1 5 21
85 341 1365
n
Σ 4k
= (4n+1
- 1) / 3
k= 0
Probe:
s5= (45+1
- 1) / 3
s5= 1365
8b) Vermuten Sie eine Summenformel für die Folge der Fünferpotenzen!
ak= 5k
k 0
1 2
3 4
5
ak 1 5
25 125 625
3125
sk 1 6
31 156 781 3906
n
Σ 5k
= (5n+1
- 1) / 4
k= 0
Probe:
s5= (55+1
- 1) / 4
s5= 3906
9) Vermuten Sie eine allgemeine Summenformel für die Folge ak= zk
der Potenzen
einer beliebigen natürlichen Zahl z. z > 0
n
Σ
zk
= (zn+1
- 1) / (z-1)
k= 0
Der Grundgedanke des Beweisverfahrens durch vollständige Induktion
Formel für die Summe der ungeraden Zahlen
n
Σ 2k - 1 = n²
k= 1
Fünferquadrat → Sechserquadrat
5²= 25
6²= 5²+ 2 * 5 + 1= 36
7²= 6²+ 2 * 6 + 1= 49
k²+ 2k +1
(ak) = (2k - 1)
sk+1= sk + ak+1
ak+1= 2(k+1) - 1
ak+1= 2k + 2 -1
ak+1= 2k + 1
sk+1= k²+ 2k + 1
sk+1= (k + 1)²
Beweis durch Vollständige
Induktion
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
Anfang: Die Aussage gilt für eine bestimmte natürliche Zahl (meist 0 oder
1) als Anfangswert.
Vererbung: Aus der angenommenen Gültigkeit für eine natürliche Zahl k
folgt stets die
Gültigkeit für deren Nachfolger k+1.
Anfang: Für n= 0 ist zu zeigen
20 = 21 -
1
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k = 2k+1
- 1
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k + 2k+1 = 2(k+1)+1
- 1
Veränderung der linken Seite
20 + 21
+ 22 + ... + 2k-1
+ 2k
+ 2k+1
= 2(k+1)+1
- 1
|
|
2k+1
- 1
+ 2k+1
= 2(k+1)+1
- 1
2k+1
- 1 + 2k+1
21 * 2k+1 - 1
2k+2
- 1 Potenzgesetz
= 2(k+1)+1
- 1
Die Summenformel gilt für n= 0 und n= 0 + 1 = 1 und n= 1 + 1 = 2 und n= 2 + 1 =
3 und ... Da man
durch fortgesetzte Nachfolgerbildung (Addition von 1) schließlich jede
natürliche Zahl erreicht, gilt die Formel
für alle natürlichen Zahlen.
17a) Beweisen Sie die Summenformel für die Folge der Dreierpotenzen.
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1) /
2
k= 0
Anfang: Für n= 0 ist zu zeigen
30 = (31 -
1) / 2
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k = (3k+1
- 1) / 2
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k + 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
Veränderung der linken Seite
30 + 31
+ 32 + ... + 3k-1
+ 3k
+ 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
|
|
(3k+1
- 1) / 2
+ 3k+1
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
(3k+1
- 1) / 2
+ 2 * 3k+1
/ 2 = (3(k+1)+1
- 1) / 2
(31
* 3k+1
- 1) / 2 Potenzgesetz
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
(3(k+1)+1
- 1) / 2
= (3(k+1)+1
- 1) / 2
17b) Beweisen Sie ebenso die Summenformel
n
Σ 2k =
n²+ n !
k= 1
Anfang: Für n= 1 ist zu zeigen
2 * 1 = 1²+ 1
1 = 1
Vererbung: Wir nehmen an, die Formel sei für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n = k gültig.
2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + ... + 2 * (k - 1) + 2 * k = k²+
k
Bei Übertragung der Gültigkeit der Formel auf den Nachfolger k+1 müsste
gelten
2 * 1 + 2 * 2 + 2 * 3 + ... + 2 * (k - 1) + 2 * k
+ 2 * (k+1) = ( k + 1)²+ (
k + 1)
Veränderung der linken Seite
k²+ k
+ 2k + 2
= k²+ 2k + 1 + k + 1
k²+ 3k + 2
= k²+ 3k + 2
H(n)
Lies: H von n
symbolische Schreibweise
Aussage über natürliche Zahlen
n = jede natürliche Zahl
Jeder natürlichen Zahl n wird aus dem Definitionsbereich von H etwas zugeordnet.
Und zwar die Aussage "wahr" oder "falsch".
18a) H(n) bedeute: "n²+ 3n + 7 ist durch 5 teilbar".
Bilden Sie H(0), H(2), H(3), H(4), H(8) und H(10)
Welche der so erhaltenen Aussagen sind wahr?
H(0) = 7 = falsch
H(2) = 17 = falsch
H(3) = 25 = richtig
H(4) = 45 = richtig
H(8) = 95 = richtig
H(10) = 137 = falsch
Bilden Sie auch H(k-1), H(k+1), H(n+2), H(2n)!
H(k-1) = k²+ k + 5
H(k+1) = k²+ 5k + 11
H(n+2) = n²+ 7n + 17
H(2n) = 4n²+ 6n + 7
n
18b) H(n) bedeute: " Σ 2k =
2n+1 - 1 "
k= 0
Bilden Sie H(3), H(5), H(n-1), H(n+1), H(2n+1)!
H(3) = 24 - 1 = 15
H(5) = 26 - 1 = 63
H(n-1) = 2n-1+1 - 1 = 2n
- 1
H(n+1) = 2n+1+1 - 1 = 2n+2
- 1
H(2n+1) = 22n+1+1 - 1 = 22n+2
- 1
Die Aussage "Für alle natürlichen Zahlen n ≥
n0 gilt H(n)" ist wahr, wenn folgendes gilt:
1. H(n) ist richtig für n = n0;
2. Aus der Gültigkeit von H(n) für n = k folgt für beliebiges k die Gültigkeit
für n= k + 1.
Ist speziell n0 = 0, so gilt H(n)
für alle natürlichen Zahlen. Folgt beispielsweise dann aus der Gültigkeit
von H(n) für n= k die für n= k + 2, so ist H(n) für alle geraden Zahlen wahr.
1) Folgende Aufgabe aus der "Unterhaltungsmathematik" ist schon sehr alt:
Ein Brett trägt die Stifte A, B und H, auf die man zylindrische, in der Mitte
durchbohrte Scheiben
verschiedener Größe stecken kann. Zunächst sind die Scheiben der Größe nach auf
dem Stift A angeordnet.
Sie sollen einzeln, jedoch mit möglichst wenigen Umsetzungen zum Stab B gebracht
werden, um dort wieder
solch einen Turm zu bilden. Dabei darf der Hilfsstift H zum Ausweichen benutzt
werden. Niemals darf jedoch
irgendwo eine größere über einer kleineren Scheibe liegen.
a) Versuchen Sie, die Aufgabe mit 6 Scheiben zu lösen, und zählen Sie, wie viele
Umsetzungen Sie benötigen!
1 Scheibe = 1 Umsetzung
= Summe 1
2 Scheiben = 3 Umsetzungen =
Summe 4
3 Scheiben = 7 Umsetzungen =
Summe 11
4 Scheiben = 15 Umsetzungen = Summe 26
5 Scheiben = 31 Umsetzungen = Summe 57
6 Scheiben = 63 Umsetzungen = Summe 120
rekursiv ak+1= 2ak + 1
explizit ak= 2k - 1
Summenformel sn= 2n+1 -2 -n
b) Wie viele Umsetzungen sind für einen Turm aus 8, 10 und 12 Scheiben
erforderlich?
ak= 2k - 1
a8= 28 - 1 = 255
a10= 210 - 1 = 1023
a12= 212 - 1 = 4095
2a) Wie viele verschiedene "Wörter" kann man aus den vier Buchstaben B, E, I und
L bilden, wenn kein Buchstabe
mehrfach vorkommen darf und jede beliebige Buchstabenzusammenstellung als "Wort"
angesehen wird?
ak= k! (k Fakultät)
a4= 4!
a4= 1 * 2 * 3 * 4 = 24
2b) Wie kann man auf Grund des Ergebnisses von 2a sofort ermitteln, wie viele
"Wörter" sich aus
fünf verschiedenen Buchstaben bilden lassen?
a5= 5!
a5= 1 * 2 * 3 * 4 * 5= 120
3) Erläutern Sie, für welche Zahlen n eine bestimmte Aussage mit Sicherheit
gilt,
wenn man folgendes weiß:
a) 1 Die Aussage ist gültig für n = 0
2 Für beliebiges k gilt: Wenn die Aussage für n = k gültig
ist, so gilt sie auch für
n = k + 3
Gilt für alle natürlichen Zahlen die durch 3 teilbar sind.
b) 1 Die Aussage ist nicht gültig für n = 1.
2 Für beliebiges n = k folgt aus der angenommenen Gültigkeit
der Aussage für
k ihre Gültigkeit für k + 1.
Gilt für alle natürlichen Zahlen die größer als 1 sind.
c) 1 Die Aussage ist wahr für 0 und 1.
2 Für beliebiges k folgt aus der Wahrheit der Aussage für k
die Wahrheit für k + 2.
bei n = 0 gilt für alle geraden natürlichen Zahlen
bei n = 1 gilt für alle ungeraden natürlichen Zahlen
d) 1 Die Aussage ist gültig für n = 1.
2 Aus der Gültigkeit der Aussage für n = k folgt die
Gültigkeit für n = 2k.
Die Aussage gilt für alle Zweierpotenzen.
e) 1 Die Aussage ist wahr für n = 100.
2 Aus dem Zutreffen der Aussage für n = k folgt stets das
Zutreffen für n = k - 1.
0 ≤ n ≤ 100 n∈N
f) 1 Die Aussage trifft zu für n = 3.
2 Aus der Gültigkeit der Aussage für n = k - 1 folgt ihre
Gültigkeit für n = k.
n ≥ 3 n∈N
Beweise für Summenformeln mittels vollständiger Induktion
H(n)
1. Induktionsanfang
H(n0)
2. Induktionsschritt
wenn H(k) so H(k + 1)
k 1
2 3
4 5
6
ak 1 2
3 4
5 6
sk 1 3
6 10 15
21
ak= k
Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis n beträgt n(n +1)
2
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl und n > 0
H(n): 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)
2
Beweis:
1. Induktionsanfang
H(1) besagt 1 = 1(1 + 1)
1
1 = 1
H(1) möglichst kleine natürliche Zahl
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
n = k
H(k): 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k + 1)
2
Induktionsbehauptung
H(k+1) wahr: 1 + 2 + 3 ... + k
+ (k + 1) = (k +1) * (k + 1 + 1)
2
k(k + 1)
+ (k + 1) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
k(k + 1)
+ 2(k + 1) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
2
(k + 1) * (k + 2) = (k + 1) * (k + 2)
2
2
1. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
19a) Stellen Sie die Beweisführung mit Hilfe des Summenzeichens dar!
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
1. Induktionsanfang
1
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
1 = 1(1 + 1)
2
1 = 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
n = m
m
Σ k =
m(m + 1)
k= 1 2
Induktionsbehauptung
m+1
Σ k =
(m + 1) * (m + 2)
k= 1
2
m+1 m
Σ k =
Σ k + (m + 1)
=
k= 1 k=1
rechte Seite
m(m + 1) + (m + 1) =
2
m²+ m + 2m + 2 =
2
m²+ 3m + 2 =
2
(m + 1) * (m + 2)
2
Wenn H(n), so H(n+1)
19b) Vergleichen Sie die bewiesene Summenformel mit der für die geraden Zahlen!
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
Summenformel für die geraden Zahlen:
n n
Σ 2k =
n² + n
=
Σ
2k = 2n(n
+ 1)
k= 1 k=1 2
n
19c) Wie groß ist Σ 3k ?
k=1
k 1
2 3
4 5
6
ak 3 6
9 12 15 18
sk 3 9
18 30 45
63
n
Σ
3k =
3n(n + 1)
k= 1
2
2. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
16) Gesucht ist eine Summenformel für die Folge (ak) mit ak=
1
k(k + 1)
k > 0
k 1
2 3
4 5
6
ak 1/2 1/6
1/12 1/20 1/30 1/42
sk 1/2 2/3
3/4 4/5 5/6
6/7
Vermutung: sn= n / (n + 1)
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
Beweis:
Voraussetzung n ist eine natürliche Zahl, n > 0
1. Induktionsanfang
1
Σ 1
=
1/2
k= 1 k(k + 1)
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
n = m
m
Σ 1
= m
k= 1 k(k + 1)
m + 1
Induktionsbehauptung
m+1
Σ 1
=
m + 1
k= 1 k(k + 1)
m + 2
m+1 m
Σ 1 =
Σ 1 +
1
=
k= 1 k(k + 1) k= 1 k(k + 1)
(m + 1) * (m + 2)
|
|
Summe bis einschließlich m
das Glied m + 1
rechte Seite
m
+
1
=
m + 1
(m + 1) * (m + 2)
m * (m + 2) + 1 =
(m + 1) * (m+2)
m²+ 2m + 1 =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)²
=
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1) * (m + 1) =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)
(m + 2)
Wenn H(n), so H(n+1)
//Hefter
Summenfolge, Partialsummenfolge der Quadratzahlen
1² + 2² + 3² + ... + n²
sn = n * (n + 1) * (2n + 1)
6
sn = ((n² + n) * (2n + 1)) / 6
sn = (2n³ + n² + 2n² + n) / 6
sn = (2n³ + 3n² + n) / 6
k 1
2 3
4 5
ak 1 4
9 16 25
an 1 5
14 30 55
3. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
17) Es ist zu beweisen, dass die Folge (k²) der Quadratzahlen die
Partialsummenfolge (sn) mit
sn = n * (n + 1) * (2n + 1) hat.
6
Voraussetzung n ist eine natürliche Zahl, n > 0
Behauptung:
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 1
6
1. Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 1²= 1 * 2 * 3
6
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 1 6
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k² =
(n + 1) * (n + 2) * (2n + 3)
k= 1
6
n+1
n
Σ k² =
Σ k² + (n + 1)² =
n(n + 1) * (2n + 1) + (n + 1)²
k= 1 k=1 6
n(n + 1) * (2n + 1) + 6(n + 1)²
= / (n + 1) ausklammern
6
(n + 1) * [ n * (2n + 1) + 6(n + 1)] =
6
(n + 1) * (2n²+ 7n + 6) =
6
(n + 1) * (n + 2) * (2n + 3)
6
20a) Auch n = 0 hätte in den Gültigkeitsbereich der Summenformel von vornherein
mit einbezogen können.
n
Σ k² =
n(n + 1) * (2n + 1)
k= 0 6
Wie hätte dann der Induktionsanfang lauten müssen?
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 0²= 0 * 1 * 2 * (0 + 1)
6
0 = 0
20b) Untersuchen Sie die Möglichkeit des Einbeziehens von n = 0 auch bei den
Beispielen
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
und
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
!
1. Induktionsanfang
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
0
Σ k =
0(0 + 1)
k= 0
2
0 = 0(0 + 1)
2
0 = 0
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+1
!
k = 0 nicht möglich weil Division mit 0 nicht möglich
Summenformel für eine beliebige arithmetische Folge
Bei einer arithmetischen Folge (ak) mit dem Anfangsglied a1 = a und der
Differenz d lautet das k-te Glied:
ak= a + (k - 1) * d
n-te Partialsumme:
n
sn= Σ
a + (k - 1) * d
k= 1
sn= a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (k - 1) * d
Beispiel: d = 2; a= 0; 6. Glied
a6= 0 + (6 - 1) * 2
a6= 10
sn= 0 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10
sn= n * a + ( d + 2d + 3d + ... + (n - 1)d )
sn= n * a +d * (1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) )
n-1
sn= n * a + d * Σ k
k=1
unter Verwendung von:
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1 2
(n - 1) für n
n-1
Σ k = (n
- 1) * (n -1 + 1)
k= 1 2
n-1
Σ k =
n * (n - 1)
k= 1 2
sn = n * a + d * (n - 1) * n
2
sn = 2na + n * (n - 1) * d
2
sn = n * (2a + (n - 1) * d
2
sn = n * (a + (a + (n - 1) * d))
2
an= a + (n - 1) * d
sn = n(a + an)
2
Summenformeln arithmetischer Folgen
n
sn = Σ ak
k=1
n
sn = Σ (a + (k - 1) * d)
k=1
sn = n(a + an)
2
21) Wenden Sie diese Summenformeln auf die Folgen der natürlichen, der
geraden und der ungeraden Zahlen
für n= 50 sowie für n= 100 an, vergleichen Sie mit den Ihnen bereits
bekannten Ergebnissen!
für natürliche Zahlen
n
Σ k =
n(n + 1)
k= 1
2
50
Σ k =
50(50 + 1)
k= 1
2
s50= 1275
sn = n(a + an)
2
s50 = 50(1 + 50)
2
s50= 1275
100
Σ k =
100(100 + 1)
k= 1 2
s100= 5050
sn = n(a + an)
2
s100 = 100(1 + 100)
2
s100= 5050
für gerade natürliche Zahlen
n
Σ 2k
= n²+ n
k= 1
50
Σ 2k
= 50²+ 50
k= 1
s50= 2550
sn= n(a + an)
2
s50= 50(2 + 100)
2
s50= 2550
für ungerade natürliche Zahlen
n
Σ 2k - 1 = n²
k= 1
100
Σ 2k - 1 = 100²
k= 1
s100= 10000
sn= n(a + an)
2
s100= 100(1 + 199)
2
s100= 10000
Summenformel für eine beliebige geometrische Folge
Beispiele für Summenformeln geometrischer Folgen
n
Σ 2k =
2n+1 - 1
k= 0
n
Σ 3k =
(3n+1 - 1) / 2
k= 0
n
Σ 4k =
(4n+1 - 1) / 3
k= 0
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
z ≠1
00 nicht definiert deshalb z ≠0
Die Vermutung wurde auf Grund nur weniger Werte für z, die durchweg natürliche
Zahlen
sind, gewonnen. Deshalb wird man vor einer allgemeinen Beweisführung an Hand
einfacher
Beispiele überlegen, ob auch andere Werte für z zu einem vernünftigen Ergebnis
führen.
z= -2
n= 5
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
5
Σ (-2)k =
((-2)6 - 1) / -3
k= 0
= 64 -1
-3
= -21
5
Σ (-2)k
= 1 - 2 + 4 - 8 + 16 - 32 = -21
k= 0
z= 1/2
n= 5
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
5
Σ
(1/2)k = (0,56 - 1) / (0,5 -1)
= 63/32
k= 0
5
Σ
(1/2)k = 1 + 1/2
+ 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 = 63/32
k= 0
22) Beweisen Sie, dass für jede reelle Zahl z mit z ≠0 und
z ≠1 und für jede
natürliche Zahl n gilt:
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
!
k= 0
(zn+1 - 1) / (z -1)
/ * -1 Bruch erweitern mit -1
(1 - zn+1 ) / (1 - z)
z ≠0 und
z ≠1
geometrische Folge (ak); Anfangsglied a1 = a; Quotient q ≠0
ak= a * qk - 1
n-te Partialsumme
n
sn = Σ
a * qk - 1
k= 1
n-1
sn = Σ
a * qk
k= 0
sn= a + aq + aq2 + ... + aqn
- 1
Beispiel s6
s6= aq0
+ aq1 + aq2
+ aq3 + aq4
+ aq5 // das
letzte Glied aq5 = aqn - 1
sn= a * (1 + q + q2 + ... + qn
- 1)
n-1
sn= a * Σ
qk
k=0
unter Verwendung von:
n
Σ zk =
(zn+1 - 1) / (z -1)
k= 0
sn= a * (qn-1 +1 - 1) / (q - 1)
sn= a * (qn - 1) / (q -1)
= // mit -1 erweitern
sn= a * (1 - qn ) / (1 - q)
sn= a * (qn - 1) / (q -1) =
an= a * qn - 1
sn= (aqn - a) / (q -1) =
sn= (aqn-1 * q - a) / (q -1) =
// qn = qn-1
* q1
sn= (an * q - a) / (q - 1) =
sn= (a - an * q) / (1 - q)
Summenformeln für
geometrische Folgen
n
sn = Σ
ak
k= 1
ak= a * qk - 1
n
sn = Σ
a * qk - 1
k= 1
n-1
sn = Σ
a * qk
k= 0
geometrische Folge
an = a1 * qn-1
Summenformel
sn = a1 * (qn - 1) / (q -
1)
geometrische Folge
an = a0 * qn
Summenformel
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
Beispiel: an = 2n
n 1
2 3
4 5
6
an 1 2 4
8 16 32
sn 1 3
7 15 31
63
an = a1 * qn-1
an = 1 * 2n-1
a4 = 1 * 23
a4 = 16
n 0
1 2
3 4
5
an 1 2
4 8
16 32
sn 1 3
7 15 31
63
an = a0 * qn
an = 1 * 2n
a4 = 1 * 24
a4 = 16
Probe für (ak)= (4k )
6
s6 = Σ
4k
k= 1
s6= 4 + 16 + 64 + 256 + 1024 + 4096 = 5460
sn= a * (1 - qn ) / (1 - q)
s6= 4 * (1 - 46 ) / (1 - 4)
s6= (4 * -4095) / -3
s6= -16380 / -3
s6= 5460
Aufgaben
4. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
1) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n
gilt:
a) 40 + 41
+ 42 + ... + 4n = (4n+1
- 1) / 3
Behauptung:
n
Σ 4k
= (4n+1 - 1) / 3
k= 0
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1 + 4 = (41+1
- 1) / 3
5 = 5
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 4k =
(4n+1 - 1) / 3
k= 0
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 4k =
(4n+1+1 - 1) / 3
k= 0
n+1
n
Σ 4k =
Σ 4k +
4n + 1 =
((4n+1 - 1) / 3)
+ 4n + 1
k= 0 k=0
rechte Seite
4n+1 - 1
+ 4n + 1 =
3
1
4n+1 - 1
+ 3* 4n + 1 =
3
(41 * 4n+1
-1) / 3 =
(4n+1+1
-1) / 3
5. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b) 4 + 10 + 16 + ... + (6n + 4) = (n + 1) * (3n + 4)
n
Σ 6k + 4 = (n + 1) * (3n + 4)
k=0
k 0
1 2
3 4
5
ak 4 10
16 22 28
34
sk 4 14 30
52 80
114
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 4 + 10 = 2 * 7
14 = 14
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 6k + 4 = (n + 1) * (3n + 4)
k=0
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 6k + 4 = (n + 2) * (3(n + 1) + 4)
k=0
n+1
Σ 6k + 4 = (n + 2) * (3n + 7)
k=0
n+1
Σ 6k + 4 = 3n² + 7n + 6n + 14
k=0
n+1
Σ 6k + 4 =
3n²+ 13n + 14
k=0
n+1
n
Σ 6k + 4 =
Σ 6k + 4 + 6(n
+ 1) + 4 = (n + 1) * (3n + 4) + 6(n
+ 1) + 4
k=0
k=0
rechte Seite
(n + 1) * (3n + 4) + 6(n + 1) + 4 =
3n²+ 4n + 3n + 4 + 6n + 6 +4 =
3n²+ 13n + 14
Vollständige Induktion,
einfache kurze Erklärung
1.Induktionsanfang für n = 1 Nachweis der Aussage für ein kleines n
siehe
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) = 1(1 + 1) * (1 + 2)
3
2 = 2
2. Induktionsschritt
2.1 Die Summenformel wird mit (n + 1) erweitert (für n wird n + 1 eingesetzt)
siehe
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
einfache Summenformel ohne Erweiterung
k=1 3
n+1
Σ k(k + 1) = (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
Summenformel mit Erweiterung
k=1 3
2.2 Die einfache Summenformel wird mit dem Nachfolger des letzten Gliedes der
Folge addiert.
siehe
n
Σ k(k + 1)
k=1
erstes Glied der Folge a1= 1(1+1)
letztes Glied der Folge an= n(n + 1)
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge an+1= (n + 1) * (n + 2)
n(n + 1) * (n + 2)
+
(n + 1) * (n + 2)
3
einfache Summenformel
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge
3.3 Die einfache Summenformel addiert mit dem Nachfolger des letzten Gliedes der
Folge muss gleich
sein mit der erweiterten Summenformel. Wenn dies der Fall ist, ist der Beweis
erbracht.
n(n + 1) * (n + 2)
+ (n +
1) * (n + 2)
= (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
3
3
einfache Summenformel
Nachfolger des letzten Gliedes der Folge
erweiterte Summenformel
noch einfacher
k 1
2 3
4 5 |
ak 2 6
12 20 30
42
sk 2 8
20
40 70
112
letztes Glied der Folge (ak)= (k(k + 1)) n = 5 ; a5= 70
von 70 (einfache Summenformel)
über 42 (Nachfolger des letzten Gliedes der Folge)
nach 112 (erweiterte Summenformel)
70 + 42 = 112
Es folgt das Beispiel ausführlich.
6. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
2) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n
≥ 1 folgendes gilt!
a) 1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
3
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
k 1
2 3
4 5
6
ak 2 6
12 20 30
42
sk 2 8
20
40 70
112
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) = 1(1 + 1) * (1 + 2)
3
2 = 2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k(k + 1) = n(n + 1) * (n + 2)
k=1 3
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k(k + 1) = (n + 1) (n + 1 + 1) * (n + 1
+ 2)
k=1
3
n+1
Σ k(k + 1) =
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
3
n+1
n
Σ k(k + 1) =
Σ k(k + 1) + (n + 1) * (n + 2) =
n(n + 1) * (n + 2) + (n + 1) * (n + 2)
k=1
k=1
3
rechte Seite
n(n + 1) * (n + 2) + (n + 1) * (n + 2) =
3
n(n + 1) * (n + 2) + 3(n + 1) * (n + 2)
=
3
(n + 3) * (n + 1) * (n + 2)
3
7. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
2b) 1/10 + 1/40 + 1/88 + ... + 1/[(3n - 1) * (3n + 2)]
= n / (6n + 4)
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = n /
(6n + 4)
k=1
k 1
2
3
ak 1/10
1/40 1/88
sk 1/10
2/16 3/22
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(2 * 5) = 1/10
1/10 = 1/10
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = n /
(6n + 4)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] = (n +
1) / 6(n + 1) + 4
k=1
n+1
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
(n + 1) / (6n + 10)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] +
1 / [ 3(n + 1) - 1 * 3(n + 1) + 2 ] = n / (6n + 4) + 1
/[ 3(n + 1) - 1 * 3(n + 1) + 2 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] =
Σ 1/[(3k - 1) * (3k + 2)] +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ]
= n / (6n + 4) + 1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (6n + 4) +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ] =
n/ [2(3n + 2)] +
1 / [ (3n +2) * (3n + 5) ] =
n * (3n +5) + 2
=
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
3n²+ 5n +2
=
// Faktorisierung 3n²+ 5n + 2 = (n + 1) * (3n + 2)
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
(n + 1) * (3n + 2)
=
2 * (3n + 2) * (3n + 5)
(n + 1)
=
2 * (3n + 5)
(n + 1) / (6n + 10)
8. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
3) Ermitteln Sie jeweils eine Formel für die folgenden Summen sn, und beweisen
Sie
deren Richtigkeit!
a)
sn= 1/3 + 1/15 + ... + 1/ [(2n - 1) * (2n + 1)] = n / (2n + 1)
k 1
2
3
4
ak 1/3 1/15 1/35
1/63
sn 1/3 2/5 3/7
4/9
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = n /
(2n + 1)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/ (1 * 3) = 1/ (2 * 1 + 1)
1/3 = 1/3
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = n /
(2n + 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = (n
+ 1) / [2(n + 1) + 1] =
k=1
n+1
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] = (n
+ 1) / (2n + 3)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] =
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] +
1 / [ 2(n + 1) - 1 * 2(n + 1) + 1 ] = n / (2n + 1) +
1 / [ 2(n + 1) - 1 * 2(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] =
Σ 1/[(2k - 1) * (2k + 1)] +
1 / [(2n + 1) * (2n + 3)] = n /
(2n + 1) + 1 / [(2n + 1) * (2n + 3)]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (2n + 1) + 1 / [(2n + 1) * (2n + 3)]
n * (2n + 3) + 1 =
(2n + 1) * (2n + 3)
2n² + 3n + 1
= //
Faktorisierung (2n² + 3n + 1) = (n + 1) * (2n + 1)
(2n + 1) * (2n + 3)
(n + 1) * (2n + 1) =
(2n + 1) * (2n + 3)
(n + 1) / (2n + 3)
9. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b) sn= 1 + 5 + 9 + ... + (4n - 3) = n * (2n - 1)
k 1
2
3
4
ak 1
5
9
13
sn 1
6
15 28
n
Σ (4k - 3) = n * (2n - 1)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 4 * 1 -3 = 1 * (2 * 1
-1)
1 = 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (4k - 3) = n * (2n - 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (4k - 3) = (n + 1) * 2(n + 1) - 1
k=1
n+1
Σ (4k - 3) =
(n + 1) * (2n + 1)
k=1
n+1
n
Σ (4k - 3) =
Σ (4k - 3) + 4(n +
1) - 3 = n * (2n - 1) + 4(n + 1) - 3
k=1
k=1
n+1
n
Σ (4k - 3) =
Σ (4k - 3) + 4(n +
1) - 3 = n * (2n - 1) + 4n + 1
k=1
k=1
rechte Seite
n * (2n - 1) + 4n + 1 =
2n² - n + 4n + 1 =
2n²+ 3n + 1 = // schon wieder Faktorisierung
2n²+ 3n + 1 = (n + 1) * (2n + 1)
(n + 1) * (2n + 1)
10. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
c) Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen, die bei der Teilung durch 9 den
Rest 7 lassen:
(ak)= (9k + 7)
sn= 16 + 25 + 34 + ... + 9n + 7 = n * (9n + 7) - 0,5n * (9n -
9)
Folge der Dreieckszahlen: 1; 3; 6; 10; 15; 21; 28 ak =
k(k+1) / 2
Probe:
s5= 5 * 52 - 0,5 * 5 * 36
s5= 260 - 90
s5= 170
k 1
2
3
4
5
ak 16
25
34 43
52
sn 16
41
75 118
170
n
Σ (9k + 7) = n * (9n + 7) -
0,5n * (9n - 9)
k=1
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 9 * 1 + 7 = 9 + 7 - 0,5 * 0
16 = 16
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (9k + 7) = n * (9n + 7) -
0,5n * (9n - 9)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (9k + 7) = (n + 1) (9n +9 + 7) - 0,5(n + 1) *
(9n + 9 -9)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = (n + 1) * (9n +
16) - (9n) * (0,5n + 0,5)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = 9n²+ 16n + 9n +
16 - ( 4,5n²+ 4,5n)
k=1
n+1
Σ (9k + 7) = 9n²+ 16n + 9n +
16 - 4,5n²- 4,5n
n+1
Σ (9k + 7) =
4,5n²+ 20,5n + 16
k=1
n+1 n
Σ (9k + 7) =
Σ (9k + 7) + 9n + 16
= n * (9n + 7) - 0,5n * (9n - 9) + 9n
+ 16
k=1
k=1
rechte Seite
n * (9n + 7) - [0,5n * (9n - 9)] + 9n + 16 =
9n² + 7n - (4,5n²- 4,5n ) + 9n + 16 =
9n² + 7n - 4,5n² + 4,5n + 9n + 16
=
4,5n²+ 20,5n + 16
4) Schreiben Sie die folgenden Summen für n = 5 ausführlich, und weisen Sie die
Gültigkeit
der angegebenen Formeln nach! Bei welchen Summen könnte die Summation schon bei
0 beginnen?
a) 11.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
4
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * (5 + 1) * (5 + 2) * (5 + 3)
k=1
4
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * 6 * 7 * 8 = 420
k=1
4
k 0
1 2
3 4
5
ak 0 6
24 60 120 210
sk 0 6
30
90 210 420
5
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
5 * 6 * 7 * 8 = 420
k=0
4
Die Summation könnte auch schon bei 0 beginnen.
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1(1 + 1) * (1 + 2) = 1(1 + 1) * (1 + 2) * (1
+ 3)
4
6 = 2 * 3 * 4
4
6 = 6
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
k=1
4
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k(k + 1) * (k + 2) = (n + 1) * (n + 1 + 1) * (n + 1
+ 2) * (n + 1 + 3)
k=1
4
n+1
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4)
k=1
4
n+1
n
Σ k(k + 1) * (k + 2) =
Σ k(k + 1) * (k + 2) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3) =
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3)
k=1
k=1
4
rechte Seite
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3) + (n + 1) * (n + 2)
* (n + 3) =
4
n * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
+ 4 * (n + 1) * (n + 2) *
(n + 3) =
4
(n + 4) * (n + 1) * (n + 2) * (n + 3)
=
4
(n + 1) * (n + 2) * (n + 3) * (n + 4)
4
b) 12.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] = n /
(4n + 1)
k=1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)]
k=0
k 0
1
2
3
ak -1/3
1/5 1/45
1/117
sk -1/3
-2/15 -1/9
-4/39
Für die vorgegebene Summenformel n / (4n + 1) könnte die Summation nicht schon
bei 0 beginnen.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(1 * 5) = 1/5
1/5 = 1/5
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] = n /
(4n + 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
(n + 1) /
(4n + 5)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1] = n / (4n + 1) +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] =
Σ 1/[(4k - 3) * (4k + 1)] +
1 / [ 4(n + 1) - 3 * 4(n + 1) + 1] = n / (4n + 1) +
1 / [ (4n + 1) * (4n + 5) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (4n + 1) + 1 / [ (4n + 1) * (4n + 5) ]
=
n * (4n + 5) + 1 =
(4n + 1) * (4n + 5)
4n²+ 5n + 1
= //Faktorisierung
(4n + 1) * (4n + 5)
(n + 1) * (4n + 1) =
(4n + 1) * (4n + 5)
(n + 1) /
(4n + 5)
c) 13.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n )
k=1
k 1
2
3
4
ak 1/2
1/4 1/8
1/16
sk 1/2
3/4 7/8
15/16
n
Σ (1/2)k
k=0
k 0
1
2
3
ak 1
1/2 1/4
1/8
sk 1
3/2 7/4
15/8
Für die vorgegebene Summenformel 1 - (1/2n
) kann die Summation nicht schon bei 0 beginnen.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage (1/2)1
= 1 - (1/2)1
1/2 = 1/2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n )
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ (1/2)k
= 1 - (1/2n+1
)
k=1
n+1
n
Σ (1/2)k
=
Σ (1/2)k + (1/2)n+1
= 1 - (1/2n )
+ (1/2)n+1
k=1
k=1
rechte Seite
1 - (1/2)n + (1/2n+1
) =
1 - 1 *(1/2)n +
0,5 * (1/2n
) =
1 - 0,5 * (1/2n )=
1 - (1/2n+1
)
d) 14.
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=1
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=0
k 0
1
2
3
ak 0
1/2 2/4
3/8
sk 0
1/2 1
11/8
Die Summation könnte auch schon bei 0 beginnen, weil s0= 0.
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/21
= 2 - [ (1 + 2) / 21 ]
1/2 = 2 - 1,5
1/2 = 1/2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 2) / 2n ]
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k/2k
= 2 - [ (n + 3) / 2n+1 ]
k=1
n+1
Σ k/2k
= 2 * 2n
* 2 - (n + 3)
k=1
2n
* 2
n+1
n
Σ k/2k
=
Σ k/2k +
(n + 1)/2n+1 =
2 - [ (n + 2) / 2n ] + (n +
1)/2n+1
k=1
k=1
rechte Seite
2 - [ (n + 2) / 2n ] + (n +
1)/2n+1 =
2 * 2n * 2 - (n + 2) * 2 + (n
+ 1) =
2n * 2
2 * 2n
* 2 - 2n - 4 + n + 1
2n
* 2
15. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
5) Ermitteln Sie die Formeln für die folgenden Summen, und weisen Sie ihre
Richtigkeit nach!
a)
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)]
k=1
k 1
2
3
4
ak 1/4
1/28 1/70
1/30
sk 1/4
2/7 3/10 4/13
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] = n / (3n
+ 1)
k=1
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1/(1 * 4) = 1/ (3 * 1 + 1)
1/4
= 1/4
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] = n / (3n
+ 1)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
(n + 1) /
(3n + 4)
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] +
1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1] = n / (3n + 1)
+ 1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1 ]
k=1
k=1
n+1
n
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] =
Σ 1/[(3k - 2) * (3k + 1)] +
1 / [ 3(n + 1) - 2 * 3(n + 1) + 1] = n / (3n + 1)
+ 1 / [ (3n + 1) * (3n + 4) ]
k=1
k=1
rechte Seite
n / (3n + 1) + 1 / [ (3n + 1) * (3n + 4) ]
=
n * (3n + 4) + 1 =
(3n + 1) * (3n + 4)
3n²+ 4n + 1
= //Faktorisierung
(3n + 1) * (3n + 4)
(n + 1) * (3n + 1) =
(3n + 1) * (3n + 4)
(n + 1) /
(3n + 4)
16. Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b)
n
Σ k * 2k-1
k= 2
k 2
3 4
5 6
7
ak 4 12 32 80 192
448
sk 4 16
48 128 320 768
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
1.Induktionsanfang
Für n = 2 gilt die Aussage 2 * 22-1 = (2 - 1) * 22
2 * 2 = 1 * 4
4 = 4
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ k * 2k-1
= (n - 1) * 2n
k= 2
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ k * 2k-1
= n * 2n+1
k= 2
n+1 n
Σ k * 2k-1
=
Σ k * 2k-1
+ (n + 1) * 2n
= (n - 1) * 2n
+ (n + 1) * 2n
k= 2
k= 2
rechte Seite
(n - 1) * 2n +
(n + 1) * 2n
=
n * 2n - 2n
+ n * 2n
+ 2n
=
n * 2n +
n * 2n
=
21 *
n * 2n
=
n * 2n+1
Weitere Beweise mittels vollständiger Induktion
Der Induktionsbeweis kann auch dadurch erbracht werden, dass die
Induktionsvoraussetzung unter Benutzung
bekannter Gesetzmäßigkeiten so umgeformt wird, dass sich die
Induktionsbehauptung ergibt.
1.Beweis durch Vollständige
Induktion
18) Zu beweisen ist die Wahrheit der Aussage
Für alle natürlichen Zahlen n gilt 2n >
n
Voraussetzung: n ist eine beliebige natürliche Zahl
Behauptung: 2n > n
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 0 gilt die Aussage 20
> 0
1 > 0
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
2n > n
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > n + 1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > n
/ *2
2 * 2n > 2 * n
/ Umformung
2n+1 > n + n
2n+1 > n + 1
/ n + n ≥ n + 1 gilt
aber nur für n > 0
Deshalb kann n = 0 nicht als Induktionsanfang genommen werden.
Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 21
> 1
2 > 1
Erst damit ist die behauptete Ungleichung für alle natürlichen n bewiesen.
Das nächste Beispiel soll deutlich machen, dass man den Induktionsschritt statt
von
n auf n + 1 auch von n - 1 auf n ausführen kann. Auch dabei handelt es sich ja
um den Schluss
von einer beliebigen, aber festen natürlichen Zahl auf deren Nachfolger.
Manchmal ergeben sich auf
diese Weise etwas leichter zu bearbeitende Terme.
2. Beweis durch Vollständige Induktion
19) Zu beweisen ist der Satz
Die Summe der dritten Potenzen dreier aufeinander folgender natürlicher Zahlen
ist stets durch 9 teilbar.
Behauptung:
n3 + (n + 1)3
+ (n + 2)3 = eine
natürliche Zahl
9
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 0 + 13
+ 23 = 9
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
Für n = k - 1 sei
(k - 1)³ + k³
+ (k + 1)³ = eine
natürliche Zahl
9
Induktionsbehauptung:
Dann ist auch für den Nachfolger von k-1 also k k3
+ (k + 1)3 +
(k + 2)³
= eine natürliche Zahl
9
Induktionsbeweis:
Die Terme in Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung stimmen nahezu
überein, nur dass
an Stelle von (k - 1)3 bei dem einen in
dem anderen (k + 2)3 im Zähler auftritt.
(k - 1)3 = (k - 1)
* (k - 1)2
(k - 1)3 = (k - 1)
* (k2 - 2k +1)
(k - 1)3
= k3 - 3k2
+ 3k - 1
(k + 2)3 = (k + 2)
* (k + 2)2
(k + 2)3 = (k + 2)
* (k2 + 4k + 4)
(k + 2)3
= k3 + 6k2
+ 12k + 8
|
|
(k + 2)3 = k3
- 3k2 + 3k - 1
+ 9k2 + 9k
+ 9
|
|
(k - 1)3
Auffüllen
(k + 2)3 = (k - 1)3
+ 9 * (k2 + 9 + 1)
Induktionsbehauptung:
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³ + 9 * (k² + 9 + 1)
9
9
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³
+ 9 * (k² + 9 + 1)
9
9
9
k³
+ (k + 1)³ + (k + 2)³
=
k³
+ (k + 1)³ + (k
- 1)³
+ (k² + 9 + 1)
9
9
|
|
|
Induktionsbehauptung
Induktionsvoraussetzung
2.Summand
1.Summand
Nach der Induktionsbehauptung ist der erste dieser beiden Summanden eine
natürliche Zahl.
Da auch der zweite Summand natürlich ist, ist die Summe eine natürliche Zahl.
Damit ist gezeigt,
dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges festes n = k - 1 die
Gültigkeit für den
Nachfolger n + 1 = k folgt. Wegen des Induktionsanfangs gilt also die Aussage
für alle natürlichen
Zahlen. Der Satz ist damit bewiesen.
3. Beweis durch Vollständige
Induktion
20) Es ist eine Formel für die Summe sn der Innenwinkel in ebenen n-Ecken zu
ermitteln.
Innenwinkelsumme Dreiecke n = 3 ; s3= 180
Wenn das n-Eck (n > 3) konvex ist, so kann man es von einem beliebigen Eckpunkt
aus mittels (n - 3)
Diagonalen in (n - 2) Dreiecke zerlegen.
Dabei werden auch die Innenwinkel des n-Ecks zerlegt.
sn= (n - 2) * 180 Grad
konvex: nach außen gewölbt, Linse
konkav: nach innen gewölbt
Beide Vielecke liegen in einer ebene.
Definition konvexes ebenes Vieleck:
Ein ebenes Vieleck heißt konvex, wenn in ihm für jede Seite s gilt: Das Vieleck
liegt gänzlich in einer der
beiden Halbebenen, die durch die durch s verlaufende Gerade erzeugt werden. Eine
Gerade zerlegt eine Ebene
immer in zwei Halbebenen.
konvexes ebenes Fünf-Eck
mit (n - 3) 5 - 3 = 2 Diagonalen
mit (n - 2) 5 - 2 = 3 Dreiecken
Beweis
Vorraussetzung n ist eine beliebige natürliche Zahl, n > 3
Behauptung: sn= (n - 2) * 180 Grad
1. Induktionsanfang:
Für n = 3 gilt die Aussage s3= 180 Grand (Innenwinkelsumme der Dreiecke)
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
sn= (n - 2) * 180 Grad
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für n = n + 1
sn+1= ((n + 1) - 2) * 180 Grad
sn+1= (n - 1) * 180 Grad
Induktionsbeweis:
Das (k + 1) - Eck kann durch eine passend gewählte Diagonale in ein n-Eck und
ein Dreieck zerlegt werden.
Die Innenwinkelsumme des (n + 1)-Ecks setzt sich demnach aus der Winkelsumme des
n-Ecks und der des Dreiecks
zusammen.
(n - 2) * 180 Grad +
180 Grad
=
(n - 1) * 180 Grad
|
|
|
n-Eck
Dreieck
(n + 1)-Eck
n * 180 Grad - (2 * 180 Grad) + 180 Grad
=
n * 180 Grad - 180 Grad
n * 180 Grad - 180 Grad =
n * 180 Grad - 180 Grad
1. Ermitteln Sie, von welchem n ab die folgenden Ungleichungen gelten, und
beweisen Sie die
Behauptungen durch vollständige Induktion!
4. Beweis durch vollständige
Induktion
a)
2n > 2n
Voraussetzung: n ist eine beliebige natürliche Zahl n ≥ 0
Behauptung: 2n > 2n
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 20
> 2 * 0
1 > 0
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
2n > 2n
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > 2n + 2
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > 2n
/ *2
2 * 2n > 4n
/ Umformung
2n+1 > 4n
2n+1 > 2n + 2
/Gilt wegen: 4n ≥ 2n + 2 gilt aber
nur für n > 0
Deshalb kann n = 0 nicht als Induktionsanfang genommen werden.
Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage nicht 21
= 2 * 1
2 = 2
Für n = 2 gilt die Aussage nicht 22
= 2 * 2
4 = 4
Für n = 3 gilt die Aussage 23
> 2 * 3
8 > 6
Die Ungleichung ist bewiesen für folgende natürlichen n, n = 0 und n > 2
b)
5. Beweis durch
vollständige Induktion
2n > 2n + 1
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl, n > 2
Behauptung: 2n > 2n
+ 1
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 3 gilt die Aussage 23
> 2 * 3 + 1
8 > 7
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 2 gelte
2n > 2n + 1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > 2n + 3
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > 2n + 1
/ *2
2 * 2n > 4n + 2
/ Umformung
2n+1 > 4n + 2
2n+1 > 2n + 3
/Gilt wegen: 4n + 2 > 2n + 3 gilt für n > 2
6. Beweis durch
vollständige Induktion
c)
2n > n2
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl, n > 4
Behauptung: 2n >
n2
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 5 gilt die Aussage 25
> 52
32 > 25
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 4 gelte
2n > n2
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > (n + 1)2
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > n2
/ *2
2 * 2n > 2 * n2
/ Umformung
2n+1 >
n2 + n2
2n+1 >
(n + 1)2
/Gilt wegen: n2 + n2
> n2 + n + 1 gilt für n >1
7. Beweis durch vollständige Induktion
2) Beweisen Sie die Gültigkeit der folgenden Ungleichung für n > 1!
1/ (n + 1) + 1/(n + 2) + ... + 1/2n > 13/24
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Voraussetzung: n ist eine natürliche Zahl n >1
Behauptung:
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Beweis:
1. Induktionsanfang:
Für n = 2 gilt die Aussage
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
4
Σ 1/k > 13/24
k=3
4
Σ 1/k = 1/3 + 1/4 = 7/12
k=3
7/12 > 13/24
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung
für ein beliebiges n, n > 1 gelte
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2 *(n + 1)
Σ 1/k
> 13/24
k= n + 1 + 1
2n + 2
Σ 1/k > 13/24
k= n + 2
Induktionsbeweis
2n
Σ 1/k > 13/24
k= n+1
2n + 2
2n
Σ 1/k >
Σ 1/k
k= n + 2 k= n + 1
für n = 5
12
10
Σ 1/k >
Σ 1/k
k= 7
k= 6
2n + 2
Σ 1/k > 13/24
k= n + 2
3) Beweisen Sie durch vollständige Induktion!
7. Beweis durch vollständige
Induktion
a)
92 - 1 = eine natürliche Zahl
8
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage (90 - 1) / 8 = 0
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
(9n - 1) / 8 = eine natürliche Zahl
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
(9n+1 - 1) / 8 = eine natürliche Zahl
Induktionsbeweis:
(9n - 1) / 8 = eine natürliche Zahl /
Voraussetzung
(9n+1 - 1) / 8 = eine natürliche Zahl /Behauptung
(9n+1 - 1) / 8 = (9 * 9n - 1) / 8
72 * 9n - 8 =
8 * 9n - 8 +
64 * 9n
8
8
8 8
8
72 * 9n - 8
= 8 * 9n - 8
+
8 * 9n
8
8
8 8
|
|
|
Induktionsbehauptung
Induktionsvoraussetzung
2.Summand
1.Summand
Nach der Induktionsbehauptung ist der erste dieser beiden Summanden eine
natürliche Zahl.
Da auch der zweite Summand natürlich ist, ist die Summe eine natürliche Zahl.
Damit ist gezeigt,
dass aus der Gültigkeit der Aussage für ein beliebiges festes n die
Gültigkeit für den
Nachfolger n + 1 folgt. Wegen des Induktionsanfangs gilt also die Aussage
für alle natürlichen
Zahlen. Der Satz ist damit bewiesen.
8. Beweis durch Vollständige
Induktion
b)
11n+2 + 122n+1 = eine natürliche
Zahl
133
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 112 + 121 = 133
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
11n+2 + 122n+1 = durch 133 teilbar
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
11n+3 + 122n+3 = durch 133 teilbar
Induktionsbeweis:
11 * 11n+2 + 122 * 122n+1
= // Induktionsbehauptung umgeformt
11 * 11n+2 + 144 * 122n+1 // Induktionsbehauptung umgeformt
es gilt 144 = 11 + 133
11 * 11n+2 + 11 * 122n+1
+ 133 * 122n+1 = //
Anwendung von 144 = 11 + 133
11 * (11n+2
+ 122n+1 )
+ 133 * 122n+1
|
|
1. Summand
2. Summand
laut Induktionsvoraussetzung durch
wegen Faktor 133 ebenfalls durch
133 teilbar
133 teilbar
9. Beweis durch Vollständige
Induktion
11n+1 + 122n-1 = eine natürliche
Zahl n ≥ 1
133
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 112 + 121 = 133
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
11n+1 + 122n-1 = durch 133 teilbar
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
11n+2 + 122n+1 = durch 133 teilbar
Induktionsbeweis:
11 * 11n+1 + 122 * 122n-1
= // Induktionsbehauptung umgeformt
11 * 11n+1 + 144 * 122n-1 // Induktionsbehauptung umgeformt
es gilt 144 = 11 + 133
11 * 11n+1 + 11 * 122n-1
+ 133 * 122n-1 = //
Anwendung von 144 = 11 + 133
11 * (11n+1
+ 122n-1 )
+ 133 * 122n-1
|
|
1. Summand
2. Summand
laut Induktionsvoraussetzung durch
wegen Faktor 133 ebenfalls durch
133 teilbar
133 teilbar
10.Beweis durch Vollständige
Induktion
3
n
c) * 2
+1 ist durch 3n+1 teilbar.
|
2^3^n
einfacher ausgedrückt
2^3^n = k * 3^(n+1) - 1
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 0 gilt die Aussage 2^3^0 = k * 3^(0+1) - 1
2^3 = k * 3 - 1
8 = 4 * 2
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
2^3^n = k * 3^(n+1) - 1
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
2^3^(n+1) = k * 3^(n+2) - 1
Induktionsbeweis:
2^3^(n+1) = 2^[ (3^n) * (3^1) ] =
(2^3^n)^3
|
linke Seite der Induktionsvoraussetzung
(2^3^n)^3 = (k * 3^(n+1) - 1)^3
|
rechte Seite der Induktionsvoraussetzung
(k * 3^(n+1) - 1)^3 = [(k * 3^(n+1) - 1)^2] * (k * 3^(n+1) - 1)
nur die Rechte Seite:
[(k * 3^(n+1) - 1)^2]
*
(k * 3^(n+1) - 1) =
[k * 3^(2n+2) - 2 * k * 3^(n+1) +1]
*
(k * 3^(n+1) - 1) =
k * 3^(3n+3) - 2 * k * 3^(2n+2) + k *
3^(n+1) - k * 3^(2n+2) +
2 * k * 3^(n+1) - 1 =
k * 3^(3n+3) - 3 * k * 3^(2n+2) + 3 * k * 3^(n+1)
- 1 =
k * 3^(3n+3) - k * 3^(2n+3) + k * 3^(n+2)
- 1 =
2^3^(n+1) =
[ k * 3^(2n+1) - k *
3^(n+1) + k ]
*
3^(n+2) - 1
|
|
1. Faktor der Induktionsbehauptung
2. Faktor der Induktionsbehauptung
11. Beweis durch Vollständige Induktion
4) Ermitteln Sie die Anzahl der Diagonalen in einem ebenen n-Eck, und beweisen
Sie die gefundene Formel sowohl
mittels vollständiger Induktion als auch ohne dieses Verfahren!
k(n) = (n * (n - 3) /2)
n > 3
Anzahl der Ecken
n
|
|
n 3
4 5
6
7
8
k(n) 0 2
5 9
14
20
|
| |
Anzahl der Diagonalen
k(n) k(n+1)
s(n) 0 2
7 16 30
50
|
Summe der Diagonalen Summenformel: s(n) = [ n * (n+1) * (n-4) / 6] + 2
n
Σ n * (n - 3) /2)
= [ n * (n+1) * (n-4) / 6] + 2
k= 3
rekursiv:
k(n+1) = k(n) + n - 1
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 4 gilt die Aussage k(4) = (4 * (4-3) / 2)
k = 2
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
k(n) = (n * (n - 3) /2)
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von k(n), k(n +1)
k(n+1) = [ (n+1) * (n - 2) /2) ]
k(n+1) = (n²- 2n + n - 2 ) / 2
k(n+1) = (n²- n - 2 ) / 2
Induktionsbeweis:
k(n+1) = k(n) + n - 1
k(n+1) = [n * (n - 3) /2] + n - 1
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + n - 1
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + [ 2 * (n - 1) / 2]
k(n+1) = [ (n²- 3n) /2 ] + [ (2n - 2) / 2]
k(n+1) = (n²- n -
2 ) / 2
Direkter Beweis
Anzahl aller Verbindungslinien im n-Eck sind
(n-1) + (n-2) + (n-3).... = n * (n-1)/2
Abzug der Außenlinien n weil keine Diagonalen
(n * (n-1) / 2) - n
(n * (n-1) / 2) -2n/2 = n * (n - 3) / 2
12. Beweis durch Vollständige
Induktion
Beweisen Sie durch Vollständige Induktion, dass 6n - 1, n∈N, ein Vielfaches von
5 ist!
6n - 1 = 5 * k
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für n = 1 gilt die Aussage 61 - 1 = 5 * k
6 - 1 = 5 * 1
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
6n
- 1 = 5 * k
Induktionsbehauptung:
Dann gilt auch für den Nachfolger von n, n + 1
6n+1 - 1 = 5 * k
Induktionsbeweis:
61 * 6n - 1 = 5 * k //Induktionsbehauptung
6 * (6n
- 1) + 6 - 1 = 5 * k
|
linke Seite der Induktionsvoraussetzung
6 * (6n - 1) + 5 = 6 * 5k + 5
6 * 5k + 5 lässt sich durch 5 teilen.
13. Beweis durch Vollständige
Induktion
5) Beweisen Sie den folgenden Satz durch vollständige Induktion!
Haben n verschiedene Geraden einer Ebene einen Punkt gemeinsam, so wird die
Ebene von den Geraden in 2 * n Teile zerlegt.
n
Σ 2 * k / k = 2n
k > 0
k=1
k
1 2
3 4
5
ak 2 2
2 2
2
sk 2 4
6 8
10
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 2 * 1/1 = 2 * 1
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 2 * k / k = 2n
k > 0
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 2 * k / k = 2 * (n + 1)
k > 0
k=1
n+1
Σ 2 * k / k =
2n + 2
k=1
n+1
n
Σ 2 * k / k =
Σ 2 * k / k + 2 * (n+1) / (n+1)
= 2n + 2 * (n+1) / (n+1)
k=1
k=1
rechte Seite:
2n + 2 * (n+1) / (n+1) =
2n + 2
Anwendungen zu Folgen und ihren Partialsummen
21) 220 Meter Papier (Stärke 0,2mm) werden auf eine Rolle mit dem Radius 7,5 cm
gewickelt.
a) Wie viele Lagen ergeben sich?
b) Wie lang ist der Durchmesser der Rolle zum Schluss?
220m = 220000mm Summe der Kreisumfänge
1. Umdrehung
uk= 2π * rk
2. Umdrehung
uk+1= 2π * ( rk + 0,2mm)
uk+1= 2πrk + 0,4π
uk+1= uk + 0,4π
// um 0,4π vergrößert sich bei jeder Umdrehung der Umfang
n
Σ uk = n *
u1 +
n * (n - 1) * 0,4π
k= 1 2
|
weil bei der ersten Umdrehung keine Vergrößerung um 0,4π ist
n
Σ k =
n * (n + 1)
k= 1 2
n-1
Σ k =
n * (n - 1)
k= 1 2
220000mm = n * 150π + (n²- n) * 0,4π
2
220000mm = n * 150π + n² * 0,2π
- n * 0,2π
0 = n² * 0,2π + n * 149,8π -
220000
0 = n²π + 749 nπ - 1100000
0 = n² + 749 n - 350140,87
P/ Q Formel
n1 = -374,5 + 700,27
n1 = 325,77
n = 326
b)
rn= r1 + (n - 1) * 0,2mm
r326= 75mm + 325 * 0,2mm
r326= 140mm
Durchmesser= 280 mm
Logarithmus
Im Bereich der reellen Zahlen gilt der Satz:
Für jede Zahl a > 0 und jede Zahl b > 0 mit b≠1 gibt es genau eine Zahl x, die
Lösung der Gleichung
bx
= a ist.
x = logb a
Beispiele:
log2 32 = 5;
denn 25 = 32
log2 0,25 = -2; denn 2-2
= 1 = 1
22 4
log9 3 = 0,5;
denn 90,5 =
√9 = 3
Logarithmengesetze
logb (a * c) = logb a + logb
c
log2 (4 * 16) = 2 + 4
logb (a / c) = logb a - logb
c
log2 (64 / 16) = 6 - 4
logb ac
= c *
logb a
log5 252 = 2 *
log5 25 = 4
Meist rechnet man mit Logarithmen zur Basis 10, das heißt mit den dekadischen
Logarithmen (Symbol lg).
22) Folgende Gleichungen sind zu lösen! x5
= 29 und 5x = 29
x5 = 29
lg x5 = lg 29
5 * lg x = lg 29
5 * lg x = 1,462 //
/5
lg x = 0,292
x= 100,292
x= 1,96
5x = 29
lg 5x = lg 29
x * lg 5 = lg 29
x= lg 29 / lg 5
x= 1,462 / 0,699
x= 2,09
23) Zwischen den Längen 15mm und 210mm sind weitere vier Längen so
einzuschalten,
dass eine geometrische Stufung erreicht wird.
(sn) = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6
s1= 15
s6= 210
(sn) = 15 +
15 * q +
15 * q2
+ 15 * q3
+ 15 * q4
+
15 * q5
|
|
s1
s6
15 * q5 = 210
q5 = 14
5 * lg q = lg 14
5 * lg q = 1,146 / /5
lg q = 0,229
100,229 = 1,69
q = 1,69
Die gesuchte geometrische Stufung ist:
(sn) = 15mm + 25,35mm + 42,84mm + 72,40mm + 122,36mm + 210mm.
24) Jemand rechnet zur Ermittlung von q folgendermaßen:
5 * lg q = lg 14
lg q = lg 2,8 usw.
Analysieren Sie den Fehler!
(lg 14) ≠ lg 14
5
5
24.1) Für welche natürliche Zahl n gilt in der monoton fallenden geometrischen
Folge (an) mit
a0= 4
q= 19/20
erstmalig an < 1,5 ?
Hierbei ist an nicht das n-te Glied, sondern das (n + 1)-te Glied.
explizite Zuordnungsvorschrift:
an= 4 * (19/20)n
n∈N
4 * (19/20)n < 1,5 / /4
(19/20)n < 0,375
n * lg (19/20) < lg 0,375
n * (-0,0223) < -0,426 / / -0,0223
n > 19,1
Lösung: Für n = 20 gilt an < 1,5.
24.2)
a) Überprüfen sie die im Beispiel 24.1 ausgesprochene Vermutung, korrigieren Sie
gegebenenfalls, und beantworten
Sie die in diesem Beispiel gestellte Frage!
n 0 1
2 3
19 20
an 4 3.8
3,61 3,4295 1,509
1,433
b) Woraus erklärt sich beim Lösen der Ungleichung im Beispiel 24.1 der Wechsel
vom Kleiner- zum Größerzeichen?
Division mit negativer Zahl = Vorzeichenwechsel
Aufgaben
1) Eine endliche arithmetische Folge (ak) habe die Differenz -2 und als
letztes Glied die Zahl 17.
a) Wie viele Glieder hat die Folge, wenn die Summe aller Glieder 897 beträgt?
b) Das wievielte Glied ist 43, wenn die Folge 50 Glieder hat?
a)
Hilfsmittel umgekehrte Folge
Folge ak = 17 + ( 2 * (n - 1))
k 1
2 3
4 5
ak 17 19
21 23 25
an 17 36
57 80 105
an = n² + 16n
897 = n² + 16n
n² + 16n - 897 = 0
p/q-Formel
n= 23
eigentliche Folge
ak= 61 - (2 * (n - 1))
b)
Hilfsmittel umgekehrte Folge
Folge ak = 17 + ( 2 * (n - 1))
a50= 17 + (2 * 49)
a50= 115
eigentliche Folge
ak= 115 - (2 * (n - 1))
43= 115 - (2 * (n - 1))
43= 115 - 2n + 2
2n= 74 / / 2
n= 37
a37= 43
2) Berechnen Sie a1, a2, und a15 einer arithmetischen Folge!
9
Σ ak = 92,25
k=1
q+1 + q+2 + q+3 + q+4 + q+5 + q+6 + q+7 + q+8 + q+9 = 9 * q + 45
| |
a1 a2
n
Σ k = (n²+ n)
k=1 2
9
Σ k = 45
k=1
9 * q + 45 = 92,25 / -45
9 * q = 47,25 / / 9
q = 5,25
9
Σ 5,25 + k = 92,25
k=1
a1= 6,25
a2= 7,25
a9= 14,25
15
Σ ak = 210
k=1
n
Σ k = (n²+ n)
k=1 2
15
Σ k = 120
k=1
15 * q + 120 = 210 / -120
15 * q = 90 / / 15
q = 6
15
Σ 6+ k = 210
k=1
a1= 7
a2= 8
a15= 21
3) In einer geometrischen Folge (ak) sei 64/243 das 7. Glied und q= -2/3
a) Wie lautet das Anfangsglied?
k 1
2 3
7
ak x x *
q x * q²
64/243
x * q6 = 64/243
x * 64/729 = 64/243
x= 3
a1= 3
b) Berechnen Sie Partialsumme s6 und s7!
6
Σ 3 * (-2/3)k-1
k=1
s6= 133/81
s7= 463/243
c) Welches Glied ist erstmalig dem Betrag nach kleiner als 0,01.
3 * (-2/3)k-1 < 0,01
(-2/3)k-1 < 1/300
(k-1) * lg 2/3 < lg 1/300
/ Betrag
(k-1) * -0,176 < -2,477
k * -0,176 + 0,176 < -2,477
k * -0,176 < -2,653
/ / -0,176
k > 15,07
k = 16
4) Eine geometrische Folge (ak) habe die Glieder a1= 7 und a6= 2,29.
a) Wie groß ist der Quotient dieser Folge?
a1 a2
a3
a4 a5
a6
a1 q * a1
q2 * a1 q3 * a1
q4 * a1 q5 * a1
q5 * a1 = 2,29
7 * q5 = 2,29
q5 = 0,327
5 * lg q = lg 0,327
lg q = - 0,097
q= 0,8
ak= 7 * 0,8k-1
b) Welches Glied ist erstmalig kleiner als 1?
7 * 0,8n-1 < 1
0,8n-1 < 1/7
(n - 1) lg 0,8 < lg 1/7
(n - 1) * -0,0969 < -0,8451
-n * 0,0969 + 0,0969 < -0,8451
-n * 0,0969 < -0,942 / / 0,0969
-n < -9,721 / * -1
n > 9
Das 10. Glied ist erstmalig kleiner als 1.
c) Wie viele Glieder sind zu summieren, wenn die Summe 28,0 betragen soll?
k 1
2 3
4 5
6 7
8
ak 7
5,6 4,48
3,584 2,862 2,29
1,83 1,46
an 7
12,6 17,08 20,66
23,53 25,82 27,64
n
Σ 7 * 0,8k-1
k= 0
an= 7 * qn - 1
q - 1
28 = 7 * (0,8n -1) / -0,2
/*-0,2
-5,6 = 7 * 0,8n - 7
/ + 7
1,4 = 7 * 0,8n
0,2 = 0,8n
lg 02 = n * lg 0,8
-0,699 = n *- 0,096 / /0,096
n= 7,28
5) Messungen ergeben, dass die Temperatur zum Erdinnern hin um etwa 3°C je 100
Meter
Tiefe zunimmt, wobei in unseren Breiten eine Temperatur von 10°C in 25 Meter
Tiefe zugrunde
zu legen ist.
a) Welche Temperatur herrscht in 2300 Meter Tiefe?
in 2325 Meter Tiefe
23
10 +
Σ 3 = 10 + 69 = 79
k=1
23
Σ 3 = 3 * n
k=1
Zeichen für Entspricht
100 Meter ≙ 3° ≙
25 Meter ≙ x
x= 0,75
In 2300 Meter Tiefe herrschen 78,25 °C.
Zeichen für
kleiner gleich und größer gleich in HTML
kleiner gleich ≤
größer gleich ≥
b) In welcher Tiefe werden 100°C erreicht?
10 + 3 * n = 100
n= 30
30 * 100m = 3000m
3000m + 25m = 3025m
In 3025 Meter Tiefe herrschen 100°C.
c) Ein Thermalbad in Karlovy Vary wird von eine Quelle von 72°C gespeist. Aus
welcher
Tiefe kommt sie?
10 + 3 * n = 72
n= 62/3
62/3 * 100m = 2066,66m
2066,66m + 25m = 2091,66m
6) Bei einer Drehmaschine ist die niedrigste Drehzahl 20 min-1
und die höchste 100 min-1.
Dazwischen liegen weitere vier Drehzahlen, die geometrisch abgestuft sind.
Ermitteln Sie die
gesamte Folge der Drehzahlen!
(sn) = s1 + s2 + s3 + s4 + s5 + s6
s1= 20
s6= 100
(sn) = 20 +
20 * q +
20 * q2
+ 20 * q3
+ 20 * q4
+
20 * q5
|
|
s1
s6
20 * q5 = 100
q5 = 5
5 * lg q= lg 5
lg q= 0,1397940009
q= 1,379729661
Die gesuchte geometrische Stufung ist:
(sn) = 20min-1 + 27,59min-1 +
38,07min-1 + 52,53min-1 + 72,48min-1
+ 100min-1 .
7) Die Vorzugszahlenreihen
R5, R10, R20 und R40 sind geometrische Folgen mit a0 = 1 und
a5 = 10
a10 = 10
a20 = 10
a40 = 10 .
Vorzugszahlenreihe R5
a0 a1
a2 a3
a4 a5
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 1 * q5
a0 = 1
a5 = 10
1 * q5 = 10
5 * lg q = lg 10
lg q = 1/5
q= 1,584893192
Vorzugszahlenreihe R10
a0 a1
a2 a3
a4....
a10
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q10
a0 = 1
a10 = 10
1 * q10 = 10
10 * lg q = lg 10
lg q = 1/10
q= 1,258925412
Vorzugszahlenreihe R20
a0 a1
a2 a3
a4....
a20
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q20
a0 = 1
a20 = 10
1 * q20 = 10
20 * lg q = lg 10
lg q = 1/20
q= 1,122018454
Vorzugszahlenreihe R40
a0 a1
a2 a3
a4....
a40
1 * q0 1 * q1
1 * q2 1 * q3
1 * q4 ....
1 * q40
a0 = 1
a40 = 10
1 * q40 = 10
40 * lg q = lg 10
lg q = 1/40
q= 1,059253725
a) Ermitteln Sie die Quotienten und die Glieder für R5 und für R10 ( Runden auf
drei gültige Ziffern)!
R5
q= 1,584893192
a0 a1
a2 a3
a4 a5
1 1,585 2,512
3,981 6,310 10
R10
q= 1,258925412
a0 a1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
a8 a9
a10
1
1,259 1,585
1,995 2,512
3,162 3,981
5,012 6,310
7,943 10
b) Eine verbindliche Rundwertreihe für R10 lautet:
1; 1,2; 1,6; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10.
Vergleichen Sie mit den genauen Werten! Ermitteln Sie dazu die maximale
prozentuale Abweichung!
a0 a1
a2 a3
a4 a5
a6 a7
a8 a9
a10
1
1,259 1,585
1,995 2,512
3,162 3,981
5,012 6,310
7,943 10
1
1,2 1,6
2,0 2,5
3,0 4,0
5,0 6,0
8,0 10
0% 4,69%
0,95% 0,25% 0,48%
5,12% 0,48%
0,24% 4,91% 0,72%
0%
für a1:
1,259 ≙ 100
1,2 ≙ x
x= 95,31
100 - 95,31 = 4,69
8) Ein Guthaben von 4000,00 Mark der DDR verbleibt 10 Jahre auf einem Sparkonto
und wird mit 3,25% verzinst.
Wie groß ist der gesamte Zinsbetrag, wenn
a) die Zinsen jährlich abgehoben werden;
4000 Mark der DDR ≙ 100%
x Mark der DDR ≙ 3,25%
x= 130 Mark der DDR
130 * 10 Jahre = 1300 Mark der DDR an Zinsen für 10 Jahre
b) die Zinsen jeweils nach Ablauf eines Jahres dem Guthaben zur weiteren
Verzinsung zugeschlagen werden?
Zinseszinsrechnung:
Gn = G0 * qn
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
1.Jahr
4000 * 3,25 / 100 = 130
4000 * 0,0325 = 130
gesamt im 1. Jahr:
4000 * 1,0325 = 4130 /
0,0325 + 1
gesamt im 2. Jahr:
4000 * 1,03252 =
4264,225
gesamt im 3. Jahr:
4000 * 1,03253 =
4402,81
gesamt im 4. Jahr:
4000 * 1,03254 =
4545,90
gesamt im 5. Jahr:
4000 * 1,03255 = 4693,65
gesamt im 6. Jahr:
4000 * 1,03256 = 4846,19
gesamt im 7. Jahr:
4000 * 1,03257 = 5003,69
gesamt im 8. Jahr:
4000 * 1,03258 = 5166,31
gesamt im 9. Jahr:
4000 * 1,03259 = 5334,21
gesamt im 10. Jahr:
4000 * 1,032510 = 5507,58
5507,58 - 4000 = 1507,58 Mark der DDR an Zinsen für 10 Jahre
9) Ein Waldbestand wird auf 2 Millionen m³, sein jährlicher Zuwachs auf 4%
geschätzt.
a) Wie groß ist gemäß dieser Schätzung der Holzbestand nach 10 Jahren, wenn in
der Zwischenzeit
kein Einschlag erfolgt?
Gn = G0 * qn
q = 1 + p/100
2 Millionen m³ * 1,0410 = 2,96048 Millionen m³
b) Wie groß ist der Holzbestand nach 15 Jahren, wenn jährlich 30000
m³eingeschlagen werden?
Rentenrechnung nachschüssig
Gn = G0 * qn +/- r(qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
Gn= 2 Millionen m³* 1,0415 - 30000 * (1,0415
- 1)
1,04 - 1
Gn= 3601887,011 - (30000 * 20,02358764)
Gn= 3601887,011 - 600707,6291
Gn= 3001179,382 m³
3.001.179,38
Rentenrechnung vorschüssig
für r = r * q
Gn = G0 * qn +/- r * q (qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
Gn= 2 Millionen m³* 1,0415 -
300000 * 1,04 *
(1,0415 - 1)
1,04 - 1
Gn= 3601887,011 - (300000 * 1,04 * 20,02358764)
Gn= 3601887,011 - 624735,9343
Gn= 2977151,077 m³
2.977.151,08
c) Wie viele Kubikmeter Holz könnten jährlich eingeschlagen werden, wenn damit
der Wald nach 15 Jahren
völlig abgeholzt sein soll?
Gn= 3601887,011 - (300000 * 20,02358764)
0= 3601887,011 - (x * 20,02358764)
x * 20,02358764 = 3601887,011 / /20,02358764
x= 179882,20 m³
Kontrolle der Zinsen- und Rentenberechnung
weitere Aufgaben:
1) Sind 1; 3; 1/2; 3/5; 7/4 und 7/5 Glieder der nachstehenden Folgen?
a) 2k - 1
5
a1= 1/5
a2= 3/5
a3= 5/5
a4= 7/5
a5= 9/5
a6= 11/5
a7= 13/5
a8= 15/5
b) 7/k
a1= 7
a2= 7/2
a3= 7/3
a4= 7/4
a5= 7/5
a6= 7/6
a7= 7/7
c) 3k - 2
k + 1
a1= 1/2
a2= 4/3
a3= 7/4
a4= 10/5
a5= 13/7
a6= 16/8
a7= 19/9
a8= 22/10
a9= 25/11
a10= 28/12
a11= 31/13
a12= 34/14
2) Ermitteln Sie die jeweils ersten fünf Glieder nachstehender Folgen!
a)
1 - 1/10k-1
a1= 1 - 1/101-1 = 0
a2= 1 - 1/102-1 = 9/10
a3= 1 - 1/103-1 = 99/100
a4= 1 - 1/104-1 = 999/1000
a5= 1 - 1/105-1 = 9999/10000
b) cos * k * π / 2 k ≥ 0
4
Σ cos * k * π / 2
k=0
a0= cos * 0 * 90° = 1
a1= cos * 1 * 90° = 0
a2= cos * 2 * 90° = -1
a3= cos * 3 * 90° = 0
a4= cos * 4 * 90° = 1
c) lg 10k k ≥ 0
4
Σ lg 10k
k=0
a0= 0 * lg 10 = 0
a1= 1 * lg 10 = 1
a2= 2 * lg 10 = 2
a3= 3 * lg 10 = 3
a4= 4 * lg 10 = 4
3)* Versuchen Sie, explizite und rekursive Zuordnungsvorschriften zu geben!
Aufgaben mit Stern bei der Nummer sind von erhöhtem Schwierigkeitsgrad.
a) 0; 4; 8/3; 12/5; ...
k 0
1 2
3
4 5
6
ak 0
4/1 8/3
12/5 16/7
20/9 24/11
ak= 4 * k
2k - 1
ak+1= ak - 4/((2 * k)² - 1)
Probe:
24/11= 20/9 - 4/99
b) 1; 1; 3/4; 4/8; 5/16; ...
k 0
1 2
3
4 5
6
ak 1 1
3/4
4/8 5/16 6/32
7/64
ak= k + 1
2k
ak+1= 1/2 * ak + 1
2k
c) 2; 6; 12; 20; 30; ...
k
1 2
3
4 5
6
ak 2
6 12
20 30
42
ak= (k + 1)² - (k + 1)
ak+1= ak + 2 * (k + 1)
d) 3/8; 8/15; 15/24; 24/35; ...
ak= k * (k + 2)
(k + 1) * (k + 3)
4) Setzen Sie um jeweils vier Glieder fort, so dass geometrische Folgen ak
entstehen!
a) 2/3; 1; 3/2; ...
q= 3/2
9/4; 27/8; 81/16; 243/32
b) -1; 0,8; ...
q= -0,8
-0,64; 0,512; -0,4096; 0,32768
c) √3; 3;
q= √3
3 * √3; 9; 9 * √3; 27
In welcher dieser Folgen wird 1000 überschritten, wenn man sie weit genug
fortsetzt?
Geben Sie in diesem Falle k an!
a) ak= 2/3 * (3/2)k-1
1000 =
2/3 * (3/2)k-1
// erst 1000 / (2/3)
(3/2)k-1 = 1500
(k - 1) * lg (3/2) = lg 1500
(k - 1) * 0,176 = 3,176
(k - 1) = 18,045
k= 19,045
Das heißt erst ab k= 19,045 ist ak größer als 1000. Bei k= 19 ist ak noch
kleiner
als 1000.
Das Ergebnis ist also k= 20.
c) ak= (√3)k
1000= (√3)k
k * lg √3 = lg 1000
k * 0,23856 = 3
k= 12,58
k= 13
5) Wie viele Glieder haben die nachstehenden endlichen geometrischen Folgen?
a) 1; 5; 25; ...; 15625
ak= 5k-1
15625= 5k-1
(k - 1) * lg 5 = lg 15625
(k - 1) * 0,699 = 4,194
(k - 1) = 6
k= 7
Die Folge hat 7 Glieder.
b) 81; 54; 36; ...; 3 13
81
q= 2/3
ak= 81 * (2/3)k-1
256/81 = 81 * (2/3)k-1
(2/3)k-1 = (256/81) / 81
(2/3)k-1 = (256/6561)
(k - 1) * lg 2/3 = lg 256/6561
(k - 1) = 8
k= 9
Die Folge hat 9 Glieder.
c) 2; 6; 18; ...; 4374
ak= 2 * 3k-1
4374 = 2 * 3k-1
3k-1 = 2187
(k - 1) * lg 3 = lg 2187
k - 1 = 7
k= 8
Die Folge hat 8 Glieder.
6)* Für gewisse Folgen ak kann die Untersuchung auf Monotonie auch durch
Betrachtung des Quotienten ak+1 / ak erfolgen.
Erläutern Sie das näher an Hand der Beispiele!
Nicht nur q ist entscheidend, sondern auch ob ak > 0 oder ak < 0 ist.
ak= (k + 1)
(2k - 1)
(k + 2)
(2k + 1) =
(k + 1)
(2k - 1)
2k² + 3k - 2
2k² + 3k + 1
monoton fallend weil:
q < 1
ak > 0 für alle k
ak= (1 - k)
(2k - 1)
-k
(2k + 1) =
(1 - k)
(2k - 1)
2k² - k
2k² - k - 1
monoton fallen weil:
q > 1
ak < 0 für alle k > 1
7) Beweisen Sie, dass die Summe der Kuben der natürlichen Zahlen von 1 bis n
gleich dem Quadrat
der Summe dieser natürlichen Zahlen ist!
n
n
Σ k³ = ( Σ
k )²
k=1 k=1
n
Σ k³ = [(n² + n) / 2]²
k=1
n
Σ k³ = (n4
+ 2n³ + n²) / 4
k=1
17. Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ k³ = (n4
+ 2n³ + n²) / 4
k=1
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
1³ = (1 + 2 + 1) / 4
1 = 1
2. Induktionsschritt
n
Σ k³ + (n + 1)³ =
[(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
k=1
(n4
+ 2n³ + n²) / 4 + (n + 1)³ = [(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)³] / 4 = [(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
nur die linke Seite:
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)³] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n + 1)² * (n * 1)] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n² + 2n + 1) * (n + 1)] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4 *
(n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) ] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 4n³ +
4n² + 8n² + 8n + 4n + 4 ] / 4
[n4 + 6n³ +13n² + 12n + 4 ] / 4
nur die rechte Seite
[(n+1)4
+ 2 * (n + 1)³ + (n + 1)²] / 4
[(n + 1)² * (n + 1)² + 2 * ((n + 1)² * (n + 1)) + (n + 1)²] /
4
[(n² + 2n + 1) * (n² + 2n + 1) + 2 * ((n² + 2n + 1) * (n + 1)) + n²
+ 2n + 1] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 2n³ + 4n² + 2n +
n² + 2n + 1 + 2 * (n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) + n² + 2n + 1] / 4
[n4 + 2n³ + n² + 2n³ + 4n² + 2n +
n² + 2n + 1 + 2n³ + 2n² + 4n² + 4n + 2n + 2 + n² + 2n + 1] / 4
[n4 + 6n³+ 13n²+ 12n + 4] / 4
8) Ermitteln Sie eine Summenformel für die Summe der Quadrate der ungeraden
Zahlen,
und beweisen Sie diese Formel!
n
Σ (2k - 1)² = 4/3n³ - 1/3n
k=1
k 1
2 3
4 5
6 7
ak 1 9
25 49 81
121 169
an 1 10
35 84 165
286 455
18. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ (2k - 1)² = 4/3n³ - 1/3n
k=1
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(2 * 1 - 1)² = 4/3 * 1 - 1/3 * 1
1 = 1
2. Induktionsschritt
4/3n³ - 1/3n + (2(n + 1) - 1)² = 4/3(n + 1)³ - 1/3(n
+ 1)
4/3n³ - 1/3n + (2n + 1)² = 4/3 *
(n + 1)² * (n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ - 1/3n + 4n² + 4n + 1 = 4/3 *
(n²+ 2n + 1) * (n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3 *
(n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3 *
(n³ + 3n² + 3n + 1) - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 4n + 4/3 - 1/3(n + 1)
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 4n + 4/3 - 1/3n - 1/3
4/3n³ + 4n² + 11/3n + 1 = 4/3n³ +
4n² + 11/3n + 1
19. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
9) Es ist zu beweisen, dass für alle natürlichen Zahlen n gilt:
sn= 1 - 4 + 9 - 16 + 25 + ... + (-1)n-1 * n²
n
Σ (-1)k-1 * k²
= (-1)n-1 * n * (n + 1)
k=1
2
k 1
2 3
4 5
6 7
ak 1 -4
9 -16 25
-36 49
an 1 -3
6 -10 15
-21 28
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(-1)1-1 * 1² = (-1)1-1
* 1 * (1 + 1)
2
(-1)0 * 1² = (-1)0 * 1
* (1 + 1)
2
1
= 1
2. Induktionsschritt
(-1)n-1 * n * (n + 1)
+ (-1)n+1-1 * (n + 1)² = (-1)n+1-1
* (n + 1) * (n + 1 + 1)
2
2
(-1)n-1 * n * (n + 1)
+ (-1)n * (n + 1)² = (-1)n
* (n + 1) * (n + 2)
2
2
-1 * (-1)n * n² +
n + 2 * (-1)n *
n² + 2n + 1 = (-1)n
* n² + 3n + 2
2
2
a = (-1)n
-a * n² + n +
2 * a *
n² + 2n + 1 = a
* n² + 3n + 2
2
2
-an² -an + 2an²
+ 4an + 2a = an²
+ 3an + 2a
2
2
an² + 3an + 2a =
an² + 3an + 2a
2
2
20. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
10)* Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die folgende Gleichung für
alle natürlichen Zahlen
n ≥ 1 gilt!
n
Σ (2k - 1) * (2k + 1)
= 4n³ +
6n² - n
k=1
3
k 1
2 3
4 5
ak 3 15
35 63 99
an 3 18
53 116 215
1.Induktionsanfang für n = 1
Für n = 1 gilt die Aussage
(2k - 1) * (2k + 1) = 4n³
+ 6n² - n
3
1 * 3 = 4 + 6 - 1
3
3 = 3
2. Induktionsschritt
4n³
+ 6n² - n + (2n + 2 - 1) * (2n + 2 + 1) = 4 * (n + 1)³
+ 6 * (n + 1)² - (n + 1)
3
3
4n³
+ 6n² - n + (2n + 1) * (2n + 3) = 4 * (n + 1)²
* (n + 1) + 6 * (n + 1)² - (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² -
n + 4n² + 8n + 3 = 4 * (n²
+ 2n + 1) * (n + 1) + 6 *
(n² + 2n + 1)
- (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² - n
+ 3 * (4n² + 8n + 3) = 4 *
(n³ + n²
+ 2n² + 2n + n + 1) + 6 *
(n² + 2n + 1)
- (n + 1)
3
3
4n³ + 6n² - n
+ 12n² + 24n + 9 = 4n³
+ 4n² + 8n² + 8n + 4n + 4 + 6n² + 12n + 6 - n - 1
3
3
4n³ + 18n² + 23n
+ 9 = 4n³ + 18n² +
23n + 9
3
3
11) Welche Summe ergeben alle durch 11 teilbaren Zahlen x mit 0 < x < 1000?
n
Σ 11k = 11n² + 11n
k=1
2
11n < 1000
n= 90
90
Σ 11k = 11 * 90² + 11 * 90
k=1
2
90
Σ 11k = 45045
k=1
33
12) Berechnen Sie
Σak für die arithmetische Folge
ak = -3,5; -2,8; ... !
k=17
n
Σ-4,2 + 0,7k
k=1
k 1
2 3
4 5
ak -3,5
-2,8 -2,1
-1,4 -0,7
an -3,5
-6,3 -8,4
-9,8 -10,5
an= k * (-35/10) + 7/10 * (k² - k)
2
a33= (-1155/10) + (3696/10)
a33= 2541/10
a16= (-560/10) + (840/10)
a16= 280/10
a33 - a16 = 2261/10
33
Σ-4,2 + 0,7k = 2261/10
k=17
13) Eine geometrische Folge ak habe das Anfangsglied a1= 2 und Quotienten q =
1,25.
a) Berechnen Sie das 4. Glied und die Summe der ersten 4 Glieder!
n
Σ2 * 1,25k-1
k=1
a1= 2
a4= 125/32
k 1
2 3
4 5
ak 2
5/2 25/8
125/32 625/128
an 2/1
9/2 61/8
369/32 2101/128
4
Σ2 * 1,25k-1 =
369/32
k=1
b) Welchen Index hat das Glied, das erstmals größer als 20 ist?
2 * 1,25k-1 = 20
1,25k-1 = 10
(k - 1) lg 1,25 = lg 10
k - 1 = 10,31
k = 11,31
Das erste Glied, welches größer als 20 ist, hat den Index 12.
14)* Wenn die reellen Zahlen a, b, c eine dreigliedrige arithmetische Folge
bilden, dann gilt
3 * (a² + b² + c²) = 6 * (a - b)² + (a + b + c)².
Beweisen Sie diesen Sachverhalt!
3 * (a² + b² + c²) = 6 * (a - b)² + (a + b + c)²
3a² + 3b² + 3c² = 6 * ( a² - 2ab + b²) + (a + b + c) * (a + b + c)
3a² + 3b² + 3c² = 6 * [( a² - 2ab + b²) + (a² + a b + ac + ab + b² + bc + ac +
bc + c²)]
3a² + 3b² + 3c² = 6a² - 12ab + 6b² + a² + a b + ac + ab + b² + bc + ac + bc + c²
3a² + 3b² + 3c² = 7a² - 10ab + 7b² + 2ac + 2bc + c²
a= a1
b= a1 + d
c= a1 + 2d
3a1² + 3 * (a1 + d)² + 3 * (a1 + 2d)² = 7 a1² - 10a1 * (a1 + d) + 7 * (a1 + d)²
+ 2a1 * (a1 + 2d) + 2 * (a1 + d) * (a1 + 2d) + (a1 + 2d)²
3a1² + 3 * (a1² + 2a1d + d²) + 3 * (a1² + 4a1d + 4d²) = 7a1² - 10a1² - 10a1d +
7a1² + 14a1d + 7d² + 2a1² + 4a1d + (2a1 + 2d) * (a1 + 2d) + (a1 + 2d)²
3a1² + 3a1² + 6a1d + 3d² + 3a1² + 12a1d + 12d² = 7a1² - 10a1² - 10a1d + 7a1² +
14a1d + 7d² + 2a1² + 4a1d + 2a1² + 4a1d + 2a1d + 4d² + a1² + 4a1d + 4d²
3a1² +
3a1² + 6a1d + 3d² +
3a1² + 12a1d + 12d² =
7a1² -
10a1² - 10a1d +
7a1² + 14a1d + 7d² +
2a1² + 4a1d +
2a1² + 4a1d + 2a1d + 4d² +
a1² + 4a1d + 4d²
9a1² + 6a1d + 3d² +
12a1d + 12d² = 9a1² -
10a1d +
14a1d + 7d² +
4a1d +
4a1d +
2a1d + 4d² +
4a1d + 4d²
9a1² + 18a1d + 15d² = 9a1² + 18a1d + 15d²
15) Ein gestufter Regelwiderstand R= 1kΩ ist so beschaffen, dass in jeder seiner
8 kleineren Stufen der jeweils ausgeschaltete Widerstand
proportional dem vorher vorhandenen ist. Der Endwiderstand beträgt R0= 100Ω. Wie
groß sind die Teilwiderstände R1 bis R8?
a0 a1
a2 a3
a4....
a8
100 * q0 100 * q1 100 * q2 100 * q3
100 * q4 .... 100 * q8
a0 = 100Ω
a8 = 1000Ω
100 * q8 = 1000
q8 = 10
8 lg q = lg10
lg q= 1/8
q= 1,333521432
R0
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
R8
100
133,35 177,83
237,14 316,23
421,70 562,34 749,89 999,99
16) Je nach konkreter Situation werden bei einer Tablettenkur unterschiedliche
Tagesdosen verordnet, zum Beispiel derart:
Am 1. Tag sind 3 Tabletten zu nehmen. Dann ist täglich um 2 Tabletten bis zur
Maximaldosis von 11 Tabletten zu steigern.
Insgesamt soll die Kur 21 Tage dauern, wobei das Abklinken am Ende umgekehrt wie
der Beginn erfolgt.
Wie viele Tage lang ist die Maximaldosis zu nehmen, und wie viele Tabletten
werden insgesamt für die Kur benötigt?
n
Σ3 + 2 * (k - 1)
k=1
k 1
2 3
4 5
ak 3 5
7 9
11
an 3 8
15 24 35
11 Tage lang 11Tabletten = 121 Tabletten
insgesamt 191 Tabletten
Berechnung DIN A Standard
17) Nach TGL 0-476 genügen die Papierformate der A-Reihe den folgenden
Bedingungen:
1) Das Format A0 ist ein Rechteck von 1 m² Flächeninhalt, dessen
Seitenlängen a0 und b0
sich wie 1 : √2 verhalten.
2) Alle Formate ak (k = 1; ...; 10) entstehen aus ak-1 durch halbieren der
längeren Rechteckseite bk-1.
Untersuchen Sie die Zahlenfolgen ak und bk, k ≥ 1!
A0 = x * x * √2 = 1 m²
______
x= √(1/ √2)
A0 = ak * bk
A0= x * x√2
A1= x * x√2
2
A2= x * x√2
2 2
A3= x * x√2
2 4
A4= x * x√2
4 4
A5= x * x√2
4 8
A6= x * x√2
8 8
A7= x * x√2
8 16
A8= x * x√2
16 16
A9= x * x√2
16 32
A10= x * x√2
32 32
k 0
1 2
3 4
ak x
x x/2
x/2 x/4
k 0 1 2 3 4
bk x√2
(x√2)/2
(x√2)/2
(x√2)/4
(x√2)/4
DIN A4 = 21,02241038cm * 29,73017788cm
Kombinatorik
Permutationen
permutare lat. vertauschen
26) Stellen Sie aus der Menge der vier Buchstaben a, b, e, r sämtliche
verschiedenen geordneten Mengen her!
Schreiben Sie sie in der Reihenfolge nieder, in der sie auch in einem Wörterbuch
stehen würden!
a b e r
a b r e
a e b r
a e r b
a r b e
a r e b
b a e r
b a r e
b e a r
b e r a
b r a e
b r e a
e a b r
e a r b
e b a r
e b r a
e r a b
e r b a
r a b e
r a e b
r b a e
r b e a
r e a b
r e b a
Ergebnis: 24 Permutationen
Jede Anordnung der n Elemente einer endlichen Menge nennt man eine Permutation
dieser n Elemente.
Bezeichnung: Pn
Beispiel P3
a b c
a b c a c b
b a c b c a
c a b c b a
Für die Besetzung der ersten Stelle gibt es
drei Möglichkeiten.
Bei der Besetzung der zweiten Stelle bleiben dann noch
zwei Möglichkeiten.
Die dritte Stelle ist automatisch festgelegt.
P3 = 3 *
2 * 1
Pn = n * Pn-1
P4 = 4 * 3 * 2 * 1
P5 = 5 * 4 * 3 * 2 * 1
P6 = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
Pn = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 3 * 2 * 1 = n!
n! = n-Fakultät
Beispiel:
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
es ist definiert:
0! = 1
1! = 1
(n - 1)! = (n - 1) * (n - 1 - 1)!
n! = n * (n - 1)!
(n + 1)! = (n + 1) * n!
Pn = n! n∈N,
n > 0
14.
Beweis durch Vollständige Induktion
1. Induktionsanfang
P1 = 1!
1 = 1
1 Element hat nur eine Permutation
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Pk = k!
Induktionsbehauptung
Pk+1= (k + 1)!
Induktionsbeweis
Pk+1= Pk * (k + 1)
Pk+1= k! * (k + 1)
Pk+1= (k + 1)!
28) Wie viele Möglichkeiten der Verteilung gibt es, wenn 8 Personen auf den 8
Sitzen eines D-Zug-Abteils Platz nehmen?
Wie ändern sich Problem und Antwort, wenn weniger als 8 Personen im Abteil sind?
Anzahl der Sitzplätze
Anzahl der Personen
Möglichkeiten
8
8
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
8
7
8! / 1! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 40320
8
6
8! / 2! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 20160
8
5
8! / 3! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720
8
4
8! / 4! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680
8
3
8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336
8
2
8! / 6! = 8 * 7 = 56
8
1
8! / 7! = 8
Beispiel 8 Sitzplätze für 2 Personen ergibt 56 Möglichkeiten
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 31, 32, 34,
35, 36, 37, 38, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 56, 57,
58, 61, 62, 63, 64, 65, 67, 68, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 78, 81, 82,
83, 84, 85, 86, 87
1) Wie groß ist die Summe aller dreistelligen Zahlen, die man als Permutationen
der Grundziffern 2, 4, 6 schreiben kann?
246
264
426
462
624
642
Summe = 2664
2) Wie viele Permutationen lassen sich aus den Grundziffern 1, 2, 3, 4 bilden?
P4 = 4!
P4 = 24
Denken Sie sich diese Permutationen gemäß 1 < 2 < 3 < 4 lexikographisch
geordnet!
Wie viele davon stehen dann
a) vor 2134
b) zwischen 2134 und 3214
c) nach 3214?
a = 1
b = 2
e = 3
r = 4
2 1 3 4 = b a e r
3 2 1 4 = e b a r
a b e r
a b r e
a e b r
a e r b
a r b e
a r e b
b a e r
b a r e
b e a r
b e r a
b r a e
b r e a
e a b r
e a r b
e b a r
e b r a
e r a b
e r b a
r a b e
r a e b
r b a e
r b e a
r e a b
r e b a
3) Wie viele Permutationen der Elemente u, v, w, x, y, z beginnen
a) mit w b)
mit x y c) v z
x u?
P6 = 6!
P6 = 720
a) 720 / 6 = 120
b) 120 beginnen mit x
120 / 5 = 24 beginnen mit x y
c) 24 / 4 = 6
6 / 3 = 2 beginnen mit v z x u
4) Errechnen Sie die folgenden Terme für n = 4 auf möglichst bequeme Weise!
a) 2n!
2 * 4!
2 * 24 = 48
b) (2n)!
8! = 40320
c) n * n!
4 * 24 = 96
d) n! / n
4! / 4 = 3! = 6
e) n! / (n + 1)!
n! / n! * (n + 1) = 1/5
f) n! / (n! + 1) = 24/25
5) Formen Sie die folgenden Terme um, indem Sie Brüche beseitigen!
a) (n + 1)! / n!
n! * (n + 1) / n! = n + 1
b) (n + 1)! / (n + 1)
n! * (n + 1) / (n + 1) = n!
c) (n - 3)! / (n - 2)!
(n - 3) * (n - 4)! / (n - 2) * (n - 3)! =
(n - 3) * (n - 4)! / (n - 2) * (n - 3) * (n - 4)! =
1 / (n - 2)
d) (n + 1)! / (n - 1)!
n! * (n + 1) / (n - 1)! =
/ n! = n * (n - 1)!
n * (n - 1)! * (n + 1) / (n - 1)! =
n * (n + 1)
e) n! / (n - 1)
n * (n -1)! / (n - 1) =
n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 1)=
n * (n - 2)!
6) Lösen Sie die folgenden Gleichungen!
a) x! = 7(x - 1)!
x * (x - 1)! = 7 * (x - 1)!
x= 7
b) x! - 120 = 0
x! = 120
x= 5
c) x(x - 1)! = x!
x! = x!
Die Gleichung ist erfüllt für jedes natürliche x.
d) x! = 3x!
keine Lösung wegen
0! = 1
7) 7 Personen wollen von Tag zu Tag ihre Sitzordnung auf 7 Stühlen ändern,
beginnend mit dem 01.01.1980.
An welchem Tage muss sich spätestens eine bereits vorher dagewesene Sitzordnung
wiederholen?
Dabei sollen zwei Sitzordnungen A und B als verschieden gelten, wenn bei A
mindestens eine Person auf einem
anderen Platz sitzt als bei B.
P7 = 7!
P7 = 5040
Nach 5040 Tagen, also am 19.10.1993 wiederholt sich die Sitzordnung.
Variationen und Kombinationen
a b c und a c b sind Teilmengen von a b c d e f
Jede geordnete Teilmenge ist eine Variation.
a b c und a c b sind zwei
Variationen von a b c d e f
Jede Teilmenge ist eine Kombination.
a b c und a c b sind eine
Kombination von a b c d e f
n Elemente zur k-ten Klasse
Variation:
k
Vn = n! / (n - k)!
k= verschiedene Elemente
n= Gesamtzahl der Elemente
vorheriges Beispiel:
Anzahl der Sitzplätze
Anzahl der Personen
Möglichkeiten
8
8
8
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
V8
= 8! / (8 - 8)!
7
8
7
8! / 1! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 = 40320
V8
= 8! / (8 - 7)!
6
8
6
8! / 2! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 20160
V8
= 8! / (8 - 6)!
8
5
8! / 3! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 = 6720
8
4
8! / 4! = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680
8
3
8! / 5! = 8 * 7 * 6 = 336
8
2
8! / 6! = 8 * 7 = 56
1
8
1
8! / 7! = 8 V8
= 8! / (8 - 1)!
29) Wie viele verschiedene Möglichkeiten der Vergabe von Gold-, Silber- und
Bronzemedaille gibt es bei der Teilnahme von 6 Läuferinnen?
3
V6 = 6! / (6 - 3)! = 120
123, 124, 125, 126,
132, 134, 135, 136, 142, 143,
145, 146, 152, 153, 154, 156, 162, 163, 164, 165,
213, 214,
215, 216, 231, 234, 235, 236,
241, 243, 245, 246, 251, 253, 254, 256, 261, 263, 264, 265,
312, 314, 315, 316,
321, 324, 325, 326, 341, 342,
345, 346, 351, 352, 354, 356, 361, 362, 364, 365, 412, 413, 415, 416, 421, 423,
425, 426, 431, 432, 435, 436, 451, 452, 453, 456, 461, 462, 463, 465, 512, 513,
514, 516, 521, 523, 524, 526,
531, 532, 534, 536, 541, 542, 543, 546, 561, 562, 563, 564, 612, 613, 614, 615,
621, 623, 624, 625, 631, 632,
634, 635, 641, 642, 643, 645, 651, 652, 653, 654
Ermitteln Sie auch
2
V26 = 26 * 25 = 650
15. Beweis durch Vollständige
Induktion
Beweis
k
Vn = n! / (n - k)!
n wird bei diesem Beweis als fest angenommen.
1.Induktionsanfang:
1
Vn = n! / (n - 1)! = n * (n -
1)! / (n - 1)! = n
2. Induktionsschritt:
Induktionsvorrausetzung:
k-1
Vn = n! / (n - k)! = n!
/ (n - (k - 1)!)
k-1
Vn = n! / (n - k + 1)!
Induktionsbehauptung:
k
Vn = n! / (n - k)!
Induktionsbeweis:
k
k-1
Vn = Vn
* (n - k + 1)
k
Vn = (n - k + 1) * n! / (n - k
+ 1)!
k
Vn = (n - k + 1) * n! / [(n - k
+ 1) * (n - k)!]
k
Vn = n! / (n - k)!
30) Wie viele Wörter aus 3, 4 und 5 Buchstaben des Wortes Salbe kann man bilden?
Dabei soll sich in keinem Wort ein Buchstabe wiederholen.
3
V5 = 5! / (5 - 3)! = 60
4
V5 = 5! / (5 - 4)! = 120
5
V5 = 5! / (5 - 5)! = 120
Kombination:
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
3
C6
<
V6
k= 3 verschiedene Elemente
n= 6 Gesamtzahl der Elemente
3
C6 = 6! / [(6 - 3)! * 3!] = 20
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356, 456
31) Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, in der Figur
: : : vier Punkte anzukreuzen?
Überprüfen Sie die errechnete Anzahl durch Aufzeichnen aller Möglichkeiten!
4
C6 = 6! / [(6 - 4)! * 4!] = 15
1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356,
2456, 3456,
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
= n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1)) * (n - k)!
(n - k)! * k!
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
= n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1))
k!
Beispiele:
4
C9 = 9 * 8 * 7 * 6
4!
4
C9 = 126
Lotterie 6 aus 49 ist eine Kombination
6
C49 = 49! / [(49 - 6)! * 6!]
6
C49 = 13983816
k
Ermitteln Sie Cn
für n = 1; 2; 3; 4; 5 und 1 ≤
k ≤ n!
1
C1 = 1
1
C2 = 2
2
C2 = 1
1
C3 = 3
2
C3 = 3
3
C3 = 1
1
C4 = 4
2
C4 = 6
3
C4 = 4
4
C4 = 1
1
C5 =
5
2
C5 =
10
3
C5 =
10
4
C5 =
5
5
C5 =
1
Binomialkoeffizient
(a + b)5 = 1a5 + 5a4b
+ 10a3b2 +
10a2b3 +
5ab4
+ 1b5
Koeffizient = Faktor vor einem Term
k
Cn ist der Koeffizient des (k + 1)-ten
Summanden in der Summe von (a + b)n.
33) Bestätigen Sie diese Aussage, indem Sie
3
C5
und
4
C5
nach der Formel
k
Cn = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * (n - (k - 1))
k!
4
C9 = 9 * 8 * 7 * 6
4!
errechnen!
3
C5 = 5 * 4 * 3
3!
3
C5 = 10
4
C5 = 5 * 4
4!
4
C5 = 5
Für die Binomialkoeffizienten wird auch noch die Symbolik
n
( k ) verwendet (lies: n über k).
k n-k
Cn =
Cn
k n+k
k+1
Cn +
Cn = Cn+1
Beweis
Behauptung:
k n+k
k+1
Cn +
Cn = Cn+1
n! / [(n - k)! * k!] +
n! / [(n - (k + 1))! * (k + 1)!] =
(n + 1)! / [(n + 1 - (k + 1))! * (k +
1)!]
Beweis:
n! / [(n - k)! * k!] +
n! / [(n - (k + 1))! * (k + 1)!]
n! / [(n - k) * (n - k - 1)! * k!] +
n! / [(n - k -1))! * (k + 1) * k!]
//Umformung entsprechend
(n + 1)! = (n + 1) * n!
n! = n * (n - 1)! (n - 1)! = (n - 1) * (n - 1 - 1)!
n! * (k + 1) + n! * (n - k)
//Hauptnenner
(n - k) * (n - k - 1)! * k! * (k + 1)
n! * (k + 1 - k + n)
(n - k)! * (k + 1)!
n! * (n + 1)
(n - k)! * (k + 1)!
n! * (n + 1)
(n - k + 1 - 1)! * (k + 1)!
(n +
1)!
(n + 1 - (k + 1))! * (k + 1)!
34) Zeigen Sie, dass die Gültigkeit von
k n-k
Cn =
Cn
unmittelbar aus
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
folgt!
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [(n - (n - k))! * (n - k)!]
//für k = (n - k)
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [(n - n + k))! * (n - k)!]
n! / [(n - k)! * k!] =
n! / [ k! * (n - k)!]
27) Betrachtet werden die Kombinationen der 8 Elemente a, b, c, e, f, g, i, k
zur 3. Klasse.
Zu berechnen ist
a) die Anzahl aller dieser Kombinationen;
3
C8 = 56
b) die Anzahl derjenigen unter diesen Kombinationen, die keinen Vokal enthalten;
Vokal = a, e, i, o, u ergibt b, c, f, g, k
3
C5 = 10
c) die Anzahl derjenigen unter diesen Kombinationen, die den Buchstaben e
enthalten.
zunächst wie bei b) diejenigen welche e nicht enthalten
3
C7 = 35
danach
3
3
C8 -
C7 = 56 - 35 = 21
1) Welche der Variationen zur 3. Klasse aus den Buchstaben d, e, i, n ergeben
ein in unserer Umgangssprache
vorhandenes Wort?
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V4 = 4! / (4 - 3)!
3
V4 = 24
123, 124, 132, 134, 142, 143, 213, 214, 231, 234, 241, 243, 312, 314, 321, 324,
341, 342, 412, 413, 421, 423, 431, 432
d e i
d e n
d i e
d i n
d n e
d n i
e d i
e d n
e i d
e i n
e n d
e n i
i d e
i d n
i e d
i e n
i n d
i n e
n d e
n d i
n e d
n e i
n i d
n i e
2) Berechnen Sie
a)
4
V7 = 840
b)
3
V10 = 10! / (10 - 3)! = 720
c)
4
V9 = 9! / (9 - 4)! = 3024
d)
2
V12 = 12! / (12 - 2)! = 132
3) Schreiben Sie als möglichst einfache Terme:
a)
2
Vn = n! / (n - 2)!
n! / (n - 2)! = n * (n - 1)! / (n -2)! = n * (n - 1) * (n - 2)! / (n - 2)! = n *
(n - 1)
b)
n-1
Vn = n! / (n - (n - 1))! = n! / 1! =
n!
Probe:
5
V6 = 6! / 1! = 6!
c)
n-2
Vn = n! / (n - (n - 2))! = n! / 2!
= n! / 2
d)
n
Vn+1 = (n + 1)! / ((n + 1) - n)! =
(n + 1)! / 1! = (n + 1)!
4) Berechnen Sie die Anzahl der Kombinationen
a) von 9 Elementen zur 3. Klasse
3
C9 = 9! / [(9 - 3)! * 3!] = 9 * 8 *
7 / 6 = 84
123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 145, 146, 147,
148, 149, 156, 157, 158,
159, 167, 168, 169, 178, 179, 189, 234, 235, 236, 237, 238, 239, 245, 246, 247,
248, 249, 256, 257, 258,
259, 267, 268, 269, 278, 279, 289, 345, 346, 347, 348, 349, 356, 357, 358, 359,
367, 368, 369, 378, 379,
389, 456, 457, 458, 459, 467, 468, 469, 478, 479, 489, 567, 568, 569, 578, 579,
589, 678, 679, 689, 789
b) von 7 Elementen zur 4. Klasse
4
C7 = 7! / [(7 - 4)! * 4!] = 7 * 6 *
5 * 4 / 24 = 35
1234, 1235, 1236, 1237, 1245, 1246, 1247, 1256, 1257, 1267, 1345, 1346, 1347,
1356, 1357, 1367, 1456,
1457, 1467, 1567, 2345, 2346, 2347, 2356, 2357, 2367, 2456, 2457, 2467, 2567,
3456, 3457, 3467, 3567,
4567
c) von 12 Elementen zur 8. Klasse
8
C12 = 12! / [(12 - 8)! * 8!] = 12 *
11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 / (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) =
8
C12 = 12! / [(12 - 8)! * 8!] = 11 *
10 * 9 / (2 * 1) = 495
5) Wie viele Kombinationen der Elemente a, b, c, d, e, f, g zur 5. Klasse gibt
es? Welche
Kombination steht bei lexikographischer Anordnung an 5., 10., 15., und 20.
Stelle?
5
C7 = 7! / [(7 - 5)! * 5!] = 7 * 6 *
5 * 4 * 3 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 21
12345, 12346, 12347, 12356,
12357,
12367, 12456, 12457, 12467, 12567,
13456, 13457, 13467, 13567, 14567,
23456, 23457, 23467, 23567, 24567,
34567
5. Stelle a b c e g
10. Stelle a b e f g
15. Stelle a d e f g
20. Stelle b d e f g
6) Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten!
a)
7
2
2
C7 = 7 * 6 / 2 = 21
b)
10
3
3
C10 = 10 * 9 * 8 / 3! = 120
c)
30
1
1
C30 = 30 / 1! = 30
d)
8
8
8
C8 = 8! / 8! = 1
e)
12
10
10
C12 = 12 * 11 * 10 * 9 * 8 * 7 * 6 *
5 * 4 * 3 / (10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) =
10
C12 = 12 * 11 / (2 * 1) = 66
f)
13
0
0
C13 = 13! / [(13 - 0)!
* 0!] =
0
C13 = 13! / [(13 - 0)!
* 1] = 1
7) Berechnen Sie möglichst vorteilhaft die folgenden Summen und Differenzen von
Binomialkoeffizienten!
a)
3
C9
+
4
C9
= (9 * 8 * 7 / 3!) + (9 * 8 * 7 * 6 / 4!)
= (9 * 8 * 7 / 3!) + (9 * 8 * 7 * 6 / 4 * 3!)
= (9 * 8 * 7 / 6) + (9 * 2 * 7 * 6 / 6)
= (3 * 4 * 7) + (9 * 2 * 7) = 84 + 126 = 210
b)
14
C16
+
13
C16
14
C16
= n! / [(n - k)! * k!]
14
C16
= 16! / [(16 - 14)! * 14!] =
14
C16
= 16! / [2 * 14!] =
13
C16
= n! / [(n - k)! * k!]
13
C16
= 16! / [(16 - 13)! * 13!] =
14
C16
= 16! / [3! * 13!] =
16! / [2 * 14!] +
16! / [6 * 13!] =
16! / [2 * 14 * 13!] +
16! / [6 * 13!] =
6 * 16! /
[2 * 6 * 14 * 13!] + 2 * 14 * 16! /
[2 * 6 * 14 * 13!] =
6 * 16! + 28 * 16! / (2 * 6 * 14 * 13!) =
34 * 16! / (2 * 6 * 14 * 13!) =
17 * 16! / (6 * 14 * 13!) =
17! / (6 * 14!) =
17 * 16 * 15 * 14! / (6 * 14!) =
17 * 16 * 15 / 6 =
17 * 8 * 15 / 3 =
17 * 8 * 5 = 680
c)
12
C15
+
12
C14
12
C15
= n! / [(n - k)! * k!]
12
C15
= 15! / [(15 - 12)! * 12!]
12
C14
= 14! / [(14 - 12)! * 12!]
15! / [3! * 12!] + 14! / [2! *
12!] =
15! / [6 * 12!] + 14! / [2 *
12!] =
15! / [6 * 12!] + 3 * 14! / [6 *
12!] =
15 * 14! / [6 * 12!] + 3 * 14! / [6 *
12!] =
18 * 14! / [6 * 12!] =
18 * 14 * 13 * 12! / [6 * 12!] =
3 * 14 * 13 = 546
d)
8
C12
-
8
C11
8
C12
= 12! / [(12 - 8)! * 8!]
8
C11
= 11! / [(11 - 8)! * 8!]
12! / [(12 - 8)! * 8!] - 11! / [(11 - 8)! *
8!] =
12! / [24 * 8!] - 11! / [6 *
8!] =
12! / [24 * 8!] - 4 * 11! / [24 *
8!] =
12 * 11! / [24 * 8!] - 4 * 11! / [24 *
8!] =
8 * 11! / [24 * 8!] =
11! / [3 * 8!] =
11 * 10 * 9 * 8! / [3 * 8!] =
11 * 10 * 9 / 3 =
11 * 10 * 3 = 330
8a) Wie viele Würfe, bei denen die einzelnen Würfel unterschiedliche Augenzahlen
zeigen, sind bei zwei Würfeln möglich?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C6 = 6 * 5 / 2 = 15
12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56
b) Wie viele Würfe sind überhaupt beim Werfen mit zwei Würfeln möglich?
Kombination mit Wiederholung
k
Cn = (n + k - 1)! / [(n - 1)! * k!]
2
C6 = (6 + 2 - 1)! / [(6 - 1)! * 2!]
2
C6 = (7)! / [(5)! * 2!]
2
C6 = 5040 / 240 = 21
11, 12, 13, 14, 15, 16,
22, 23, 24, 25, 26,
33, 34, 35, 36,
44, 45, 46,
55, 56,
66
9) Beim "Tele-Lotto 5 aus 35" sind 5 Zahlen von insgesamt 35 auszuwählen.
Ermitteln Sie,
wie viele verschiedene Tipps jeweils abgegeben werden müssen, um mit Sicherheit
im ersten
Rang, im zweiten Rang oder im dritten Rang zu gewinnen!
erster Rang = 5 richtige Zahlen
5
C35 = 35! / [(35 - 5)! * 5!]
35! / [(35 - 5)! * 5!] = 35! / [30! * 5!] = 324632
zweiter Rang = 4 richtige Zahlen
4
C35 = 35! / [(35 - 4)! * 4!]
35! / [(35 - 4)! * 4!] = 35! / [31! * 4!] = 52360
dritter Rang = 3 richtige Zahlen
3
C35 = 35! / [(35 - 3)! * 3!]
35! / [(35 - 3)! * 3!] = 35! / [32! * 3!] = 6545
Einfache Anwendungen zur Kombinatorik
28) Am Stundenplanbrett einer Schule mit insgesamt 32 Lehrkräften soll jede
Lehrkraft durch ein Plättchen
gekennzeichnet werden, das entweder einfarbig oder zweigeteilt und zweifarbig
oder dreigeteilt und dreifarbig ist.
Kommt man mit fünf verschiedenen Farben aus?
a1 + a2 + a3
≥ 32
einfarbig + zweifarbig + dreifarbig
≥ 32
einfarbige Plättchen
bei 5 Farben gibt es 5 einfarbige Plättchen
a1= 5
zweifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau = blau-rot
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C5 = 5! / [(5 - 2)! * 2!]
2
C5 = 5! / [3! * 2!]
a2 = 10
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45
oder z.B. rot-blau ≠ blau-rot
k
Vn = n! / (n - k)!
2
V5 = 5! / (5 - 2)!
2
V5 = 5! / 3!
= 20
12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35,
41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54
dreifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 5! / [2! * 3!]
a3 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
oder z.B. rot-blau-gelb ≠ blau-rot-gelb
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V5 = 5! / (5 - 3)!
3
V5 = 5! / 2! = 60
123, 124, 125, 132, 134, 135, 142, 143, 145, 152, 153, 154, 213, 214, 215, 231,
234, 235, 241, 243, 245, 251,
253, 254, 312, 314, 315, 321, 324, 325, 341, 342, 345, 351, 352, 354, 412, 413,
415, 421, 423, 425, 431, 432,
435, 451, 452, 453, 512, 513, 514, 521, 523, 524, 531, 532, 534, 541, 542, 543
Ohne Benutzung der Reihenfolge reichen 5 verschiedene Farben nicht aus.
35a) Begründen Sie , dass man in Aufgabe 28 mit 6 verschiedenen Farben (unter
sonst gleichen Bedingungen) auskommt,
ohne die Reihenfolge zu berücksichtigen!
einfarbige Plättchen
bei 6 Farben gibt es 6 einfarbige Plättchen
a1= 6
zweifarbige Plättchen
z.B. rot-blau = blau-rot
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C6 = 6! / [(6 - 2)! * 2!]
2
C6 = 6! / [4! * 2!]
a2 = 720 / 48
a2 = 15
dreifarbige Plättchen
z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C6 = 6! / [(6 - 3)! * 3!]
3
C6 = 6! / [3! * 3!]
a3 = 20
b) Reichen 5 Farben auch, falls man zwar die Reihenfolge nicht
berücksichtigt, jedoch auch dreigeteilte Plättchen mit lediglich
zwei Farben zulässt, also etwa mit "blau-rot-blau" gewisse Wiederholungen von
Farben gestattet?
dreifarbige Plättchen
entweder z.B. rot-blau-gelb = blau-rot-gelb
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 5! / [2! * 3!]
a3 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
zusätzlich:
121, 131, 141, 151,
212, 232, 242, 252,
313, 323, 343, 353,
414, 424, 434, 454,
515, 525, 535, 545
29) Es sind 9 Punkte einer Ebene gegeben, von denen niemals 3 auf ein und
derselben Geraden
liegen. Wie viele Geraden gibt es, die 2 der 9 Punkte enthalten?
2
C9 = 9! / [(9 - 2)! * 2!]
2
C9 = 9! / [7! * 2!] = 36
36) Überlegen Sie, wie sich die in Aufgabe 29 ermittelte Anzahl reduziert, wenn
von den 9 Punkten
genau 3 Punkte auf ein und derselben Geraden liegen!
ABC auf einer Geraden
AB, AC, BC
3 Geraden weniger
30) Im Zugmeldeverkehr der Deutschen Reichsbahn, im Schiffs- und Amateurfunk
erfolgt die Nachrichtenübermittlung
mit Hilfe Morsezeichen. Die von Morse benutzten Zeichen setzen sich aus Punkten
und Strichen zusammen, die kurzen
beziehungsweise langen Stromimpulsen entsprechen. Wie viele verschiedene
Buchstaben lassen sich als Folgen von jeweils
höchstens vier Impulsen darstellen?
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
ages = a1
+ a2 + a3
+ a4
1
V2 = 21 = 2
1, 2
2
V2 = 22 = 4
11, 12, 21, 22
3
V2 = 23 = 8
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
4
V2 = 24 = 16
1111, 1112, 1121, 1122, 1211, 1212, 1221, 1222, 2111, 2112, 2121, 2122, 2211,
2212, 2221, 2222
ages = 30
30 verschiedene Buchstaben (also mehr, als das Alphabet enthält) lassen sich als
Folgen von jeweils höchstens
4 Impulsen darstellen.
1) Aus einer Produktionsserie wird bei der Qualitätskontrolle eine bestimmte
Anzahl von Erzeugnissen ausgewählt
und untersucht. Das Ergebnis der Untersuchung dieser einzelnen Stücke gibt
Aufschluss über die Qualität der gesamten
Serie. Wie viele verschiedene Stichprobenmöglichkeiten gibt es bei einer
Produktionsserie von 100 Stück, wenn bei
der Stichprobe 5 Einzelstücke untersucht werden sollen?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
5
C100 = 100! / [(100 - 5)! * 5!]
5
C100 = 100! / [95! * 5!]
5
C100 = 100 * 99 * 98 * 97 * 96 * 95! / [95! *
120]
5
C100 = 100 * 99 * 98 * 97 * 96 /
120
5
C100 = 10 * 99 * 98 * 97 * 8 =
75287520
2) Bei der Blindenschrift nach Braille besteht die Grundform aus sechs zu einem
Rechteck angeordneten
Punkten. Jeder Buchstabe wird durch 1 bis 6 Punkte gebildet, von denen jeder an
eine Stelle diese Schemas
gesetzt wird (eingedrückt oder erhaben hervorstehend).
Wie viele verschiedene Zeichen lassen sich auf diese Weise bilden?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
1
C6 = 6! / [(6 - 1)! * 1!] = 6
2
C6 = 6! / [(6 - 2)! * 2!] = 15
3
C6 =20
4
C6 = 15
5
C6 = 6
12345, 12346, 12356, 12456, 13456, 23456
6
C6 = 1
Es lassen sich 63 verschiedene Zeichen auf diese Weise bilden.
3) Auf wie viele verschiedene Arten kann man ein ebenes konvexes Sechseck durch
Diagonalen,
die einander nicht schneiden, in Dreiecke zerlegen?
Definition der Catalan-Zahl
Die n-te Catalan-Zahl Cn ist z.B.
die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, ein konvexes
(n+2)-Eck
durch Diagonalen in Dreiecke zu zerteilen (Triangulation).
Die ersten Catalan-Zahlen sind 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862
n
Cn = 1 / (n + 1) *
C2n
C4= 1 / 5 *
n! / [(n - k)! * k!]
C4= 1 / 5 * 8! / [4! * 4!]
C4 = 14
Es gibt 14 Möglichkeiten ein konvexes 6-Eck in Diagonalen zu zerteilen.
C5= 1 / 6 *
n! / [(n - k)! * k!]
C5= 1 / 6 * 10! / [5! * 5!]
C5 =42
Es gibt 42 Möglichkeiten ein konvexes 7-Eck in Diagonalen zu zerteilen.
4) In wie vielen Punkten höchstens können 5, 8, n Geraden einander schneiden?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
Cn = n! / [(n - 2)! * 2!]
2 Geraden
2
C2 = 2! / [(2 - 2)! * 2!]
2
C2 = 1
4 Geraden
2
C4 = 6
5 Geraden
2
C5 = 10
12, 13, 14, 15, 23, 24, 25, 34, 35, 45
5a) Wie viele Anschlüsse sind in einem Fernsprechnetz mit fünfstelligen
Rufnummern möglich, wenn man die
mit 0 und 1 beginnenden Rufnummern für Sonderanschlüsse reserviert und hier
nicht berücksichtigt?
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
5
V10 = 105
5
V10 = 100000
0 am Anfang = 10000
1 am Anfang = 10000
2 am Anfang = 10000
3 am Anfang = 10000
4 am Anfang = 10000
5 am Anfang = 10000
6 am Anfang = 10000
7 am Anfang = 10000
8 am Anfang = 10000
9 am Anfang = 10000
100000 - 20000 = 80000
5b) Wie viele Verbindungen lassen sich dann in diesem Netz herstellen (ohne
Berücksichtigung der Sonderanschlüsse)?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
2
C80000 = 80000! / [79998! * 2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 * 79998! / [79998! *
2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 * 79998! / [79998! *
2!]
2
C80000 = 80000 * 79999 / 2 =
3.199.960.000
6) Die polizeilichen Kennzeichen für Kraftfahrzeuge enthalten in jedem Bezirk
der DDR außer einem diesem Bezirk
zugewiesenen Kennbuchstaben entweder einen weiteren Buchstaben und eine
Vierergruppe der Ziffern 0 bis 9 oder
zwei weitere Buchstaben und eine Dreiergruppe solcher Ziffern.
Wie viele verschiedene Kennzeichen können in jedem dieser Fälle zu einem
einzigen Kennbuchstaben vergeben werden?
weiter Buchstabe + Vierergruppe der Ziffern
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
4
V10 = 104
4
V10 = 10000
26 * 10000 = 260.000
zwei weitere Buchstaben + Dreiergruppe der Ziffern
Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
3
V10 = 103
3
V10 = 1000
Variation mit Wiederholung
2
V26 = 262
2
V26 = 676
676 * 1000 = 676.000
7) Beim "Sportfest-Toto 6 aus 49" sind von 49 Zahlen (Sportarten) 6 beliebige
Zahlen anzukreuzen.
a) Auf wie viele verschiedene Weisen kann man einen solchen Tippzettel
ausfüllen, das heißt, wie viele
Tipps muss man abgeben, um mit Sicherheit einen "Sechser" darunter zu haben?
Kombination ohne Wiederholung
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
6
C49 = 49! / [(49 - 6)! * 6!]
6
C49 = 13.983.816
b)* Wie viele Tipps genügen, um mit Sicherheit einen "Fünfer mit Zusatzzahl" zu
haben?
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
6
C48 = 48! / [(48 - 6)! * 6!]
6
C48 = 12.271.512
3) Gegeben sei die Folge ak mit ak = 1 / [(n + 2) * (n + 3)] mit n größer oder
gleich 1.
Diese Folge und ihre Partialsummenfolge an sind auf Monotonie zu untersuchen.
Außerdem
ist eine explizite Zuordnungsvorschrift für die Folge an gesucht.
k 1
2 3
4 5
6 7
8
ak 1/12 1/20
1/30 1/42
1/56 1/72
1/90 1/110
an 1/12 2/15
1/6 4/21
5/24 2/9
7/30 8/33
Die Folge ak fällt streng monoton.
Die Folge an wächst streng monoton, weil alle Glieder von ak positiv sind.
ak = 1 / [(k + 2) * (k + 3)]
an = n / (3n + 9)
21. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = n / (3n + 9)
k=1
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 1 / [(1 + 2) * (1 + 3)] = 1 /
(3 * 1 + 9)
1/12 = 1/12
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = n / (3n + 9)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] = (n + 1) / (3n + 12)
k=1
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] + 1 / [(n + 1 + 2) * (n + 1 + 3)] = n / (3n + 9) + 1 / [(n + 1 + 2) * (n + 1
+ 3)]
k=1
n
Σ 1 / [(k + 2) * (k +
3)] + 1 / [(n + 3) * (n + 4)] = n / (3n + 9) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
k=1
rechte Seite
n / (3n + 9) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
n / 3(n + 3) + 1 / [(n + 3) * (n + 4)]
n * (n + 4) / 3(n + 3) * (n + 4) + 1 * 3 / 3(n + 3) * (n + 4)
n² + 4n + 3 / 3(n + 3) * (n + 4)
//Faktorisierung
(n + 1) * (n + 3) / 3(n + 3) * (n + 4)
(n + 1) / [3 * (n + 4)]
32) Das Bild A20 zeigt eine Rotationskapselpumpe im Schnitt. An den Saugstutzen S
wird der Rezipient mit einem
Volumen von 3000 cm³ angeschlossen. Durch den exzentrischen Vollzylinder Z
können je Drehung 200cm ³ Luft
zum Druckstutzen D befördert werden.
Rezipient = Glasglocke mit Ansatzrohr für eine Vakuumpumpe zum Herstellen eines
luftleeren Raumes (Physik)
a) Wie groß ist der Druck im Rezipienten nach 5 und nach 10 Umdrehungen, wenn
der ursprüngliche Druck 1000 mbar
beträgt?
Nach dem Gesetz von Boyle-Mariotte ist das Produkt von Druck p und zugehörigem
Volumen V konstant.
p1 * 3200 = p0 * 3000
p1 = p0 * 3000/3200
Das Verhältnis aus V1 = 3000 und V2 = 3200 gilt für
jede Umdrehung!
pk+1= pk * 15/16
pn = 1000 * (15/16)n
p5 = 1000 * (15/16)5
p5 = 724 mbar
p10 = 1000 * (15/16)10
p10 = 525 mbar
b) Wie viel Minuten muss die Pumpe bei 50 Umdrehungen je Minute laufen, um einen
Druck von 10-6
mbar
zu erreichen?
pn = 1000 * (15/16)n
10-6 = 1000 * (15/16)n
n * lg(15/16) = lg(10-6 / 1000)
n = -9/-0,0280287
n = 321,10
321,10 Umdrehungen geteilt durch 50 Umdrehungen = 6,42 Minuten
33) Für die Fertigung eines Werkstücks sind unter anderen folgende Arbeitsgänge
auszuführen:
1 Bohren, Durchmesser 6 mm
2 Senken
3 Bohren, Durchmesser 2,4 mm
4 Gewindeschneiden, M3
5 Fräsen.
Wie viele verschiedene Reihenfolgen dieser Arbeitsgänge sind bei der Entwicklung
der Technologie in
Betracht zu ziehen, wenn als Einschränkung nur zu beachten ist, dass 2 erst nach
1 und 4 erst nach 3
erfolgen kann?
Senken
Um senkrecht zur Drehachse liegende Profil- oder Kegelflächen herzustellen, wird
das Senken angewendet.
Der Senker (ein mehrschneidiges Werkzeug) erzeugt dabei besonders geformte
Teilflächen. Im Unterschied
zum Bohren wird aber nicht ins Volle gearbeitet, sondern in bereits vorhandene
Löcher.
ohne Beschränkung
P5 = 5! = 120
1 vor 2
12345, 12354, 12435, 12453, 12534, 12543, 13245, 13254, 13425, 13452, 13524,
13542, 14235, 14253, 14325, 14352,
14523, 14532, 15234, 15243, 15324, 15342, 15423, 15432, 31245, 31254, 31425,
31452, 31524, 31542, 34125, 34152,
34512, 35124, 35142, 35412, 41235, 41253, 41325, 41352, 41523, 41532, 43125,
43152, 43512, 45123, 45132, 45312,
51234, 51243, 51324, 51342, 51423, 51432, 53124, 53142, 53412, 54123, 54132,
54312
2 vor 1
21345, 21354, 21435, 21453, 21534, 21543, 23145, 23154, 23415, 23451, 23514,
23541, 24135, 24153, 24315, 24351,
24513, 24531, 25134, 25143, 25314, 25341, 25413, 25431, 32145, 32154, 32415,
32451, 32514, 32541, 34215, 34251,
34521, 35214, 35241, 35421, 42135, 42153, 42315, 42351, 42513, 42531, 43215,
43251, 43521, 45213, 45231, 45321,
52134, 52143, 52314, 52341, 52413, 52431, 53214, 53241, 53421, 54213, 54231,
54321
Da die Arbeitsgänge 1 und 2 als Elemente der Permutationen gleichberechtigt
sind, gibt es unter den 120 Permutationen ebenso
viele, bei denen 1 vor 2 steht, wie solche, bei denen 2 vor 1 steht. So bleiben
bei Berücksichtigung der ersten Einschränkung nur
60 Permutationen übrig. Unter diesen gibt es wieder ebenso viele, bei denen 3
vor 4 steht, wie solche, bei denen 4 vor 3 steht.
Es gibt also nur 30 Permutationen, die beiden einschränkenden Bedingungen
genügen.
1) Betrachtet werden die Flogen
ak= k² / k!
ak= 2k / k!
ak= 4k / k!.
a) Berechnen Sie die ersten sechs Glieder dieser Folgen!
ak= k² / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 1
2 9/6
16/24 25/120 36/720
ak= 2k / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 2
2 8/6
16/24 32/120
64/720
ak= 4k / k!.
k 1
2 3
4 5 6
ak 4
8 32/3 32/3
1024/120 4096/720
b) Machen Sie Aussagen über die Monotonie dieser Folgen, und beweisen Sie diese
Aussagen!
ak= k² / k!
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
(k + 1)² / (k + 1)! - k² / k! =
(k + 1)² / [(k + 1) * k!] - k² * (k + 1) /
[(k + 1) * k!] =
(k + 1)² - k² * (k + 1) / [(k + 1) * k!] =
k² + 2k + 1 - (k³ + k²) / [(k + 1) * k!] =
k² + 2k + 1 - k³ - k² / [(k + 1) * k!] =
- k³ + 2k + 1 / [(k + 1) * k!]
a2 - a1 = positiv
a3 - a2 = negativ
Die Folge ist nicht monoton. Die Folge wächst bis k=2 und fällt ab k > 2.
ak= 2k / k!
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
2k+1 / (k + 1)! - 2k / k! =
2k+1 - 2k * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
Für alle natürlichen k gilt:
2k+1 - 2k * (k + 1) ≥ 0. Deshalb ist die Folge
monoton wachsend.
ak= 4k / k!.
ak+1 - ak
wenn die Differenz positiv - dann monoton steigend
wenn die Differenz negativ - dann monoton fallend
4k+1 / (k + 1)! - 4k / k! =
4k+1 - 4k * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
Für alle natürlichen k gilt:
nur der Zähler
für k = 1
16 - 4 * 2 = 8
für k = 2
64 - 16 * 3 = 16
für k = 3
256 - 64 * 4 = 0
für k = 4
1024 - 256 * 5 = -256
für k = 5
4096 - 1024 * 6 = -2048
Die Folge ist nicht monoton. Die Folge wächst bis k= 4 und fällt ab k > 4.
Wie steht es mit der Monotonie der Folge 10k / k! und 100k
/ k! ?
10k / k!
k 1
2 3
4 5 6
ak 10 50
500/3 1250/3 2500/3
12500/9
ak+1 - ak = 0
10k+1 / (k + 1)! - 10k / k! = 0
10k+1 / (k + 1) * k! - 10k * (k + 1) / [(k + 1) * k!] = 0
10k+1 - 10k * (k + 1)/ [k + 1) * k!] = 0 / Nenner
wird vernachlässigt
10k+1 - 10k * (k + 1) = 0
10k+1 = 10k * (k + 1) / 10k
10 = k + 1
k = 9
a10 - a9 = 0
a8 = 2480,15
a9 = 2755,73
a10 = 2755,73
a11 = 2505,21
Die Folge ist nicht monoton. Sie wächst bis k = 10 und fällt ab k > 10.
100k / k!
k 1
2 3
ak 100 5000
50000/3
ak+1 - ak = 0
100k+1 / (k + 1)! - 100k / k! = 0
100k+1 / (k + 1) * k! - 100k * (k + 1) / [(k + 1) * k!] =
0
100k+1 - 100k * (k + 1)/ [k + 1) * k!] = 0 / Nenner
wird vernachlässigt
100k+1 - 100k * (k + 1) = 0
100k+1 = 100k * (k + 1) / 100k
100 = k + 1
k = 99
a100 - a99 = 0
a99 = 1071510288125470000000000000000000000000000,00
a100 = 1071510288125470000000000000000000000000000,00
a101 = 1060901275371750000000000000000000000000000,00
Die Folge ist nicht monoton. Sie wächst bis k = 100 und fällt ab k > 100.
Betrachten Sie auch kk / k! !
ak+1 - ak
(k + 1)k+1 / (k + 1)! - kk / k!
(k + 1)k+1 - kk * (k + 1) / [(k + 1) * k!]
(k + 1)k+1 - kk * (k + 1)
(k + 1)k+1 - kk+1 - kk
Die Folge ist streng monoton wachsend.
2) Untersuchen Sie, für welche natürlichen n die folgenden Ungleichungen gelten,
und beweisen Sie Ihre Aussagen!
n
C2n
≥ 2n
(2n)! / [(2n - n)! * n!] ≥ 2n
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n
Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n.
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage
2/1 ≥ 2
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n
dann gilt auch
(2n + 2)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n /
* 2
2 *
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n+1
2 * (n + 1) * (n + 1) / [2 * (n + 1) *
(n + 1)] *
2 *
(2n)! / (n! * n!) ≥ 2n+1
2 * (n + 1) * (n + 1) / [2 * (n + 1) *
(n + 1)] = 1
(n + 1) * (n + 1) * 2 (2n)! /
[(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
(2n + 2) * (n + 1) * (2n)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
(2n + 2) * (2n + 1) * (2n)! /
[(n
+ 1)! * (n + 1)!] ≥
(2n + 2) * (n
+ 1) * (2n)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
rot ist größer als gelb, gelb ist größer als grün (entsprechend
Induktionsvoraussetzung), damit ist rot größer als grün
(2n + 2)! / [(n + 1)! * (n + 1)!] ≥ 2n+1
16. Beweis durch Vollständige
Induktion
n! < [(n + 1) / 2]n
Behauptung:
Für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt:
n! < [(n + 1) / 2]n
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 2 gilt die Aussage
2 < 1,5²
2 < 2,25
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n > 1 gelte
n! < [(n + 1) / 2]n
dann gilt auch
(n + 1)! <
[(n + 2) / 2]n+1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
n! < [(n + 1) / 2]n
/ * (n + 1)
n! * (n + 1) < [(n + 1) / 2]n *
(n + 1)
(n + 1)! < [(n + 1) / 2]n
* (n + 1)
(n + 1)! < [(n + 1) / 2]n *
2 * [(n + 1) / 2]1
(n + 1)! < 2 * [(n + 1) / 2]n+1 <
[(n + 2) / 2]n+1
es ist zu zeigen:
2 * [(n + 1) / 2]n+1 <
[(n + 2) / 2]n+1
2 * (n + 1)n+1 <
(n + 2)n+1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 <
(n + 2)n+1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 <
((n +1) + 1)n+1
Binomialkoeffizient (a + b)n
= an + n * an-1 * b + ... + bn
((n +1) + 1)n+1 = (n + 1)n+1 + (n + 1) * (n + 1)n
+ ... + 1
((n +1) + 1)n+1 = (n + 1)n+1 + (n + 1)n+1
+ ... + 1
(n + 1)n+1 + (n + 1)n+1 < (n +
1)n+1 + (n + 1)n+1 + ... + 1
q.e.d. quod erat demonstrandum
3) In einer Ebene mögen k Geraden so verlaufen, dass keine Gerade zu einer
anderen parallel ist
und es keinen Punkt der Ebene gibt, durch den mehr als zwei der Geraden gehen.
Es ist zu untersuchen,
in wie viele Teile die Ebene durch diese Geraden zerlegt wird.
a) Veranschaulichen Sie sich den Fall k = 3 durch eine Skizze!
b) Nehmen Sie eine vierte Gerade hinzu, und erläutern Sie, warum die Hinzunahme
einer (k + 1)-ten Geraden
zu k bereits vorhandenen die Anzahl der Ebenenteile um k + 1 erhöht.
rekursiv
ak+1= ak + (k + 1)
k 1
2 3
4 5
ak 2
4 7
11 16
Die (k + 1)-te Gerade schneidet k Geraden. Immer wenn die neue Gerade eine
vorhandene Gerade schneidet,
dann tritt sie in ein neues Gebiet der Ebene ein. Die Anzahl der Gebiete, die
von der neuen Geraden geteilt werden
ist k + 1, denn das erste Gebiet wird ja schon geteilt, bevor die neue Gerade
die erste vorhandene Gerade schneidet.
c) Ermitteln Sie eine Formel für die Anzahl der Ebenenteile bei k Geraden, und
beweisen Sie diese durch Vollständige Induktion!
explizit
ak= (k² + k + 2) / 2
17. Beweis durch Vollständige
Induktion
ak= (k² + k + 2) / 2
Beweis:
1 Induktionsanfang:
Für k = 1 gilt die Aussage (1 + 1 + 2) / 2 = 2
Eine Gerade teilt eine Ebene in 2 Gebiete.
2. Induktionsschritt:
Induktionsvoraussetzung:
ak= (k² + k + 2) / 2
Induktionsbehauptung:
Dann gilt für den Nachfolger von k, k + 1
ak+1= [(k² + k + 2) / 2] + (k + 1)
[(k + 1)² + (k + 1) + 2] / 2 = [(k² + k + 2) / 2] + (k + 1)
(k² + 2k + 1 + k + 1 + 2) / 2 = [(k² + k + 2) / 2] + 2 * (k + 1)
(k² + 3k + 4) / 2 = [k² + k + 2 + 2 * (k + 1)] / 2
(k² + 3k + 4) / 2 = (k² + k + 2 + 2k + 2) / 2
(k² + 3k + 4) / 2 = (k² + 3k + 4) / 2
4) Ein Walmdach (zwei Teilflächen sind gleichschenklige Dreiecke, zwei
Teilflächen sind gleichschenklige Trapeze) soll
mit Ziegeln gedeckt werden. Die unterste (längste) Schicht enthält an der
kürzeren Hausseite 35 Ziegel, an der längeren
65 Ziegel. Auf jeder Teilfläche werden es von Schicht zu Schicht zwei Ziegel
weniger.
Wie viele Ziegel werden für das Dachdecken mindestens benötigt, wenn mit 8 %
Abfall zu rechnen ist?
2 Dreiecke
ak= 35 - 2k
1= 35 - 2k
-34= - 2k
k= 17
17
Σ 35 - 2k = 324
k=0
für 2 Dreiecke = 324 + 324
2 Trapeze
ak= 65 - 2k
17
Σ 65 - 2k = 864
k=0
für 2 Trapeze = 864 + 864
gesamt = 2376 Ziegel
2376
≙ 92 %
x
≙ 100%
x= 2583 Ziegel
5) Rohre, Rundstähle und dergleichen werden häufig so verladen bzw. gestapelt,
dass in jeder
höheren Schicht die Rohre in den Lücken der darunterliegenden Schicht liegen.
a) Geben Sie an, wie viele Rohre ein Stapel höchstens haben kann, wenn in der
untersten Schicht
6 Rohre liegen!
-
- -
- - -
- - - -
- - - - -
- - - - - -
21 Rohre kann ein Stapel höchstens haben, wenn in der untersten Schicht 6 Rohre
liegen.
b) Mit wie vielen Schichten muss man beim Stapeln von 50 Rohren mindestens
rechnen, wenn
in der untersten Schicht nicht mehr als 10 Rohre liegen können? Wie hoch ist der
Stapel in diesem Fall?
ak= 10-k
1= 10 - k
-9 = - k
k = 9
9
Σ 10 - k = 55
k=0
zwei Stapel weniger
7
Σ 10 - k = 52
k=0
Mit 8 Schichten muss man rechnen.
-
-
-
-
-
-
-
-
------------------------------------
Im Schnitt der Rohre entstehen zwischen den Mittelpunkten gleichseitige
Dreiecke.
tan60°= x / d/2
x = √3 * d/2
zwischen den Rohren insgesamt = 7 * √3 * d/2
1. Schicht = d/2
8. Schicht = d/2
insgesamt = 7 * √3 * d/2 + 2 * d/2
c) Wie viele Rohre von 0,6 m Durchmesser und 5 m Länge können in dieser Weise
höchstens gestapelt werden,
wenn für die unterste Schicht eine rechteckige Fläche von 10 m Länge und 6 m
Breite zu Verfügung steht?
2 Stapel mit jeweils 10 Rohren in der untersten Schicht
9
Σ 10 - k = 55
k=0
+
9
Σ 10 - k = 55
k=0
gesamt = 110 Rohre
6) Bei der Lagerhaltung werden häufig Materialien unterschiedlicher
Rohstoffzusammensetzungen und
Abmessungen durch Farbmarkierungen gekennzeichnet. Bei Rohren soll jede Sorte
mit drei verschiedenfarbigen
Ringen am Rohrende markiert sein. Wie viele verschiedene Sorten kann man so mit
Hilfe von fünf Farben kennzeichnen?
ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
3
C5 = 5! / [(5 - 3)! * 3!]
3
C5 = 10
123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 245, 345
mit Berücksichtigung der Reihenfolge
k
Vn = n! / (n - k)!
3
V5 = 5! / (5 -3)!
3
V5 = 5! / (5 -3)!
3
V5 =
60
123, 124, 125, 132, 134, 135, 142, 143, 145, 152, 153, 154, 213, 214, 215, 231,
234, 235, 241, 243, 245,
251, 253, 254, 312, 314, 315, 321, 324, 325, 341, 342, 345, 351, 352, 354, 412,
413, 415, 421, 423, 425,
431, 432, 435, 451, 452, 453, 512, 513, 514, 521, 523, 524, 531, 532, 534, 541,
542, 543
7) Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit drei unterscheidbaren Würfeln insgesamt
a) 6 Augen
b) 14 Augen zu werfen?
Für welche Augenzahl gibt es die größte Anzahl von Möglichkeiten?
insgesamt Variation mit Wiederholung
k
Vn = nk
3
V6 = 63
3
V6 =
216
Binomialkoeffizient
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1)3
=
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1)
*
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) *
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) =
x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^7 +
x^11 + x^10 +
x^9 + x^8 + x^7 + x^6 +
x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 +
x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 +
x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 =
(x^12 + 2x^11 + 3x^10 + 4x^9 + 5x^8 + 6x^7 + 5x^6 + 4x^5 + 3x^4 + 2x^3 + 1x^2) *
(x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x^1) =
x^18 + x^17 + x^16 + x^15 + x^14 +
x^13 +
2x^17 + 2x^16 + 2x^15 +
2x^14 + 2x^13 + 2x^12
3x^16 + 3x^15 + 3x^14 + 3x^13 + 3x^12 + 3x^11
4x^15 + 4x^14 + 4x^13 + 4x^12 + 4x^11 + 4x^10
5x^14 + 5x^13 + 5x^12 + 5x^11 + 5x^10 + 5x^9
6x^13 + 6x^12 + 6x^11 + 6x^10 + 6x^9 + 6x^8
5x^12 + 5x^11 + 5x^10 + 5x^9 + 5x^8 + 5x^7
4x^11 + 4x^10 + 4x^9 + 4x^8 + 4x^7 + 4x^6
3x^10 + 3x^9 + 3x^8 + 3x^7 + 3x^6 + 3x^5
2x^9 + 2x^8 + 2x^7 + 2x^6 + 2x^5 + 2x^4
x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 +
x^3
1x^18 +
3x^17 +
6x^16 +
10x^15 +
15x^14 +
21x^13 +
25x^12 +
27x^11 +
27x^10 +
25x^9 +
21x^8 +
15x^7 +
10x^6 +
6x^5 +
3x^4 +
1x^3
Augenzahl 18 = 1 Möglichkeit
Augenzahl 17 = 3 Möglichkeiten
Augenzahl 16 = 6 Möglichkeiten
Augenzahl 15 = 10 Möglichkeiten
Augenzahl 14 = 15 Möglichkeiten
Augenzahl 13 = 21 Möglichkeiten
Augenzahl 12 = 25 Möglichkeiten
Augenzahl 11 = 27 Möglichkeiten
Augenzahl 10 = 27 Möglichkeiten
Augenzahl 9 = 25 Möglichkeiten
Augenzahl 8 = 21 Möglichkeiten
Augenzahl 7 = 15 Möglichkeiten
Augenzahl 6 = 10 Möglichkeiten
Augenzahl 5 = 6 Möglichkeiten
Augenzahl 4 = 3 Möglichkeiten
Augenzahl 3 = 1 Möglichkeit
8) Zu einem Eishockeyturnier werden 20 Spieler eines Verbandes gemeldet.
a) Wie viele Möglichkeiten, die Rückennummern 1 bis 20 zu verteilen, gibt es,
wenn ein bestimmter Spieler
auf jeden Fall die Nummer 11 erhält und ein zweiter keinesfalls die Nummer 9
tragen soll?
4 Spieler, 4 Rückennummern ohne Beschränkung
k
Vn = n! / (n - k)!
4
V4 = 4! / (4 - 4)!
4
V4 =
24
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,
3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
3
V3 =
6
123,
132, 213, 231, 312, 321
erster Spieler soll nicht die Eins bekommen
6 / 3 = 2
6 - 2 = 4
4 Möglichkeiten gibt, es die Rückennummer bei 4 Spielern mit 4 Rückennummern zu
verteilen.
20 Spieler, 20 Rückennummern ohne Beschränkung
k
Vn = n! / (n - k)!
20
V20 = 20! / (20 - 20)!
20
V20 =
2,432902008 * 1018
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
19
V19 =
1,21 * 1017
ein Spieler soll nicht die Neun bekommen
1,21 * 1017
/ 19 = 6,402373706 * 1015
1,21 * 1017
-
6,402373706 * 1015 =
1,152427267 * 1017
b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn außerdem ein dritter Spieler entweder 3
oder 7
bekommen soll?
Ein Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer.
Ein zweiter Spieler erhält eine bestimmte Rückennummer (3 oder 7).
18
V18 =
6,40237373706 * 1015
ein Spieler soll nicht die Neun bekommen
6,40237373706 * 1015
/ 18 = 3,556874281 * 1014
6,40237373706 * 1015
-
3,556874281 * 1014
=
6,046686278 * 1015
6,046686278 * 1015 * 2 =
1,209337256 * 1016
9) Bei einem Schulsportfest haben sich vier Schüler (A,B,C,D = 1,2,3,4) für den
Endlauf über 100 m
qualifiziert. Nach den Vorlaufzeiten war für den Einlauf ins Ziel die
Reihenfolge (C,B,D,A = 3,2,4,1) zu
vermuten. Der tatsächliche Einlauf ergab aber sowohl einen anderen Platz für
jeden einzelnen Läufer als
auch sämtlich andere (geordnete) Paare direkt aufeinander folgender Läufer. Der
Sportlehrer hatte die
Reihenfolge (A,D,B,C = 1,4,2,3) vorausgesagt, doch stimmten auch hier nur zwei
Plätze mit dem
tatsächlichen Ergebnis überein. In welcher Reihenfolge kamen die Läufer ins
Ziel?
4
V4 = 24
1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432, 2134, 2143,
2314, 2341, 2413, 2431, 3124, 3142, 3214, 3241,
3412, 3421, 4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321
1324, 1423, 1432, 2134, 2143,
2314, 2413, 4123, 4132, 4312,
sämtlich andere geordnete Paare direkt aufeinander folgender Läufer
32, 24, 41
2134, 2143,
2314, 4312,
keine Lösung
10) Neun Touristen übernachten in einer Berghütte. Wie viele Möglichkeiten der
Verteilung der Plätze
gibt es in folgenden Fällen?
Bei b) bis d)* sollen Fälle nicht unterschieden werden, in denen gleiche
Personengruppen beieinander bleiben,
jedoch unterschiedliche Zimmer belegen.
a) Es stehen ein Raum mit vier und ein Raum mit fünf Betten zur Verfügung.
5 werden ausgewählt, 4 ergänzen sich
z.B.
45789
2316
k
Cn = n! / [(n - k)! * k!]
5
C9 = 9! / [(9 - 5)! * 5!]
5
C9 = 126
b) Es können zwei Räume mit je sechs Betten bezogen werden.
entweder 6 und 3 oder 5 und 4
6
C9 = 84
5
C9 = 126
126 + 84 = 210
Es gibt 210 Möglichkeiten bei zwei Räumen mit je sechs Betten.
c) Es können drei Räume mit je drei Betten genutzt werden.
3 von 9 und 3 von den noch übrigen 6
3
C9 = 84
3
C6 = 20
84 * 20 = 1680
Es gibt 1680 Möglichkeiten bei drei Räumen mit je drei Betten.
d)* Es stehen drei Räume mit je vier Betten zur Verfügung.
Aufgaben mit Stern bei der Nummer sind von erhöhtem Schwierigkeitsgrad.
4 Betten 4Betten
4Betten
3
3
3
4
4
1
4
3
2
3
C9 = 84
*
3
C6 = 20
= 1680
4
C9 =
126
*
4
C5 = 5
= 630
4
C9 =
126
*
3
C5 =
10
= 1260
1680 + 630 + 1260 = 3570 Möglichkeiten
11) In der näheren Umgebung eines Erholungsortes gibt es 7 oder 13 oder 22
verschiedene Wanderrouten.
Wie viele Farben benötigt man zur unterschiedlichen Kennzeichnung dieser Routen
unter folgenden Bedingungen?
a) Die Kennzeichnung kann durch einen waagerechten Strich, ein Kreuz, einen
Kreis oder ein Dreieck erfolgen.
7 Wanderrouten = 4 Zeichen * 1 Farbe = 8 Möglichkeiten
13 Wanderrouten = 4 Zeichen * 3 Farben = 16 Möglichkeiten
22 Wanderrouten = 4 Zeichen * 5 Farben = 24 Möglichkeiten
b) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche in verschiedenen
Farben, deren Reihenfolge nicht
berücksichtigt wird.
Kombination ohne Wiederholung
2
C5 =
10 5 Farben für 7 Wanderrouten
2
C6 =
15 6 Farben für 13 Wanderrouten
2
C8 = 28
8 Farben für 22 Wanderrouten
c) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche. Dabei dürfen beide
Striche auch die gleiche Farbe
haben, und die Reihenfolge der Farben wird nicht berücksichtigt.
Kombination mit Wiederholung
2
C4 =
10 4 Farben für 7 Wanderrouten
2
C5 =
15 5 Farben für 13 Wanderrouten
2
C7 = 28
7 Farben für 22 Wanderrouten
d) Die Kennzeichnung erfolgt durch zwei parallele Striche in verschiedenen
Farben, bei denen aber
die Reihenfolge beachtet wird.
Variation ohne Wiederholung
2
V4 = 12
4 Farben für 7 Wanderrouten
2
V5 = 20
5 Farben für 13 Wanderrouten
2
V6 = 30
6 Farben für 22 Wanderrouten
12) Die Entwertung von Fahrscheinen für Nahverkehrsmittel erfolgt vielfach durch
das Einstanzen von 1 bis 6
Löchern an verschiedenen Stellen eines 2-mal-3-Schemas wie bei der Grundform der
Blindenschrift.
a) Wie viele verschiedene Kennzeichnungen sind auf diese Weise möglich?
1 2
3 4
5 6
1
C6 =
6
1, 2, 3, 4, 5, 6
2
C6 =
15
12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56
3
C6 =
20
123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256,
345, 346, 356, 456
4
C6 =
15
1234, 1235, 1236, 1245, 1246, 1256, 1345, 1346, 1356, 1456, 2345, 2346, 2356,
2456, 3456
5
C6 =
6
12345, 12346, 12356, 12456, 13456, 23456
6
C6 =
1
123456
6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 63
13) Bei Bodenuntersuchungen in der Agrochemie wendet man die so genannte
"stufenweise Verdünnung" an. Man schwemmt
1 cm³ einer Bodenprobe mit 10 cm³ chemisch reinen Wassers auf. Von der so
erhaltenen Mischung nimmt man wieder 1 cm³
und schwemmt abermals mit 10 cm³ reinen Wassers auf.
a) Nach wie vielen Aufschwemmungen ist ein Mischungsverhältnis von 1 : (2 * 106)
erreicht?
Dezimale Verdünnung
1 / 2000000 > 1 * (1/10)7
nach der 6 Aufschwemmung = 1 / 1000000
nach der 7 Aufschwemmung = 1 / 10000000
Nach der 7 Aufschwemmung ist dies erreicht.
b) 1 cm³ der fünften Aufschwemmung enthalte noch zehn Bakterien. Wie viele
Bakterien enthält dann durchschnittlich 1 cm³
der Bodenprobe?
10 * 105
= 1000000
14) Ein Fläschchen mit 100 cm³ Fassungsvermögen ist völlig mit Farbstofflösung
gefüllt, die 40 g Farbstoff enthält.
Beim Leeren des Fläschchens bleiben 0,5 cm³ der Flüssigkeit zurück. Nach
zweimaligem Ausspülen (jedes Mal wird
das Fläschchen mit Wasser vollständig aufgefüllt) ist die dritte Wasserfüllung
immer noch gefärbt.
Wie viel Gramm Farbstoff enthält sie noch?
40 g * (0,5 / 99,5)³ = 5,076 * 10-6
g
15) Stellen Sie nach dem Fallgesetz je eine Tabelle für die Wege bzw. die
Geschwindigkeiten am Ende der 1., 2., ..., 10. Sekunde
des Fallvorganges auf! Charakterisieren Sie die Folgen der Wege und der
Geschwindigkeiten!
geometrische Folge
s = a/2 * t²
t in s s in m
1 4,905
2 19,62
3 44,145
4 78,48
5
122,625
6 176,58
7
240,345
8 313,92
9
397,305
10 490,5
arithmetische Folge
V = a * t
t in s V in m/s
1 9,81
2 19,62
3 29,43
4 39,24
5 49,05
6 58,86
7 68,67
8 78,48
9 88,29
10 98,1
Berechnung der Halbwertzeit
16) Von einem Radiumpräparat zerfällt in 23 Jahren durchschnittlich etwa 1 %.
Wie lange dauert es, bis die Hälfte
des Präparats zerfallen ist, das heißt, wie groß ist die "Halbwertzeit"?
geometrische Folge
1 % von 1 = 0,01
1 - 0,01 = 0,99
0,5 = 0,99x
x = lg 05 / lg 0,99
x = 68,96756394
68,96756394 * 23 Jahren = 1586,25 Jahre
Von einem Radiumpräparat zerfällt in 6 Stunden durchschnittlich etwa 15 %.
Wie lange dauert es, bis die Hälfte
des Präparats zerfallen ist, das heißt, wie groß ist die "Halbwertzeit"?
geometrische Folge
15 % von 1 = 0,15
1 - 0,15 = 0,85
0,5 = 0,85x
x = lg 05 / lg 0,85
x = 4,265024282
4,265024282 * 6 Stunden = 25,59 Stunden
17) Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe ab. Wenn die Höhen eine
arithmetische Folge bilden,
so bilden die zugehörigen Luftdruckwerte eine geometrische Folge. Bei einer
Höhenzunahme von 0 m (Meereshöhe)
auf 10,5 m sinkt normalerweise der Luftdruck von 1013 mbar auf 1012 mbar.
a) Welcher Druck herrscht in 1000 m Höhe?
1012 / 1013 = 0,9990128332
für 10,5 m gilt: 1013 mbar * 0,9990128332 = 1012 mbar
für 21 m gilt: 1013 mbar * 0,9990128332 * 0,9990128332 = 1011 mbar
1000 / 10,5 = 95,24
1013 mbar * 0,999012833295,24
= 922,06 mbar
b) Wie hoch liegt ein Ort, in dem unter Normalbedingungen ein Luftdruck von 990
mbar herrscht?
1013 mbar * 0,9990128332x =
990 mbar
0,9990128332x = 990 /
1013
x * lg 0,9990128332 = lg 0,9772951629
x = - 9,974250755 * 10-3
- 4,289328429 * 10-4
x= 23,25364196
23,25364196 * 10,5 = 244,1632406 m
c) Wie hoch fliegt ein Flugzeug, das einen äußeren Luftdruck von 650 mbar misst,
während gleichzeitig
in Meereshöhe ein Druck von 1020 mbar herrscht?
1020 mbar * 0,9990128332x =
650 mbar
0,9990128332x =
650 / 1020
x * lg 0,9990128332 = lg 0,637254902
x = 456,21784
456,21784 * 10,5m = 4790,29 m
18) Ein Wellenende soll auf einer Drehmaschine bearbeitet werden.
Folgende Arbeitsstufen sind erforderlich:
1 Drehen, Durchmesser 10 mm
2 Drehen, Durchmesser 16 mm
3 Drehen, Durchmesser 20 mm
4 Fräsen der Flächen
5 Bohren, Durchmesser 2,4 mm
6 Gewindeschneiden M 3.
Man ermittle die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen dieser Stufen, die unter
Beachtung folgender
Einschränkungen theoretisch möglich sind: 6 kann erst nach 5 erfolgen und 4 kann
erst nach 2 erfolgen.
ohne Beschränkung
P6 = 6! = 720
Da die Arbeitsgänge 6 und 5 als Elemente der Permutationen gleichberechtigt
sind, gibt es unter den 720 Permutationen ebenso
viele, bei denen 6 vor 5 steht, wie solche, bei denen 5 vor 6 steht. So bleiben
bei Berücksichtigung der ersten Einschränkung nur
360 Permutationen übrig. Unter diesen gibt es wieder ebenso viele, bei denen 4
vor 2 steht, wie solche, bei denen 2 vor 4 steht.
Es gibt also nur 180 Permutationen, die beiden einschränkenden Bedingungen
genügen.
19) Auf einer Werkzeugmaschine sind vier verschiedene Werkstücke W1 bis W4 zu
bearbeiten. Der Arbeitsprozess gliedert sich
in ständig wiederkehrende Zyklen, bei denen jeweils jedes der vier
Werkstücke in einer bestimmten Stückzahl die Maschine durchläuft
Die Bearbeitungsreihenfolge der vier Werkstücke innerhalb eines Zyklus ist frei
wählbar. Die folgende Tabelle enthält die Umstellzeiten,
die für die Umstellung der Maschine von der Bearbeitung eines Werkstücks auf die
eines anderen erforderlich sind.
a) Ermitteln Sie für jede Bearbeitungsreihenfolge die insgesamt erforderliche
Umstellungszeit, und geben Sie die diesbezüglich optimale
Bearbeitungsreihenfolge an!
vorangehende Werkstücke folgende Werkstücke
Umstellzeiten der Maschine in min
1
2
30
1
3
24
1
4
4
2
1
8
2
3
25
2
4
10
3
1
18
3
2
12
3
4
6
4
1
20
4
2
5
4
3
14
Variation ohne Wiederholung
4
V4 = 24
1234 36 min
1243 44 min
1324 34 min
1342 29 min
1423 29 min
1432 16 min
2134 14 min
2143 22 min
2314 29 min
2341 45 min
2413 34 min
2431 28 min
3124 28 min
3142 23 min
3214 16 min
3241 32 min
3412 36 min
3421 14 min
4123 45 min
4132 32 min
4213 29 min
4231 23 min
4312 44 min
4321 22 min
b) Schätzen Sie den Arbeitsaufwand für eine derartige Lösung solcher
Optimierungsaufgaben
(Maschinenbelegungsprobleme) bei einer höheren Anzahl von Werkstücken ein!
bei 10 Werkstücken = 10! = 3628800 Möglichkeiten
Kreditberechnung
20) Ein Volkseigener Betrieb schafft für insgesamt 8.000.000 Mark Maschinen an.
60% dieses Betrages werden aus den betriebseigenen Umlaufmitteln entnommen.
Für den Rest erhält der Betrieb einen Bankkredit, für den ihm 6% Zinsen ( je
Jahr und
bezogen auf den jeweils noch verbleibenden Schuldenbetrag) berechnet werden.
a) Wie lange dauert es, bis der Kredit getilgt ist, wenn jeweils nach Ablauf
eines Jahres
- sofern nicht der verbleibende Schuldenbetrag einschließlich Zinsen geringer
ist -
850.000 Mark an die Bank gezahlt werden?
Kreditbetrag: 40% von 8.000.000 Mark = 3.200.000 Mark
Rentenrechnung nachschüssig
Gn = G0 * qn +/- r(qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
q = 1 + 6 / 100
q = 1,06
0
= 3.200.000 * 1,06n - 850.000(1,06n - 1)
1,06 - 1
0
= 3.200.000 * 1,06n - 850.000 * 1,06n
+ 850.000
0,06
0
= 3.200.000 * 1,06n - 850.000 * 1,06n
+ 850.000
0,06
0 = 192.000 *
1,06n - 850.000 * 1,06n + 850.000
-850.000 = - 658.000 *
1,06n
1,291793313 =
1,06n
lg 1,291793313 = n * lg 1,06
0,1111930321 = n * 0,02530586526
n = 4,3939 Jahre (a)
Nach 5 Jahren ist der Kredit getilgt. Die letzte Rate ist kleiner als 850.000
Mark.
b) Der jährliche an die Bank zu zahlende Betrag soll ein Vielfaches von 50.000
Mark betragen und
- bis auf den letzten - immer gleich groß sein. Wie groß ist er zu wählen, wenn
die Tilgung des Kredits
bereits in drei Jahren erfolgen soll?
Rentenrechnung nachschüssig
Gn = G0 * qn +/- r(qn - 1)
q - 1
q = 1 + p/100
Gn = Endkapital
G0 = Anfangskapital
p = Zinssatz
q = Aufzinsfaktor
n = Anzahl der geltenden Zeiträume / Jahre
r = Rentenbetrag
q = 1 + 6 / 100
q = 1,06
0 = 3.200.000 * 1,063
- x * (1,191016 - 1)
0,06
x = 3.811.251,2 / 3,1836
x = 1.197.151,401
1.200.000 / 50.000 = 24
Der jährliche an die Bank zu zahlende
Betrag ist
1.200.000 Mark.
letzte Aufgabe
21) Die Steigerung in der Erzeugung von Elektroenergie in der DDR von 1950 bis
1975 ist
in der folgenden Tabelle gekennzeichnet.
Jahr Erzeugung
in Mrd. kWh
1950
19
1955
29
1960
40
1965
54
1970
68
1975
85
a) Ermitteln Sie eine geometrische Folge (ak), die die Werte von 1950 und 1975
als a1 bzw. a2
enthält, und überprüfen Sie, in welcher Weise die angegebenen Zwischenwerte von
den Werten
für a2 ..., a5 abweichen!
a1 = 19 * qk-1
a6 = 19 * q6-1
85 = 19 * q5
q5
= 85/19
5 * lg q = lg 85/19
lg q = 0,130133065
q = 1,349376259
a6 = 19 * 1,3493762596-1
a6 = 84,99999993
ak = 19 * 1,349376259k-1
nach dieser Formel
a1 = 19
a2 = 25,64
a3 = 34,60
a4 = 46,68
a5 = 62,99
a6 = 84,99
b) Ermitteln Sie eine geometrische Folge (ak), die die Werte von 1970 und 1975
als a1 bzw. a6 enthält!
a1 = 68 * qk-1
a6 = 68 *
q5
85 = 68 *
q5
5 * lg q = lg 85/68
lg q = 0,0193820026
q = 1,045639553
ak = 68 * 1,045639553k-1
a1 = 68
a6 = 68 * 1,0456395536-1
a6 = 68 * 1,0456395535
a6 = 85,00000017
c) Die Direktive zum Fünfjahrplan 1976 bis 1980 sagt aus, dass in diesem
Zeitraum die Erzeugung von
Elektroenergie insgesamt 485 Mrd. kWh betragen soll. Überprüfen Sie ob (ak) aus b)
auch die Entwicklung in
den Jahren 1975 bis 1980 widerspiegelt! Wenn nicht, so versuchen Sie, durch
korrigierendes Abschätzen
zu einer neuen Folge zu kommen., die dem genannten Gesamtwert entspricht!
ak = 68 * 1,045639553k-1
a6 = 1975 = 85,00
a7 = 1976 = 88,88
a8 = 1977 = 92,94
a9 = 1978 = 97,18
a10 = 1979 = 101,61
a11 = 1980 = 106,25
Summe 1976 bis 1980 = 486,86 Mrd. kWh
d) Etwa 9 % der erzeugten Elektroenergie werden in Haushalten verbraucht.
Vereinfachend kann man annehmen,
dass dieser Verbrauch der Personenzahl proportional ist. Vergleichen Sie den
jährlichen Verbrauch Ihres Haushaltes
mit dem Durchschnittswert!
1980 = 106,25 Mrd. kWh Gesamtverbrauch
9 % von 106,25 Mrd. = 9.562.500.000 Mrd. kWh
1980 lebten in der DDR 16,40 Millionen Menschen
pro Person 583,1 kWh im Jahr
Verbrauch 2008 in Hamburg 1112 kWh
e) Wie viel Kilowattstunden könnten 1980 in der DDR insgesamt dadurch eingespart
werden, dass
in jedem Haushalt 1 % des sonst üblichen Verbrauchs an Elektroenergie eingespart
wird?
9.562.500.000 Mrd. kWh * 1 % = 95.625.000 kWh
B Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen
Die Bogenlänge eines Halbkreises mit dem Radius 1 beträgt
π.
Wenn man den Halbkreis durch Streckenzüge annähert, kann man Näherungswerte für
die Zahl Pi errechnen.
3 <
π < 4
3,10 <
π < 3,32
Bestätigen Sie unter Verwendung von Bild B 3, dass 3,10 <
π gilt!
Verwendung von 6 Strecken
h =
√(1 - 0,25)
h = (√3) / 2
1 -
((√3) / 2) = (2 - √3) / 2
s =
√[0,25 + ((2 - √3) / 2 )²]
s =
√(2 - √3)
s = 0,5176380902
0,5176380902 * 6 = 3,105828541
Schranken, Grenzen und Grenzwerte von Zahlenfolgen
Schranken von Zahlenfolgen
Ostern 2009
ak = n²
k 1
2 3
4 5
ak 1
4 9
16 25
Alle Folgeglieder liegen oberhalb der Null.
0 ist eine untere Schranke der Folge ak = n².
ak = 5 - 2k
k 1
2 3
4 5
ak 3
1 -1 -3
-5
Alle Folgeglieder liegen unterhalb der Zahl 5.
5 ist eine obere Schranke der Folge ak = 5 - 2k.
ak = -1k
* 1 / k
k 1
2 3
4 5
ak -1 1/2 -1/3 1/4
-1/5
Alle Folgeglieder liegen im Intervall -1 ; 1
-1 ist eine untere Schranke von ak = -1k
* 1 / k.
1 ist eine obere Schranke von ak = -1k
* 1 / k.
Die Folge ak = -1k
* 1/k ist beschränkt.
ak = -2k
k 1
2 3
4 5
ak -2 4
-8 16 -32
Die Folge hat keine obere Schranke, denn wie man auch eine Zahl s wählt, stets
gibt es eine gerade
natürliche Zahl k, so dass ak = -2k
> s. Die Folge hat auch keine untere Schranke. Die Folge
ist weder nach oben noch nach unten beschränkt.
Definition
s sei eine beliebig reelle Zahl
s ist eine untere Schranke von ak wenn für alle natürlichen k gilt: s
≤ ak
s ist eine obere Schranke von ak wenn für alle natürlichen k gilt: ak
≤ s
Wenn eine Folge eine untere (obere) Schranke hat, so hat sie viele untere
(obere) Schranken.
Beispiel 1
ak =
n
Σ 3/10k
k=1
k 1
2
3
4
5
ak 3/10
33/100 333/1000
3333/10000 33333/100000
ak 0,3
0,33 0,333
0,3333
0,33333
ak =
n
Σ 3/10k
k=1
ist eine beschränkte Folge. Eine untere Schranke ist 0, eine obere Schranke ist
1.
Beispiel 2
geometrische Zahlenfolge
ak = (2 / 3)k
k 1
2 3
4
5
ak 2/3
4/9 8/27
16/81 32/243
ak 0,66
0,44 0,29
0,19 0,13
Jedes Folgeglied von ak ist positiv. Also ist 0 eine untere Schranke von ak.
2/3 ist das größte Glied der Folge. Damit ist 2/3 eine obere Schranke.
Die Folge
ak = (2 / 3)k ist
beschränkt.
Beispiel 3
geometrische Zahlenfolge
ak = 2k
k 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
ak 2 4
8 16 32
64 128 256 512
1024
Die Folge ist nicht nach oben beschränkt.
Die Folge wächst unbeschränkt.
s = 1000
Für fast alle natürlichen Zahlen k gilt: 2k
> 1000.
Es gibt nur endlich viele k mit 2k
< s.
Es gibt unendlich viele k mit 2k
> s.
ak = -2k
k 1
2 3
4 5
ak -2 4
-8 16 -32
Es gibt unendlich viele k mit
-2k
< s.
Es gibt unendlich viele k mit
-2k
> s.
Aufgaben
Untersuchen Sie die Folge ak auf Monotonie, und geben Sie jeweils - falls
möglich - eine obere
und eine untere Schranke von ak an!
Monotonie von Folgen
Folgen sind spezielle Funktionen.
Eine Zahlenfolge heißt monoton wachsend wenn für jedes k gilt:
ak ≤ ak+1 daraus folgt ak+1 - ak ≥ 0
Eine Zahlen folge heißt monoton fallend wenn für jedes k gilt:
ak ≥ ak+1 daraus folgt ak+1 - ak ≤ 0
strenge Monotonie: jedes Glied ist größer oder kleiner
Folgen deren Glieder gleich sind heißen konstante Folgen. Sie sind entsprechend
der Definition monoton wachsend als auch monoton fallend.
1a) ak = k² - 1
k 0
1 2
3 4
ak -1 0
3 8
15
Die Folge ist streng monoton wachsend.
-1 ist eine untere Schranke der Folge.
-1 ≤ ak
1b) ak = 4 + 2 / n
k 1
2 3
ak 6 5
4,6666
Die Folge ist streng monoton fallend.
6 ist eine obere Schranke.
ak ≤ 6
4 ist eine untere Schranke.
4 < ak
1c) ak = -1k
k 0
1 2
3
ak 1 -1
1 -1
Die Folge ist nicht monoton.
1 ist eine obere Schranke.
ak ≤ 1
-1 ist eine untere Schranke.
-1 ≤ ak
2a) ak = -k³
k 0
1 2
3
ak 0 -1
-8 -27
Die Folge ist streng monoton fallend.
0 ist eine obere Schranke.
ak ≤ 0
2b) ak = 0,5k
k 0
1 2
3
ak 1 0,5
0,25 1/64
Die Folge ist streng monoton fallend.
Die Folge ist beschränkt.
1 ist eine obere Schranke.
ak ≤ 1
0 ist eine untere Schranke.
0 < ak
2c) ak = (-1)k
* 1 / (10)k
k 0
1 2
3 4
5
ak 0 -1/10 1/100
-1/1000 1/10000 -1/100000
Die Folge ist nicht monoton.
1/100 ist eine obere Schranke.
ak
≤ 1/100
-1/10 ist eine untere Schranke.
-1/10 ≤ ak
3) Prüfen Sie, ob 2 eine obere Schranke der Folge ak ist!
ak = (1 / √k) + 1
2 ist eine obere Schranke der Folge.
ak = (k + 4) / (k² + 1)
k 0
1 2
3 4
5
ak 4 2
6/5 7/10 8/17 9/26
2 ist keine obere Schranke der Folge.
4) Prüfen Sie, ob 2 eine obere Schranke der Folge ak ist!
ak = k² / (k + 6)
k 0
1 2
3 4
5
100
ak 0 1/7
1/2 1 16/10
25/11
10000/106
2 ist keine obere Schranke der Folge.
ak = (k + 1) / k
k 1
2 3
4 5
ak 2 3/2
4/3 5/4 6/5
2 ist eine obere Schranke der Folge.
5) Gegeben sei die Folge ak mit ak = (2k + 1) / k
a) Geben Sie eine obere und eine untere Schranke der Folge ak!
k 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
ak 3 2,5
2,3 2,25 2,2 2,16
2,14 2,125 2,11 2,1
obere Schranke
ak
≤ 3
untere Schranke
2
< ak
b) Veranschaulichen Sie die ersten 10 Glieder der Folge zusammen mit einer
unteren und
einer oberen Schranke im Koordinatensystem!
Geben Sie eine Folge ak an, die folgenden Bedingungen genügt!
6) ak ist monoton wachsend, und 0 ist eine obere Schranke von ak.
ak = (k + 1) / -k
k 1
2 3
1000
ak -2 -1,5
-1,33 -1,001
oder
ak = -1 / k
7) ak ist monoton fallend, und 3 ist eine untere Schranke der Folge ak.
ak = (3k + 1) / k
k 1
2 3
4 5
6 1000
ak 4 3,5
3,33 3,25 3,2 3,16
3,001
Entscheiden Sie, ob folgende Aussagen über natürliche Zahlen wahr sind!
8a) Für fast alle k gilt:
k² > k. wahr
8b) Für fast alle k gilt:
1 / k < 1 / 5. wahr
8c) Für fast alle k gilt:
2 * k ist keine Primzahl. wahr
nur 2 * 1 = 1
9a) Für fast alle k gilt:
0
≤ k ≤ 100. falsch
101; 1000; 100000; 100000000 alle größer als 100
9b) Für fast alle k gilt:
1 / k < 1 / 1000. wahr
9c) Für fast alle k gilt:
k ist eine Primzahl. falsch
Welche der Folgen ak ist unbeschränkt wachsend bzw. unbeschränkt fallend?
10a) ak = k²
unbeschränkt wachsend
10b) ak = - (2k + 1)
unbeschränkt fallend
10c) ak = √k
unbeschränkt wachsend
10d) ak = 1 / k²
-
11a) ak = k³
unbeschränkt wachsend
11b) ak = (k² + 1) / k²
-
11c) ak = 1 - k²
unbeschränkt fallend
11d) ak = 10k
unbeschränkt wachsend
Obere und
untere Grenze einer Zahlenfolge
ak = 1 / k
jedes Glied der Folge ist positiv
untere Schranke der Folge ak = 1 / k
0; - 1; -1000 sind untere Schranken der Folge
Kann man eine untere Schranke von ak = 1 / n finden, die größer als 0 ist?
Antwort: nein
0 ist die größte untere Schranke
der Folge ak = 1 / k
obere Schranke der Folge ak = 1 / k
100; 10; 3; 2; 2,1; 2,3333 sind obere Schranken der Folge
1 ist die kleinste obere Schranke
der Folge ak = 1 / k
Definition:
größte untere Schranke = untere Grenze
kleinste obere Schranke = obere Grenze
Beispiel 4
Es ist zu untersuchen, ob die Folge ak mit ak = 1 - (1 / k) eine obere und eine
untere Grenze hat?
k 1
2 3
4 5
ak 0 0,5
0,66 0,75 0,8
untere Grenze = 0
obere Grenze = 1
6) Es ist 1 - (1 / n) > 0,9 für n = 11. Ermitteln Sie jeweils eine natürliche
Zahl n derart, dass
a) 1 - (1 / n) > 0,99
n = 101
b) 1 - (1 / n) > 0,999
n = 1001
ist!
Beispiel 5
Es ist die obere Grenze der Folge an =
n
Σ 3/10k
k=1
zu ermitteln.
k 1
2
3
4
5
ak 3/10
3/100 3/1000
3/10000
3/100000
an 3/10
33/100 333/1000
3333/10000 33333/100000
an 0,3
0,33 0,333
0,3333
0,33333
geometrische Folge und die dazugehörige
Partialsummenfolge
ak = 3 / 10k
ak = (3 / 10) * 1 / (10k-1
)
a1 = 3 / 10
q = 1 / 10
an = die Partialsummenfolge der geometrischen Folge ak
an= a1 * (qk - 1) / (q -1)
an= 3 / 10 * ((1 / 10)k - 1) / ((1
/ 10) -1)
an= 3 / 10 * ((1 / 10)k - 1) / -9
/ 10
an= -1 / 3 * ((1 / 10)k - 1)
an= -1 /( 3 * 10k
) + 1 / 3
an = 1 / 3 - 1 / ( 3 * 10k
)
Probe für k = 5
an = 1 / 3 - 1 / (3 * 105 )
an = 1 / 3 - 1 / 300000
an = 0,33333
Für alle k ist an < 1/3. Mit wachsender Nummer k kommt jedoch an der Zahl 1 / 3
beliebig nahe.
1 / 3 ist gleich die kleinste obere Schranke, dass heißt die obere Grenze der
Partialsummenfolge.
Satz von der oberen Grenze
Jede nach oben beschränkte Zahlenfolge hat eine obere Grenze.
Entsprechend gilt auch:
Jede nach unten beschränkte Zahlenfolge hat eine untere Grenze.
(gilt nicht für den Bereich der rationalen Zahlen)
Aufgaben
1) Geben Sie jeweils - falls vorhanden - die untere und die obere Grenze der
Folge (an) an.
a) an = n² - 1
untere Grenze = -1
b) an = (n² + 1) / n²
obere Grenze = 2
untere Grenze = 1
c) an = n + (1 / n)
untere Grenze = 2
2a) an = 1 - n²
obere Grenze = 1
b) an = (n² - 1) / n²
untere Grenze = 0
obere Grenze = 1
c) an = n - (1 / n)
n 1
2 3
1000
an 0 1,5
2,66 999,999
untere Grenze 0
3) Gegeben sei die Folge an mit an = 1 + 1 / n².
a) Begründen Sie, dass 1 die untere Grenze der Folge ist!
1 ist eine untere Schranke der Folge, weil an > 1
mit zunehmendem n kommt (an) der Zahl 1 beliebig nahe
b) Geben Sie eine natürliche Zahl n an, so dass 1 < an < 1,01 ist !
n = 11
an = 1 + (1 / 121)
an = 122/121
an = 1,00826
4) Gegeben sei die Folge an mit an = 2 - (1 / 10n)
a) Begründen Sie, dass 2 die obere Grenze der Folge ist!
1 / 10n > 0
deshalb an < 2
mit zunehmendem n kommt (an) der Zahl 2 beliebig nahe
deshalb ist 2 obere Grenze
b) Geben Sie eine natürliche Zahl n an, so dass 1,999 < an < 2 ist!
n = 4
an = 2 - (1 / 104)
an = 1,9999
5) Geben Sie eine nach oben beschränkte Zahlenfolge an, deren obere Grenze Glied
der Folge ist!
an = 5 - 2n
n 0
1 2
3
an 5 3
1 -1
5 ist obere Grenze und Glied der Folge
6) Geben Sie eine nach oben beschränkte Zahlenfolge an, deren obere Grenze nicht
Glied der Folge ist!
an = 2 - (1 / 10n)
2 ist obere Grenze und nicht Glied der Folge
Grenzwert einer Zahlenfolge
Schon mehrfach haben wir die Redeweise gebraucht, dass eine Folge (an) mit
wachsender Nummer n
einer Zahl beliebig nahe kommt. Um nun das bisher im anschaulichen Sinne
verwendete Annähern einer
Folge an eine Zahl präzise erfassen zu können, führen wir einen neuen Begriff
ein, und zwar den Begriff
der ε-Umgebung (Epsilonumgebung) einer Zahl.
Intervalle
a und b sind reelle Zahlen
a < b
x = Menge der reellen Zahlen mit der Eigenschaft:
a < x < b
zwischen a und b = offenes Intervall (a, b) a
und b nicht enthalten
andere Schreibweise
zwischen a und b = offenes Intervall ]a, b[ a
und b nicht enthalten
zwischen a und b = halboffenes Intervall [a,
b) a enthalten, b nicht enthalten
andere Schreibweise
zwischen a und b = halboffenes Intervall [a, b[ a enthalten, b nicht enthalten
einschließlich a und b = abgeschlossenes
Intervall [a, b]
Definition Epsilon-Umgebung
Ist a eine beliebige reelle Zahl und ε eine beliebige positive reelle Zahl, so
nennt man das offene Intervall
(a - ε; a + ε) die Epsilon-Umgebung von a.
Es sei a eine beliebige Zahl und ε eine positive Zahl.
Dann ist die Epsilon-Umgebung von a gerade die Menge
jener reeller Zahlen x, für die gilt:
|x - a| < ε
Folge
an = 1 - (1 / n)
a = 1
Epsilon-Umgebung von 1
|x - a| < ε
|an - 1| < ε
|1- (1 / n) - 1| < ε
|-(1 / n)| < ε
wegen Betrag
1 / n < ε
n > 1 / ε
Beispiel:
1 / 10 - Umgebung von 1 für an =
1 - (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 10
n > 1 / ε
n > 10
Alle n > 10, also ab n = 11 liegt (an) in der 1 / 10 - Umgebung von 1 für an = 1
- (1 / n).
Es sei ε = 1 / 1000. Untersuchen Sie, für welche natürlichen Zahlen n die
Glieder an der Folge
an = 1 + (1 / n) in der Epsilon-Umgebung von 1 liegen.
Folge
an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 1000
Epsilon-Umgebung von 1
|x - a| < ε
|an - 1| < ε
|1+ (1 / n) - 1| < ε
|(1 / n)| < ε
wegen Betrag
1 / n < ε
n > 1 / ε
1 / 1000 - Umgebung von 1 für an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 1000
n > 1 / ε
n > 1000
Gilt für alle natürlichen n größer als 1000.
Für die Folgen an = 1 - (1 / n) und an = 1 + (1 / n) gilt:
1 ist Grenzwert der Folge
Grenzwert der Folge
Definition:
Es sei (an) eine Zahlenfolge und g eine Zahl.
g ist Grenzwert von (an) wenn gilt:
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
an liegt in der ε-Umgebung von g.
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
|x - a| < ε
|an - g| < ε
Eine Folge, die einen Grenzwert g hat, heißt konvergent.
konvergent = übereinstimmend (Alle Glieder der Folge nähern sich einem
Grenzwert.)
konvergierend = zusammenlaufend
Eine Folge, die keinen Grenzwert g hat, heißt divergent.
divergent = unterschiedlich
divergierend = nicht einem endlichen Grenzwert zustrebend
Beispiel für divergent:
an = (-1)n * (1 - (1 / n))
obere Grenze = 1
untere Grenze = -1
Die Folge hat keinen Grenzwert.
Die Folge ist zwar nach oben und auch nach unten beschränkt.
Jedoch nähern sich die Folgeglieder
keiner Zahl in dem Sinne, wie es
durch die Definition des Grenzwertes einer Folge präzisiert wird.
Folgen, die nicht beschränkt sind, sind auch nicht konvergent.
Aufgaben:
Markieren Sie die Epsilon-Umgebung von a für folgende Werte von a und ε!
1a) ε = 0,5 a = 2
offenes Intervall (1,5; 2,5)
b) ε = 1 / 10 a = 1 / 2
offenes Intervall (0,4; 0,6)
2a) ε = 0,3 a = 1,5
offenes Intervall (1,2; 1,8)
b) ε = 1 / 3 a = 0
offenes Intervall (-1/3; 1/3)
Entscheiden Sie, ob die Zahl x zur ε-Umgebung von a gehört!
3a) ε = 1/10 a = 1
offenes Intervall (9/10; 11/10)
x = 0,8 nein
x = 1,02 ja
x = 1 ja
x = 12/11 ja
3b) ε = 1/100 a = 0
offenes Intervall (-0,01; 0,01)
x = 0,09 nein
x = 0,009 ja
x = 0,99 nein
x = -0,001 ja
x = 0 ja
4a) ε = 1/10 a = -1
offenes Intervall (-11/10; -9/10)
offenes Intervall (-1,100; -0,900)
x = -0,09 nein
x = -1,005 ja
x = -12/11 = -1,09090 ja
x = -0,98 ja
4b) ε = 1/100 a = 1/2
offenes Intervall (0,49; 0,51)
x = 0,499 ja
x = 0,505 ja
x = 0,51 nein
x = 0,501 ja
5) Gegeben sei die Folge (an) mit an = 1 - (1/n).
a) Liegt a20 in der 0,1-Umgebung von 1?
offenes Intervall (0,9; 1,1)
a20 = 1 - (1/20)
a20 = 0,95 ja
b) Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n, für die (an) in der 1/1000-Umgebung
von 1 liegt!
Beispiel vorherige Aufgabe:
1 / 10 - Umgebung von 1 für an =
1 - (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 10
n > 1 / ε
n > 10
Alle n > 10, also ab n = 11 liegt (an) in der 1 / 10 - Umgebung von 1 für an = 1
- (1 / n).
Lösung:
1 / 1000 - Umgebung von 1 für an =
1 - (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 1000
n > 1 / ε
n > 1000
Alle n > 1000, also ab n = 1001 liegt (an) in der 1 / 1000 - Umgebung von 1 für an = 1
- (1 / n).
6) Gegeben sei die Folge (an) mit an = 1 + (1/n)
a) Liegt a20 in der 0,01-Umgebung von 1?
offenes Intervall (0,99; 1,01)
a20 = 1 + (1/20)
a20 = 1,05 nein
b) Bestimm Sie alle natürlichen Zahlen n, für die (an) in der 0,01-Umgebung von
1 liegt!
Folge
an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 1000
Epsilon-Umgebung von 1
|x - a| < ε
|an - 1| < ε
|1+ (1 / n) - 1| < ε
|(1 / n)| < ε
wegen Betrag
1 / n < ε
n > 1 / ε
1 / 1000 - Umgebung von 1 für an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 1000
n > 1 / ε
n > 1000
Gilt für alle natürlichen n größer als 1000.
Lösung:
Folge
an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 100
Epsilon-Umgebung von 1
|x - a| < ε
|an - 1| < ε
|1+ (1 / n) - 1| < ε
|(1 / n)| < ε
wegen Betrag
1 / n < ε
n > 1 / ε
1 / 100 - Umgebung von 1 für an = 1 + (1 / n)
a = 1
ε = 1 / 100
n > 1 / ε
n > 100
Gilt für alle natürlichen n größer als 100.
Untersuchungen von Zahlenfolgen auf Konvergenz
Man beweise, dass 1/2 Grenzwert der Folge an = (n + 1) / 2n ist.
Grenzwert der Folge
Definition:
Es sei (an) eine Zahlenfolge und g eine Zahl.
g ist Grenzwert von (an) wenn gilt:
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
an liegt in der ε-Umgebung von g.
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
|x - a| < ε
|an - g| < ε
|[(n + 1) / 2n] - 1/2| < ε
|[(n + 1 - n) / 2n] | < ε
|1 / 2n| < ε
1 / 2n < ε
n > 1 / 2ε
Es wird geprüft, ob bei jedem positiven ε für fast alle n die Ungleichung n > 1
/ 2ε gilt.
ε sei eine beliebige positive Zahl. Dann ist auch 1 / 2ε eine positive Zahl.
Es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen, die kleiner oder gleich der Zahl 1
/ 2ε sind.
Damit gilt für fast alle n:
n > 1 / 2ε
Somit ist 1/2 Grenzwert der Folge an = (n + 1) / 2n.
Überprüfen Sie durch Nachrechnen der angegebenen Werte für Epsilon!
ε = 1/10
g = 1/2
n > 1 / 2ε
n > 5
an = (n + 1) / 2n
a6 = (6 + 1) / 12
a6 = 7/12
|an - g| < ε
|7/12 - 1/2| < 1/10
1/12 < 1/10
Probe gilt erst für n > 5
an = (n + 1) / 2n
a5 = (5 + 1) / 10
a5 = 6/10
|an - g| < ε
|6/10 - 1/2| = 1/10
ε = 1/20
g = 1/2
n > 1 / 2ε
n > 10
an = (n + 1) / 2n
a11 = (11 + 1) / 22
a11 = 12/22
|an - g| < ε
|12/22 - 1/2| < 1/20
1/22 < 1/20
ε = 1/100
g = 1/2
n > 1 / 2ε
n > 50
an = (n + 1) / 2n
a51 = (51 + 1) / 102
a11 = 52/102
|an - g| < ε
|52/102 - 1/2| < 1/100
1/102 < 1/100
ε = 1/1000
g = 1/2
n > 1 / 2ε
n > 500
an = (n + 1) / 2n
a501 = (501 + 1) / 1002
a11 = 502/1002
|an - g| < ε
|502/1002 - 1/2| < 1/1000
1/1002 < 1/1000
Man beweise, das (1 / n) gegen 0 konvergiert.
oder
Man beweise, dass 0 Grenzwert der Folge an = 1 / n ist.
Grenzwert der Folge
Definition:
Es sei (an) eine Zahlenfolge und g eine Zahl.
g ist Grenzwert von (an) wenn gilt:
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
an liegt in der ε-Umgebung von g.
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
|x - a| < ε
|an - g| < ε
|(1 / n) - 0| < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
Es wird geprüft, ob bei jedem positiven ε für fast alle n die Ungleichung n > 1
/ ε gilt.
ε sei eine beliebige positive Zahl. Dann ist auch 1 / ε eine positive Zahl.
Es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen, die kleiner oder gleich der Zahl 1
/ ε sind.
Damit gilt für fast alle n:
n > 1 / ε
Somit ist 0 Grenzwert der Folge an = 1 / n.
Eine Folge, die Null als Grenzwert hat, nennt man auch Nullfolge.
Nullfolge bedeutet Grenzwert 0
Man zeige: 2 ist nicht Grenzwert der Folge an = (7n + 1) / 3n!
Grenzwert der Folge
Definition:
Es sei (an) eine Zahlenfolge und g eine Zahl.
g ist Grenzwert von (an) wenn gilt:
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
an liegt in der ε-Umgebung von g.
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
|x - a| < ε
|an - g| < ε
|[(7n + 1) / 3n] - 2| < ε
|(n + 1) / 3n| < ε
(n + 1) / 3n < ε
n/3n + 1/3n < ε
1/3 + 1/3n < ε
Für ε = 1/3 gibt es kein n welches die Ungleichung erfüllt.
Also gilt folgender Satz nicht:
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
2 ist nicht Grenzwert der Folge an = (7n + 1) / 3n.
Ist eine Folge konvergent, so hat sie genau einen Grenzwert g.
Limes - lateinisch Grenze, Grenzwert
lim an = g
n → ∞
Limes an für n gegen Unendlich = g.
Beispiele:
lim (n + 1) / 2n = 1 / 2
n→∞
lim 1 / n = 0
n→∞
lim 1 - 1 / n = 1
n→∞
lim 1 + 1 / n = 1
n→∞
lim 1 + ((-1)n
/ n) = 1
n→∞
Limes konstante Folge
konstante Folge z.B.: an = 3n / n
a1 = 3
a2 = 3
a3 = 3
a4 = 3
an = 3
lim 3 =
3
n→∞
Aufgaben:
Zeigen Sie, dass folgende Gleichungen gelten!
1a)
lim (n + 1) / n = 1
n→∞
Grenzwert der Folge
Definition:
Es sei (an) eine Zahlenfolge und g eine Zahl.
g ist Grenzwert von (an) wenn gilt:
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
an liegt in der ε-Umgebung von g.
"Wie klein Epsilon auch gewählt wird,
für fast alle n ist der Abstand zwischen an und g kleiner."
|x - a| < ε
|an - g| < ε
|(n + 1 / n) - 1| < ε
|(n + 1 - n) / n | < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
Es wird geprüft, ob bei jedem positiven ε für fast alle n die Ungleichung n > 1
/ ε gilt.
ε sei eine beliebige positive Zahl. Dann ist auch 1 / ε eine positive Zahl.
Es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen, die kleiner oder gleich der Zahl 1
/ ε sind.
Damit gilt für fast alle n:
n > 1 / ε
Somit ist 1 Grenzwert der Folge an = (n + 1) / n.
1b)
lim (n - 1) / 2n = 1 / 2
n→∞
|an - g| < ε
|(n - 1 / 2n) - 1 / 2| < ε
|(n - 1 - n) / 2n| < ε
|-1 / 2n| < ε
1 / 2n < ε
n > 1 / 2ε
1c)
lim (- n - 1) / n = -1
n→∞
|an - g| < ε
|((- n - 1) / n) + 1| < ε
|(- n - 1 + n) / n| < ε
|-1 / n| < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
2a)
lim (n - 1) / (n + 1) = 1
n→∞
|an - g| < ε
|((n - 1) / (n + 1)) - 1| < ε
|-2 / (n + 1)| < ε
2 / (n + 1) < ε
(n + 1) > 2 / ε
n > (2 / ε) - 1
2b)
lim (2n + 1) / 3n = 2 / 3
n→∞
|an - g| < ε
|((2n + 1) / 3n) - 2 / 3| < ε
|(2n + 1 - 2n) / 3n| < ε
|1 / 3n| < ε
1 / 3n < ε
n > 1 / 3ε
2c)
lim (1 - n) / 2n = - 1 / 2
n→∞
|an - g| < ε
|((1 - n) / 2n) + 1 / 2| < ε
|1 / 2n| < ε
1 / 2n < ε
n > 1 / 2ε
3) Gegeben sei die Folge (an) mit
an = (3n + 1) / n
a) Zeigen Sie, dass die Folge den Grenzwert 3 hat!
|an - g| < ε
|((3n + 1) / n) - 3| < ε
|1 / n| < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
b) Für welche natürlichen Zahlen n gilt |an - 3| < ε, wenn
ε = 1 / 10
ε = 1 / 100
ε = 1 / 1000
ist?
ε = 1 / 10
n > 1 / ε
n > 10
ε = 1 / 100
n > 1 / ε
n > 100
ε = 1 / 1000
n > 1 / ε
n > 1000
4) Gegeben sei die Folge (an) mit
an = (2n -1) / n
a) Zeigen Sie, dass die Folge den Grenzwert 2 hat!
|an - g| < ε
|((2n - 1) / n) - 2| < ε
|-1 / n| < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
b) Für welche natürlichen Zahlen n gilt |an - 2| < ε, wenn
ε = 1 / 10
ε = 1 / 100
ε = 1 / 1000
ist?
ε = 1 / 10
n > 1 / ε
n > 10
ε = 1 / 100
n > 1 / ε
n > 100
ε = 1 / 1000
n > 1 / ε
n > 1000
5) Prüfen Sie, ob die nachstehenden Folgen Nullfolgen sind!
Eine Folge, die Null als Grenzwert hat, nennt man auch Nullfolge.
a) an = 2 / n
|an - g| < ε
|(2 / n) - 0| < ε
2 / n < ε
n > 2 / ε
Ja, (2 / n) ist eine Nullfolge.
b) an = 1 / (n + 1)
|an - g| < ε
|1 / (n + 1) - 0| < ε
1 / (n + 1) < ε
n > (1 / ε) - 1
Ja, (1 / (n + 1)) ist eine Nullfolge.
c) an = 2 + (1 / n)
|an - g| < ε
|2 + (1 / n) - 0| < ε
2 + 1 / n < ε
Nein, (2 + 1 / n) ist keine Nullfolge.
6a) an = 10 / n
|an - g| < ε
|(10 / n) - 0| < ε
10 / n < ε
n > 10 / ε
Ja, (10 / n) ist eine Nullfolge.
6b) an = 4 - (1 / n)
Nein, (4 - (1 / n)) ist keine Nullfolge.
6c) an = 1 / (n + 5)
Ja, (1 / (n + 5)) ist eine Nullfolge.
Zeigen Sie, dass die Zahl a nicht Grenzwert der Folge (an) ist!
7) an = (5n + 1) / n
a = 4
|an - g| < ε
|((5n + 1) / n) - 4| < ε
|(5n + 1 - 4n) / n| < ε
|(n + 1) / n| < ε
(n + 1) / n < ε
4 ist nicht Grenzwert der Folge an = (5n + 1) / n.
Wählen wir zum Beispiel ε = 1 / 2, so gilt für kein n die Ungleichung (n + 1) /
n < ε.
8) an = 3n
a = 100
|an - g| < ε
|3n
- 100| < ε
Die Folge wächst unbeschränkt und hat deshalb keinen Grenzwert.
Folgen, die nicht beschränkt sind, sind auch nicht konvergent.
Konvergenzverhalten monotoner Folgen
Wiederholen Sie den Satz von der oberen Grenze!
Die obere Grenze entspricht der kleinsten oberen Schranke.
Welche Eigenschaften (Monotonie, Beschränktheit, Existenz von Grenzen,
Konvergenz) hat die Folge ((n - 1) / n)?
(n - 1) / n
n 1
2 3
4 5
an 0 1/2
2/3 3/4 4/5
Monotonie: streng monoton wachsend
Beschränktheit: nach oben hin beschränkt
Existenz von Grenzen: 1 ist die obere Grenze
Konvergenz: Alle Glieder der Folge nähern sich
einem Grenzwert. Die Folge ist
konvergent.
Zeigen Sie, dass die Folge (-1 / n) monoton wächst und nach oben beschränkt ist!
Bestimmen Sie die obere Grenze
und den Grenzwert dieser Folge! Was stellen Sie fest?
Konvergiert jede nach oben beschränkte monoton wachsende Folge?
an = -1 / n
n 1
2 3
4 5
an -1 -1/2
-1/3 -1/4 -1/5
Die Folge an = -1 / n wächst monoton. ak ≤ ak+1
Die Folge ist beschränkt, alle Glieder der Folge sind kleiner als 0.
0 ist die obere Grenze und der Grenzwert der Folge.
an ist nach oben beschränkt
an wächst monoton
an hat eine obere Grenze g
für jede natürliche Zahl n gilt: an ≤
g
Jede Zahl, die kleiner als g ist, kann nicht obere Schranke von an sein.
ε = beliebig positive Zahl
g - ε kann nicht obere Schranke von an sein weil g - ε < g
g > an
m = natürliche Zahl
g - ε < am
n > m
g - ε < am ≤ an
g - ε < am ≤ an ≤ g
Unterhalb von g - ε können höchstens die Glieder a0, a1, ..., am-1 (also endlich
viele) liegen.
Dies bedeutet:
Für fast alle n ist g - ε < an ≤ g.
Dann gilt erst recht:
Für fast alle n ist g - ε < an < g + ε.
Folglich ist
lim an = g.
n→∞
Beweisen Sie, dass jede nach unten beschränkte monoton fallende Zahlenfolge
gegen ihre untere Grenze konvergiert!
an ist nach unten beschränkt
an fällt monoton
an hat eine untere Grenze g
für jede natürliche Zahl n gilt: an ≥ g
Jede Zahl, die größer als g ist, kann nicht
untere Schranke von
an sein.
ε = beliebig positive Zahl
g + ε kann nicht untere Schranke von an sein weil g + ε > g
g < an
m = natürliche Zahl
g + ε > am
n > m
g + ε > am ≥ an
g + ε > am ≥ an ≥ g
Oberhalb von g + ε können höchstens die Glieder a0, a1, ..., am-1 (also endlich
viele) liegen.
Dies bedeutet:
Für fast alle n ist g + ε > an ≥ g.
Dann gilt erst recht:
Für fast alle n ist g + ε > an > g - ε.
Folglich ist
lim an = g.
n→∞
Definition
Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent. Dabei konvergiert jede
beschränkte monoton wachsende Folge
gegen ihre obere Grenze und jede beschränkte monoton fallende Folge gegen ihre
untere Grenze.
Auftrag 16
Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für jede natürliche Zahl n mit n > 0
gilt
n-1
Σ
1
= n - 1 !
i= 1 i(i + 1)
n
Nachfolger von n - 1 = n
n
Σ
1
= n
k= 1 k(k + 1) n
+ 1
Beweis:
Voraussetzung n ist eine natürliche Zahl, n > 0
1. Induktionsanfang
1
Σ 1
=
1/2
k= 1 k(k + 1)
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
n = m
m
Σ 1
= m
k= 1 k(k + 1)
m + 1
Induktionsbehauptung
m+1
Σ 1
=
m + 1
k= 1 k(k + 1)
m + 2
m+1 m
Σ 1 =
Σ 1 +
1
=
k= 1 k(k + 1) k= 1 k(k + 1)
(m + 1) * (m + 2)
|
|
Summe bis einschließlich m
das Glied m + 1
rechte Seite
m
+
1
=
m + 1
(m + 1) * (m + 2)
m * (m + 2) + 1 =
(m + 1) * (m+2)
m²+ 2m + 1 =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)²
=
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1) * (m + 1) =
(m + 1) * (m + 2)
(m + 1)
(m + 2)
Beispiel 11
Wir zeigen, dass die Folge (sn) monoton wächst und nach oben beschränkt ist und
deshalb konvergiert.
ak= 1 / k²
k 1
2 3
4 5
ak 1 1/4
1/9 1/16 1/25
n
Σ 1
= sn
k= 1 k²
sn = Partialsummenfolge
Nachweis der Monotonie
sn= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/n²
sn+1= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/n² + 1/(n + 1)²
sn < sn+1
Die Folge (sn) wächst streng monoton.
Nachweis der Beschränktheit
Für jede natürliche Zahl n mit n > 1 gilt:
n² > n² - n
für 2
4 > 2
n² > (n - 1) * n
1 / n² < 1 / ((n - 1) * n)
Für jede natürliche Zahl n mit n > 1 gilt dann:
sn= 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + .... + 1/n²
<
1 + 1/2 + 1/6 + 1/12 + ... + 1 / ((n - 1) * n)
=
n-1
Σ 1
+ 1
k= 1 k * (k + 1)
n-1
Σ 1
ist nach oben beschränkt. Somit ist auch (sn) nach oben beschränkt.
k= 1 k * (k + 1)
Es gilt:
n-1
Σ
1
= n - 1
< 1
i= 1 i(i + 1)
n
n-1
Σ
1
+ 1 < 2
i= 1 i(i + 1)
Ergebnis= sn < 2
Die Zahl 2 ist eine obere Schranke der Folge (sn). Die Folge (sn) wächst monoton
und ist nach oben hin beschränkt.
Entsprechend der
Definition ist die Folge (sn) dann auch
konvergent.
Die Folge hat den Grenzwert π² / 6.
Aufgaben:
1) Weisen Sie nach, dass die Folgen monoton wachsen!
Welche dieser Folgen sind konvergent? Begründen Sie Ihre Ergebnisse!
a) an = 10n
streng monoton wachsend
an+1 > an
nicht konvergent
Die Folge wächst unbeschränkt und hat deshalb keinen Grenzwert.
Folgen, die nicht beschränkt sind, sind auch nicht konvergent.
b) an = n / (n + 1)
an+1 - an =
(n + 1) / (n + 2) - n / (n + 1) =
[(n + 1) * (n + 1) - n * (n + 2)] / (n + 1) * (n + 2) =
n² + n + n + 1 - n² - 2n / (n + 1) * (n + 2) =
1 / (n + 1) * (n + 2) ≥ 0
Die Folge ist monoton wachsend.
g = 1
|an - g| < ε
|(n / (n + 1) - 1| < ε
|n - (n + 1) / (n + 1)| < ε
|- 1 / (n + 1)| < ε
1 / (n + 1) < ε
Die Folge ist konvergent. 1 ist der Grenzwert der Folge.
c) an = 2n / (3n + 4)
n 0
1 2
3 4
5 10000
an 0 2/7
2/5 6/13 1/2 10/19
20000 / 30004
an 0 0,29 0,4
0,46 0,5 0,53
0,666577
g = 2/3
|an - g| < ε
|(2n / (3n + 4)) - 2 / 3| < ε
|((6n - 2 * (3n + 4)) / 9n +12| < ε
|(6n - 6n - 8) / (9n + 12)| < ε
|- 8 / (9n + 12)| < ε
8 / (9n + 12) < ε
mal die Probe, 1/2 ist nicht Grenzewert
g = 1/2
|an - g| < ε
|(2n / (3n + 4)) - 1/2| < ε
|(2n * 2 - (3n + 4)) / 2 * (3n + 4)| < ε
|(4n - 3n - 4) / (6n + 8)| < ε
|(n - 4) / (6n + 8)| < ε
n= 0
|-4 / 8|
1/4 < ε
n= 4
0 < ε
n= 10
6/68 < ε
0,0882 < ε
Die Folge ist monoton wachsend.
Die Folge ist konvergent. 2/3 ist der Grenzwert der Folge.
1d) an = 1,1n
an+1 - an =
1,1n+1 - 1,1n
=
(1,1 *1,1n) - 1,1n
≥ 0
Die Folge wächst monoton und unbeschränkt. Sie ist deshalb divergent.
2) Weisen Sie nach, dass die Folgen monoton fallen!
Welche dieser Folgen sind konvergent? Begründen Sie Ihre Ergebnisse!
a) an = 1/2n
an+1 - an =
1/2n+1 - 1/2n
=
(1/2 * 1/2n) - 1/2n
≤ 0
Die Folge fällt monoton.
n 0
1 2
3 4
10
an 1 1/2
1/4 1/8 1/16 1/1024
g = 0
|an - g| < ε
|1/2n - 0| < ε
1/2n < ε
Die Folge ist konvergent.
b) an = (n + 1) / 2n
an+1 - an =
(n + 2) / (2n + 2) - (n + 1) / 2n =
(2n * (n + 2) -((2n + 2) * (n + 1))) / ((2n + 2) * 2n) =
2n² + 4n - (2n² + 2n + 2n + 2) / ((2n + 2) * 2n) =
2n² + 4n - 2n² - 2n - 2n - 2) / ((2n + 2) * 2n) =
- 2 / ((2n + 2) * 2n) < 0
Die Folge fällt streng monoton.
g = 1/2
|an - g| < ε
|((n + 1) / 2n) - 1/2| < ε
|(n + 1 - n) / 2n| < ε
1 / 2n < ε
Die Folge ist konvergent.
c) an = 0,9n
an+1 - an =
0,9n+1 - 0,9n
=
(0,9 * 0,9n) - 0,9n
< 0
Die Folge fällt streng monoton.
g = 0
|an - g| < ε
|0,9n - 0| < ε
0,9n < ε
Die Folge ist konvergent.
d) an = -n³
an+1 - an =
-(n + 1)³ + n³ =
-(n + 1)² * (n + 1) + n³ =
-(n² + 2n + 1) * (n + 1) + n³ =
-(n³ + 2n² + n + n² + 2n + 1) + n³ =
-n³ - 2n² - n - n² - 2n - 1 + n³ =
- 2n² - n - n² - 2n - 1 =
- 3n² - 3n - 1 < 0
Die Folge ist streng monoton fallend. Die Folge fällt unbeschränkt und ist damit
divergent.
3) Berechnen Sie die ersten 10 Glieder der Folge an =
n
Σ
1
!
k= 1 k²
Vergleichen Sie π²/6 mit a10!
k 1
2 3
10
ak 1
1/4 1/9
1/100
an 1
5/4 49/36
1,549767731
π²/6 = 1,644934067
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen
Zeigen Sie unter Verwendung des
Monotoniegesetzes der Addition, dass für beliebige reelle Zahlen a, b, c, d
gilt:
a < b
c < d
so ist a + c < b + d!
a + c < b + c
c + b < d + b
a + c < b + c < d + b
aus gegebenen Folgen neue Folgen bilden
an = (n - 1) / n
bn = (n + 1) / 2n
(an + bn) = (2 * (n - 1) + (n + 1)) / 2n
(an + bn) = (2n - 2 + n + 1) / 2n
(an + bn) = (3n - 1) / 2n
Analog kann man aus gegebenen Zahlenfolgen (an) und (bn) durch gliedweise
Subtraktion, Multiplikation und unter gewissen
Einschränkungen auch durch gliedweise Division neue Folgen bilden.
(an - bn) = (2 * (n - 1) - (n + 1)) / 2n
(an - bn) = (2n - 2 - n - 1) / 2n
(an - bn) = (n - 3) / 2n
(an * bn) = (n - 1) / n * (n + 1) / 2n
(an * bn) = n² + n - n - 1 / 2n²
(an * bn) = (n²- 1) / 2n²
(an / bn) = (n - 1) / n * 2n / (n + 1)
bn ≠ 0
(an / bn) = (2n²- 2n) / (n² + n)
(an + bn) = cn = (3n - 1) / 2n
umgekehrt kann man sagen:
Die Folge (cn) lässt sich in die Folgen (an) und (bn) zerlegen.
Die Folgen (an) und (bn) sind konvergent.
lim (n - 1) / n = 1
n→∞
lim (n + 1) / 2n = 1/2
n→∞
Berechnen Sie von der Folge cn = (3n - 1) / 2n die Glieder c10, c100, c1000 und
c10000!
cn = (3n - 1) / 2n
n 10
100 1000
10000
cn 1,45
1,495 1,4995
1,49995
g = 3/2
|an - g| < ε
|((3n - 1) / 2n) - 3/2)| < ε
|(3n - 1 - 3n) / 2n)| < ε
|- 1 / 2n| < ε
1 / 2n < ε
Wenn die Folgen (an) und (bn) konvergieren, so konvergiert auch die Folge (an +
bn), und es gilt
lim (an + bn) = lim an + lim bn.
n→∞
n→∞
n→∞
Beweis eines
Grenzwertsatzes für Zahlenfolgen
Voraussetzung:
(an) und (bn) sind konvergente Folgen
lim an = a
n→∞
lim bn = b
n→∞
Behauptung:
Die Folge (an + bn) konvergiert gegen a + b.
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
a + b - ε < an + bn < a + b + ε.
a - ε / 2 < an < a + ε / 2
"ε / 2 ist wie ε eine beliebig positive reelle Zahl"
gilt für fast alle n
b - ε / 2 < bn < b + ε / 2
"ε / 2 ist wie ε eine beliebig positive reelle Zahl"
gilt für fast alle n
a - ε / 2 < an < a + ε / 2
+
b - ε / 2 < bn < b + ε / 2
=
a + b - ε < an + bn < a + b + ε
"entspricht der Behauptung"
entsprechend dem
Monotoniegesetz der Addition
a < b
+
c < d
=
a + c < b + d
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen
Bedingung: (an) und (bn) konvergieren
lim (an + bn) = lim an + lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
lim (an - bn) = lim an - lim bn
n→∞
n→∞
n→∞
lim (an * bn) = lim an * lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
Bedingungen: (an) und (bn) konvergieren, (bn) ungleich 0 dies bedeutet (bn) keine
Nullfolge
lim (an / bn) = lim an / lim bn
n→∞
n→∞ n→∞
Aufgaben
1) Gegeben seien die Folgen (an) und (bn).
an = (3n - 1) / 2n
bn = (n + 1) / n
a) Bilden Sie die Folgen (an + bn), (an - bn), (an * bn) und (an / bn)!
(an + bn) = (5n + 1) / 2n
(an - bn) = (n - 3) / 2n
(an * bn) = (3n² + 3n - n - 1) / 2n²
(an * bn) = (3n² + 2n - 1) / 2n²
(an / bn) = (3n² - n) / (2n² + 2n)
bn ≠ 0
b) Bestimmen Sie die Grenzwerte dieser neuen Folgen!
lim an = 3/2
n→∞
lim bn = 1
n→∞
lim (an + bn) = 5/2
lim (an - bn) = 1/2
lim (an * bn) = 3/2
lim (an / bn) = 3/2
bn ≠ 0
2) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge an = (7n + 1) / n, indem Sie diese
Folge als Summe
zweier konvergenter Folgen angeben!
(7n + 1) / n = (n + 1) / n + 6n / n
bn = (n + 1) / n
lim bn = 1
n→∞
cn = 6n / n
lim cn = 6
n→∞
lim (bn + cn) = 7
n→∞
lim an = 7
n→∞
Die Folge an = (n + 1) / 2n hat den Grenzwert 1/2.
siehe
Andere Möglichkeit der Bestimmung des Grenzwertes.
(n + 1) / 2n = n / 2n + 1 / 2n = 1/2 + 1/2n
Die Folge bn = 1/2 ist eine konstante Folge. Die Folge cn = 1/2n ist eine
Nullfolge.
lim (bn + cn) = 1/2
n→∞
lim an = 1/2
n→∞
Beispiel 14
Gegeben sei die Folge (1 / n²).
Wegen 1 / n² = 1 / n * 1 / n entsteht die Folge (1 / n²) durch gliedweise
Multiplikation der Nullfolge (1 / n) mit sich selbst.
lim 1/n² = 0
n→∞
Beispiel 15
Für eine beliebige reelle Zahl a erhalten wir den Grenzwert der Folge an = (a / n²)
folgendermaßen:
an = bn * cn
an = a * 1 / n²
bn = a
lim bn = a
n→∞
cn = 1 / n²
lim cn = 0
n→∞
lim(bn * cn) = a * 0 = 0
n→∞
Beispiel 16
Gegeben sei die Folge (3n² - 2n + 5) / (5n² + 7n - 1).
n² * (3 - 2/n + 5/n²)
n² * (5 + 7/n - 1/n²)
(3 - 2/n + 5/n²)
(5 + 7/n - 1/n²)
Die Folgen an = (3 - 2/n + 5/n²) und bn = (5 + 7/n - 1/n²) sind konvergent.
an = (3 - 2/n + 5/n²)
lim 3 = 3
n→∞
lim 2/n = 0
n→∞
lim 5/n² = 0
n→∞
lim an = 3
n→∞
bn = (5 + 7/n - 1/n²)
lim 5 = 5
n→∞
lim 7/n = 0
n→∞
lim 1/n² = 0
n→∞
lim (an / bn) = 3/5
n→∞
Aufgaben
Bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertsätze der Grenzwerte der Folgen!
1a) an = (n + 1) / n
(n + 1) / n = 1 + 1 / n
lim 1 = 1
n→∞
lim 1 / n = 0
n→∞
lim an = 1
n→∞
1b) an = n / (n + 1)
n / (n + 1) =
n * 1
=
n * (1 + 1/n)
1
(1 + 1/n)
lim 1 = 1
n→∞
lim 1/n = 0
n→∞
lim an = 1 / (1 + 0)
n→∞
lim an = 1
n→∞
1c) an = 1 / n6
1 / n6 = 1/n * 1/n * 1/n * 1/n * 1/n * 1/n
lim 1/n = 0
n→∞
lim an = 0
n→∞
1d) an = -5 / n4
-5 / n4 = -5 / n3
* 1/n
lim -5 / n3 = x
n→∞
lim 1/n = 0
n→∞
lim an = x * 0
n→∞
lim an = 0
n→∞
1e) an = (3n + 4) / (n - 5)
n * (3 + 4/n) =
n * (1 - 5/n)
(3 + 4/n) =
(1 - 5/n)
lim 3 = 3
n→∞
lim 4/n = 0
n→∞
lim 1 = 1
n→∞
lim 5/n = 0
n→∞
lim an = (3 + 0) / (1 - 0)
n→∞
lim an = 3
n→∞
1f) an = (n - 5) / (3n + 4)
n * (1 - 5/n) =
n * (3 + 4/n)
(1 - 5/n)
(3 + 4/n)
lim an = (1 - 0) / (3 + 0)
n→∞
lim an = 1/3
n→∞
1g) an = [(3n - 2) * (3n + 2)] / (n³ + 1)
(9n³ + 6n - 6n - 4) / (n³ + 1)
(9n² - 4) / (n³ + 1)
n³ * (9/n - 4/n³)
n³ * (1 + 1/n³)
(9/n - 4/n³)
(1 + 1/n³)
lim an = (0 - 0) / (1 + 0)
n→∞
lim an = 0
n→∞
1h) an = [(3n + 1)² - (n - 1)²] / [(3n + 1)² - (n + 1)²]
(9n² + 6n + 1 - (n² - 2n + 1)) / (9n² + 6n + 1 - (n² + 2n + 1)) =
(9n² + 6n + 1 - n² + 2n - 1) / (9n² + 6n + 1 - n² - 2n - 1) =
(8n² + 8n) / (8n² + 4n) =
n² * (8 + 8/n) =
n² * (8 + 4/n)
(8 + 8/n)
(8 + 4/n)
lim an = (8 + 0) / (8 + 0)
n→∞
lim an = 1
n→∞
1i) an = (5n³ - 7n² + 8n - 1) / (-6n³ + 5n² - n + 8)
n ³ * (5 - 7/n + 8/n² - 1/n ³)
n ³ * (-6 + 5/n - 1/n² + 8/n ³)
lim an = (5 - 0 + 0 - 0) / (-6 + 0 - 0 + 0)
n→∞
lim an = -5/6
n→∞
1k) an = n! / ((n + 1)! - n!)
n! / ((n + 1)! - n!) =
n! / ((n + 1) * n! - n!) =
n! * 1
n! * ((n + 1) - 1)
lim an = 1 / (n + 1) - 1
n→∞
lim an = 1 / n
n→∞
lim an = 0
n→∞
2a) an = (n - 1) / (n + 1)
n * (1 - 1/n)
n * (1 + 1/n)
(1 - 1/n)
(1 + 1/n)
lim an = (1 - 0) / (1 + 0)
n→∞
lim an = 1
n→∞
2b) an = 2n / (n + 1)
n * 2
n * (1 + 1/n)
2 / (1 + 1/n)
lim an = 2 / (1 + 0)
n→∞
lim an = 2
n→∞
2c) an = 106
/ n
1.000.000 * 1/n
lim an = 1.000.000 * 0
n→∞
lim an = 0
n→∞
2d) an = (n + 1) / n²
(n + 1) * 1/n²
lim an = (n + 1) * 0
n→∞
lim an = 0
n→∞
2e) an = (3n - 4) / (n² + 1)
n² * (3/n - 4/n²)
n² * (1 + 1/n²)
(3/n - 4/n²)
(1 + 1/n²)
lim an = (0 - 0) / (1 + 0)
n→∞
lim an = 0
n→∞
2f) an = (n² + 1) / (n³ + 6)
n³ * (1/n + 1/n³)
n³ * (1 + 6/n³)
(1/n + 1/n³)
(1 + 6/n³)
lim an = (0 + 0) / (1 + 0)
n→∞
lim an = 0
n→∞
2g) an = (n² - n + 1) / (2n² - n + 1)
n² * (1 - 1/n + 1/n²)
n² * (2 - 1/n + 1/n²)
(1 - 1/n + 1/n²)
(2 - 1/n + 1/n²)
lim an = (1 - 0 + 0) / (2 - 0 + 1)
n→∞
lim an = 1/2
n→∞
2h) an = (n + 1) * (n - 1) / (n³+ 5n)
(n² - 1) / (n³+ 5n)
n³ * (1/n - 1/n³)
n³ * (1 + 5/n²)
(1/n - 1/n³)
(1 + 5/n²)
lim an = (0 - 0) / (1 + 0)
n→∞
lim an = 0
n→∞
2i) an = [(√2 * 10n - 1) / 10n]²
[(√2 * 10n - 1) / 10n]
* [(√2 * 10n - 1) / 10n]
(√2 * 10n - 1)² / 102n
(2 * 102n - 2√2 * 10n
+ 1) / 102n
102n * (2 - 2√2 * 1/10n
+ 1/102n)
102n * 1
(2 - 2√2 * 1/10n + 1/102n)
n 1
2
3
an 1,7272
1,9718 1,9972
lim an = (2 - 0 + 0)
n→∞
lim an = 2
n→∞
2k) an = (1 + 2 + 3 + ... + n) / n²
n² * (1/n² + 2/n² + 3/n² + ... + 1/n)
n² * 1
lim an = (0 + 0 + 0 + ... + 0) / 1
n→∞
lim an = 0
n→∞
3) Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Wenn
lim an = a,
n→∞
so konvergiert für jede natürliche Zahl m mit m ≥ 1 die Folge anm gegen
am!
Vorüberlegungen:
lim (an * bn) = lim an * lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
Beispiel für vollständige Induktion
18) Zu beweisen ist die Wahrheit der Aussage
Für alle natürlichen Zahlen n gilt 2n >
n
Voraussetzung: n ist eine beliebige natürliche Zahl
Behauptung: 2n > n
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für n = 0 gilt die Aussage 20
> 0
1 > 0
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
2n > n
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
2n+1 > n + 1
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
2n > n
/ *2
2 * 2n > 2 * n
/ Umformung
2n+1 > n + n
2n+1 > n + 1
/ n + n ≥ n + 1 gilt
aber nur für n > 0
Deshalb kann n = 0 nicht als Induktionsanfang genommen werden.
Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage 21
> 1
2 > 1
Erst damit ist die behauptete Ungleichung für alle natürlichen n bewiesen.
18. Beweis durch Vollständige
Induktion // 13.05. 2009
Behauptung:
lim anm = am
n→∞
Beweis:
1. Induktionsanfang
Für m = 1 gilt die Aussage entsprechend der Aufgabenstellung.
lim an = a
n→∞
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes m gelte
lim anm = am
n→∞
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
lim anm+1 = am+1
n→∞
Induktionsbeweis - von der Induktionsvoraussetzung hin zur Induktionsbehauptung
Grenzwertsatz
lim (an * bn) = lim an * lim bn
n→∞ n→∞ n→∞
lim (anm * an) = am
* a
n→∞
lim anm+1 = am+1
n→∞
4) Geben Sie jeweils eine Folge (an) mit folgenden Eigenschaften an!
a) (an) ist monoton fallend und
lim an = 1
n→∞
an = 1 + 1/n n > 0
b) (an) ist monoton wachsend und
lim an = 1
n→∞
an = 1 - 1/n n > 0
c) (an) ist nicht monoton und
lim an = 1
n→∞
an = 1 + (1/n * (-1)n)
5) Geben Sie jeweils eine Folge (an) mit folgenden Eigenschaften an!
a) (an) ist monoton fallend und
lim an = -2
n→∞
an = -2 + 1/n n > 0
b) (an) ist monoton wachsend und
lim an = -2
n→∞
an = -2 - 1/n n > 0
c) (an) ist nicht monoton und
lim an = -2
n→∞
an = -2 + (1/n * (-1)n)
n > 0
n 1
2 3
4 5
6 7
an -3 -1,5
-2,33 -1,75 -2,2 -1,833
-2,142
Die Folge
an = -2 + (1/n * (-1)n) ist nicht
monoton und hat -2 als Grenzwert.
Grenzwerte von
Funktionen; Stetigkeit
bekannte Funktionen:
lineare Funktionen
quadratische Funktionen
Potenzfunktionen
Winkelfunktionen
Exponentialfunktionen
Logarithmusfunktionen
Gegeben seien die Funktionen
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
f(x) = |x|
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
f(x) = |x| / x
f(x) = 1 / (x - 1).
a) Ermitteln Sie für jede der genannten Funktionen den Definitionsbereich!
Der Definitionsbereich einer
Funktion gibt an, welche Werte man für x einsetzen kann.
Schreibweise D(f) = {x∈ R | x > 1}
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
D(f) = R (Menge der reellen Zahlen) außer 1 (Division durch 0 nicht definiert)
D(f) = R \ {1} // Schreibweise Bartsch Seite 97
f(x) = |x|
D(f) = R
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
D(f) = R
f(x) = |x| / x
D(f) = R \ {0}
f(x) = 1 / (x - 1)
D(f) = R \ {1}
b) Fertigen Sie für jede der Funktionen eine Wertetabelle an, indem Sie die
Funktionswerte für folgende Zahlen x errechnen:
-2; -1; 0; 0,5; 1,5; 2; 3; 4 !
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
entspricht für x ≠1
f(x) = (x + 1) * (x - 1) / (x - 1)
f(x) = x + 1
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y -1 0
1 1,5
2,5 3
4 5
f(x) = |x|
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y 2
1 0
0,5 1,5
2 3
4
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y 0 0,5
1 1,25
2,75 3 3,5
4
f(x) = |x| / x
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y -1 -1
- 1
1 1
1 1
f(x) = 1 / (x - 1)
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y -1/3 -1/2 -1
-2 2
1 1/2 1/3
Welche der Funktionen ist monoton wachsend?
Monotonie von Funktionen
monoton wachsend wenn x1 < x2 und f(x1) ≤ f(x2)
streng monoton wachsend wenn x1 < x2 und f(x1) < f(x2)
monoton fallend wenn x1 < x2 und f(x1) ≥ f(x2)
streng monoton fallend wenn x1 < x2 und f(x1) > f(x2)
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
f(x) = |x| / x
Geben Sie jeweils ein Intervall an, in dem die Funktion
f(x) = |x|
bzw.
f(x) = 1 / (x - 1)
monoton fallend ist!
f(x) = |x|
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y 2
1 0
0,5 1,5
2 3
4
[-2, -1]
f(x) = 1 / (x - 1)
x -2 -1
0 0,5
1,5 2
3 4
y -1/3 -1/2 -1
-2 2
1 1/2 1/3
[-2, 0,5]
Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
rechnerisch!
Nullstelle bedeutet:
f(x) = 0
0 = 1/2x + 1
-1 = 1/2x
x = -2
Die Funktionen
f(x) = (x² - 1) / (x - 1),
f(x) = 1/2x + 1 für x < 1 = 1/2x + 2 für x ≥ 1,
f(x) = 1 / (x - 1) zeigen an der Stelle 1
ein ungewöhnliches Verhalten, die Funktion
f(x) = |x| / x an der Stelle 0. Während man den Graph der Funktion
f(x) = |x| in einem
Zuge (ohne den Zeichenstift abzusetzen) zeichnen könnte, gelingt das
bei den Graphen der übrigen Funktionen nicht.
Man sagt die Funktionen
f(x) = (x² - 1) / (x - 1),
f(x) = 1/2x + 1 für x < 1 = 1/2x + 2 für x ≥ 1,
f(x) = 1 / (x - 1) sind an der
Stelle 1 unstetig. Die Funktion
f(x) = |x| / x ist an der Stelle 0 unstetig.
Die Funktion
f(x) = |x| dagegen nennt man an jeder Stelle stetig.
Aufgaben
1) Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = (x² - 4) / (x + 2)
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f!
D(f) = R \ {-2}
b) Zeichnen Sie den Graph von f aufgrund einer Wertetabelle!
x -4
-3 -1
0 1
2
f(x) -6 -5
-3 -2 -1
0
c) Mit welcher linearen Funktion stimmt f für alle x ihres Definitionsbereiches
überein?
(x² - 4) / (x + 2) =
(x + 2) * (x - 2) / (x + 2) =
x - 2
f(x) = x - 2
2) Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = (x² - 2x + 1) / (x - 1)
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f!
D(f) = R \ {1}
b) Zeichnen Sie den Graph von f aufgrund einer Wertetabelle!
x -4
-3 -1
0 2
f(x) -5 -4
-2 -1
1
c) Mit welcher linearen Funktion stimmt f für alle x ihres Definitionsbereiches
überein?
(x² - 2x + 1) / (x - 1) =
(x - 1)² / (x - 1) =
x - 1
f(x) = x - 1
3) Es sei f(x) = (x³ + 2x² + x) / (x + 1).
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f!
D(f) = R \ {-1}
b) Skizzieren Sie den Graph von f!
f(x) = (x³ + 2x² + x) / (x + 1)
x -3
-2 0
1 2
3
f(x) 6
2 0
2 6
12
c) Mit welcher quadratischen Funktion stimmt f für alle x ihres
Definitionsbereiches überein?
(x³ + 2x² + x) / (x + 1) =
x * (x + 1)² / (x + 1) =
x * (x + 1)
f(x) = x² + x
d) Geben Sie je ein Intervall an, in dem f monoton fällt beziehungsweise monoton
wächst!
monoton fallend wenn x1 < x2 und f(x1) ≥ f(x2)
[-3, -2]
monoton wachsend wenn x1 < x2 und f(x1) ≤ f(x2)
[0, 3] alle reelle Zahlen zwischen und einschließlich 0 und 3
4) Gegeben sei die Funktion f(x) = |x² - 1|.
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f.
D(f) = R
b) Zeichnen Sie den Graph von f!
x -2
-1 0
1 2
f(x) 3
0 1
0 3
c) Geben Sie ein Intervall an, in dem f monoton wächst!
[-1, 0]
d) Bestimmen Sie die Nullstellen von f!
f(x) = |x² - 1|
f(x) = 0
0 = x² - 1
x = ± √1
x1 = 1
x2 = -1
5) Gegeben sei die Funktion f(x) = 1 / x².
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich von f.
D(f) = R \ {0}
b) Zeichnen Sie den Graph von f!
x -1
1 2
3
f(x) 1 1
1/4 1/9
c) Geben Sie ein Intervall an, in dem f monoton fällt!
[1, 3]
d) Für welche Zahlen x ist f(x) = 1?
f(x) = 1 / x²
f(x) = 1
1 = 1 / x²
x = ± √1
x1 = 1
x2 = -1
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
Geben Sie fünf Zahlenfolgen an, die den Grenzwert 1 haben!
an = (n + 1) / n n > 0
an = n / (n + 1)
an = (n - 1) / (n + 1)
an = 1 + 1/n n > 0
an = 1 - 1/n n > 0
Gegeben sei die Funktion f(x) = x + 1 und die Folge (xn) mit xn = 1 - 1/n.
Berechnen Sie die ersten zehn Glieder der Folge (f(xn))!
xn = 1 - 1/n n > 0
n 1
2 3
4 5
6 7
8 9
10
xn 0 1/2
2/3 3/4 4/5
5/6 6/7 7/8
8/9 9/10
f(xn) = xn + 1
xn 0 1/2
2/3 3/4 4/5
5/6 6/7 7/8
8/9 9/10
f(xn) 1 1,5 5/3
1,75 1,8 11/6 13/7 15/8
17/9 1,9
Gegeben seien die Funktionen
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
und
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1.
für alle x ≠ 1 entspricht
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
f(x) = x + 1
Die Funktion
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
ist für alle x definiert hat aber an der Stelle x = 1 einen Sprung.
Wie verhalten sich beide Funktionen bei Annäherung an die Stelle x = 1.
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
an = 1 - 1/n
f(x) = x + 1
f(an) = an + 1
f(an) = (1 - 1/n) + 1
f(an) = 2 - 1/n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 2.
an = 1 + 1/n
f(x) = x + 1
f(an) = an + 1
f(an) = (1 + 1/n) + 1
f(an) = 2 + 1/n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 2.
an = 1 - 1/n
f(x) = 1/2x + 1
f(an) = 1/2an + 1
f(an) = 1/2 * (1 - 1/n) + 1
f(an) = 1/2 - 1/2n + 1
f(an) = 1,5 - 1/2n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 1,5.
an = 1 + 1/n
f(x) = 1/2x + 2
f(an) = 1/2an + 2
f(an) = 1/2 * (1 + 1/n) + 2
f(an) = 1/2 + 1/2n + 2
f(an) = 2,5 + 1/2n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 2,5.
Konvergiert bei der Funktion
f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für jede gegen 1 konvergierende Folge (an) die
Folge
(f(an)) gegen 2?
Beantwortung:
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
für alle x ≠ 1 entspricht f(x) = x + 1 = f(x) = (x² - 1) / (x
- 1)
f(an) = an + 1
lim (f(an)) =
n→∞
lim (an + 1) =
n→∞
lim an + lim 1 = 2
n→∞
n→∞
Definition
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
Es sei f eine Funktion, x0 und g seien reelle Zahlen ( x0 = Zahl auf der
x-Achse.
Die Zahl x0 selbst kann, aber muss nicht zum Definitionsbereich von f gehören).
f sei in einer Umgebung von x0 (Epsilon-Umgebung von x0) definiert
f hat an der Stelle x0 den Grenzwert g.
Für jede gegen x0 konvergierende Folge (an) konvergiert die Folge (f(an)) der
zugehörigen Funktionswerte gegen g.
lim an = x0
n→∞
lim f(an) = g
n→∞
Es sind nur solche Folgen (an) zugelassen deren Glieder von x0 verschieden
sind.
Ansonsten könnte die Folge (f(an)) nicht gegen g konvergieren.
Der Graph der Funktion f nähert sich dem Punkt (x0; g) von links und von rechts.
Ist g Grenzwert der Funktion f an der Stelle x0, so schreibt man:
lim f(x) = g
x→x0
Limes f von x für x gegen x0 gleich g
Beispiel:
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
für x ≠ 1 gilt
f(x) = x + 1
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
an = 1 - 1/n
f(x) = x + 1
f(an) = an + 1
f(an) = (1 - 1/n) + 1
f(an) = 2 - 1/n
an = 1 + 1/n
f(x) = x + 1
f(an) = an + 1
f(an) = (1 + 1/n) + 1
f(an) = 2 + 1/n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 2.
lim (x + 1) = 2
x→1
Beispiel:
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
Diese Funktion hat an der Stelle 1 keinen Grenzwert, da für an = 1 - 1/n und an
= 1 + 1/n
die Folge (f(an)) gegen verschiedene Zahlen konvergiert (1,5 und 2,5).
an = 1 - 1/n
f(x) = 1/2x + 1
f(an) = 1/2an + 1
f(an) = 1/2 * (1 - 1/n) + 1
f(an) = 1/2 - 1/2n + 1
f(an) = 1,5 - 1/2n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 1,5.
an = 1 + 1/n
f(x) = 1/2x + 2
f(an) = 1/2an + 2
f(an) = 1/2 * (1 + 1/n) + 2
f(an) = 1/2 + 1/2n + 2
f(an) = 2,5 + 1/2n
Die Folge (f(an)) konvergiert gegen 2,5.
Grenzwert einer
Funktion an einer Stelle Beispiel
Hat die Funktion f(x) = x² + 1 an der Stelle 1 (x = 1) einen Grenzwert?
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
an = 1 - 1/n
f(x) = x² + 1
f(an) = an² + 1
f(an) = ( 1 - 1/n )² + 1
f(an) = 1 - 2/n + 1/n² + 1
lim f(an) = lim 1 - lim
2/n + lim 1/n²
+ lim 1
n →∞ n →∞
n →∞ n →∞
n →∞
lim f(an) = 1 - 0 + 0 + 1
n →∞
lim f(an) = 2
n →∞
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
an = 1 + 1/n
f(x) = x² + 1
f(an) = an² + 1
f(an) = ( 1 + 1/n )² + 1
f(an) = 1 + 2/n + 1/n² + 1
lim f(an) = lim 1 + lim
2/n + lim 1/n²
+ lim 1
n →∞ n →∞
n →∞ n →∞
n →∞
lim f(an) = 1 + 0 + 0 + 1
n →∞
lim f(an) = 2
n →∞
lim f(an) = lim an²
+ lim 1 = 1² + 1 = 2
n →∞
n →∞ n
→∞
Da (an) eine beliebige gegen 1 konvergierende Folge mit an ≠ 1 für alle n ist,
konvergiert für jede
gegen 1 konvergierende Folge (an) die Folge (f(an)) der zugehörigen
Funktionswerte gegen 2.
lim (x² + 1) = 2
x→1
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle Beispiel
Es ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = |x| an der Stelle 0 den Grenzwert 0
hat.
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n
n→∞
f(x) = |x|
f(an) = |an|
Nach der Voraussetzung ist (an) eine Nullfolge.
Ist auch (|an|) eine Nullfolge? (Folge des Betrages von an)
Definition Grenzwert:
für fast alle n gilt
|an - g| < ε
|an - 0| = |an| < ε
||an|-0| = ||an|| = |an| < ε
also gilt:
lim f(an) = 0
n →∞
lim |an| = 0
n →∞
lim |x| = 0
x→0
Begründen Sie: Jede für alle x definierte konstante Funktion
f(x) = c hat an der beliebig gewählten Stelle x0 den Grenzwert c!
lim an = c an ≠ c für alle n
n→∞
f(x) = c
f(an) = c
lim f(an) = c
n →∞
lim f(x) = c
x→x0
Zeigen Sie: An der beliebig gewählten Stelle x0 hat die Funktion f(x) = x den
Grenzwert x0!
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(x) = x
f(an) = an
lim f(an) = x0
n →∞
lim f(x) = x0
x→x0
Zeigen Sie: An der beliebig gewählten Stelle x0 hat die Funktion f(x) = 5x den
Grenzwert 5x0!
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(x) = 5x
f(an) = 5an
lim f(an) = 5x0
n →∞
lim f(x) = 5x0
x→x0
Nach der
Definition des Grenzwertes einer Funktion an einer Stelle hat eine Funktion
f an der Stelle x0 einen Grenzwert,
wenn für jede gegen x0 konvergierende Folge (an), deren Glieder zum
Definitionsbereich von f gehören und von x0
verschieden sind, die Folge (f(an)) der zugehörigen Funktionswerte konvergiert,
und zwar immer gegen ein und dieselbe
Zahl. Damit besagt die Definition aber auch, dass eine Funktion f an der Stelle
x0 keinen Grenzwert hat, wenn es unter
all den gegen x0 konvergierenden Folgen (an) auch nur eine gibt, für die die
Folge (f(an)) divergent ist.
Beispiel:
Es ist zu zeigen, dass die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) an der Stelle 1 keinen
Grenzwert hat.
an = 1 + 1 / n
lim an = 1
an ≠ 1 für alle n
n→∞
f(x) = 1 / (x - 1)
f(an) = 1 / (an - 1)
f(an) = 1 / ((1 + 1/n) - 1)
f(an) = 1 / 1/n
f(an) = n
Die Folge f(an) = n ist unbeschränkt wachsend und damit divergent.
Die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) hat an der Stelle 1 keinen Grenzwert.
Aufgaben
1) Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = x² + 1 an der Stelle -2!
lim an = -2 an ≠ -2 für alle n
n→∞
f(x) = x² + 1
f(an) = an² + 1
lim f(an) = 4 + 1
n →∞
lim f(x) = 5
x→-2
andere Schreibweise
lim (x² + 1) = 5
x→-2
2) Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = 1 / (x - 1) an der Stelle 2!
lim an = 2 an ≠ 2 für alle n
n→∞
f(x) = 1 / (x - 1)
f(an) = 1 / (an - 1)
lim f(an) = 1 / (2 - 1)
n→∞
lim f(an) = 1
n→∞
lim f(x) = 1
x→2
3) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f(x) = xn,
und untersuchen Sie , ob die Funktion f
an der Stelle 0 einen Grenzwert hat!
Der Ausdruck 00
ist nicht definiert.
D(f) = R \ {0}
x -3
-2 -1
1 2
3
f(x) 1
1 1
1 1
1
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n
n→∞
f(x) = xn
f(an) = ann
lim f(an) = 1n
n→∞
lim f(an) = 1
n→∞
lim f(x) = 1
x→0
An der Stelle 0 hat die Funktion f den Grenzwert 1, obwohl f an dieser Stelle
nicht definiert ist.
4) Wodurch unterscheiden sich die Funktionen f1(x) = x² + 1 und f2(x) = (x³ + x)
/ x ?
f1(x) = x² + 1
D(f1) = R
Die Funktion f1(x) = x² + 1 nennt man an jeder Stelle stetig.
f2(x) = (x³ + x) / x
D(f2) = R \ {0}
Die Funktion f2(x) = (x³ + x) / x ist an der Stelle 0 unstetig.
Ermitteln Sie die Grenzwerte der Funktionen f1 und f2 an der Stelle 0!
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n
n→∞
f1(x) = x² + 1
f1(an) = an² + 1
lim f1(an) = 0² + 1
n→∞
lim f1(an) = 1
n→∞
lim f1(x) = 1
x→0
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n
n→∞
f2(x) = (x³ + x) / x
f2(an) = (an³ + an) / an
f2(an) = an * (an² + 1) / an
f2(an) = an² + 1
lim f2(an) = 0² + 1
n→∞
lim f2(an) = 1
n→∞
lim f2(x) = 1
x→0
5) Hat die Funktion f(x) = (x² - 9) / (x - 3) an der Stelle 3 einen Grenzwert?
f(x) = (x² - 9) / (x - 3) entspricht für alle x ≠ 3
f(x) = ((x + 3) * (x - 3)) / (x - 3)
f(x) = x + 3
x -2
-1 0
1 2
3 4
f(x) 1
2 3
4 5
6 7
lim an = 3 an ≠ 3 für alle n
n→∞
f(x) = x + 3
f(an) = an + 3
lim f(an) = 3 + 3
n→∞
lim f(x) = 6
x→3
Ja, sie hat an der Stelle 3 einen Grenzwert.
6) Hat die Funktion f(x) = (x² + 4x + 4) / (x + 2) an der Stelle -2 einen Grenzwert?
f(x) = (x² + 4x + 4) / (x + 2) entspricht für alle x ≠ -2
f(x) = (x + 2)² / (x + 2)
f(x) = x + 2
x -2
-1 0
1 2
3 4
f(x) 0
1 2
3 4
5 6
lim an = -2 an ≠ -2 für alle n
n→∞
f(x) = x + 2
f(an) = an + 2
lim f(an) = -2 + 2
n→∞
lim f(x) = 0
x→-2
Ja, sie hat an der Stelle -2 einen Grenzwert.
7) Begründen Sie, dass die Funktion f(x) = |x| / x an der Stelle 0 keinen
Grenzwert hat!
Hinweis: Geben Sie zwei verschiedene Nullfolgen an, für die die Folgen der
zugehörigen
Funktionswerte der Funktion f gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren!
an = 1 / n
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n > 0
n→∞
f(x) = |x| / x
f(an) = |1/n| / 1/n
f(an) = 1/n * n
lim f(an) = 1
n→∞
lim f(x) = 1
x→0
Für die Nullfolge (1 / n) konvergiert die Funktion f(x) = |x| / x an der Stelle
0 gegen 1.
an = -1 / n
lim an = 0 an ≠ 0 für alle n > 0
n→∞
f(x) = |x| / x
f(an) = |-1/n| / -1/n
f(an) = 1/n * -n
lim f(an) = -1
n→∞
lim f(x) = -1
x→0
Für die Nullfolge (-1 / n) konvergiert die Funktion f(x) = |x| / x an der Stelle
0 gegen -1.
Grenzwertsätze für Funktionen
Herleitung von den Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen
aus gegebenen Funktionen neue Funktionen bilden
gegebene Funktionen in einfachere Funktionen zerlegen
f(x) = x² + 1
f1(x) = 5x
gemeinsamer Definitionsbereich
Summe der Funktionen f und f1 = f2(x) = x² + 5x + 1
Differenz der Funktionen f und f1 = f2(x) = x² - 5x + 1
Produkt der Funktionen f und f1 = f2(x) = 5x³ + 5x
Quotient der Funktionen f und f1 = f2(x) = (x² + 1) / 5x
x ≠ 0
Gegeben sei die Funktion f(x) = x² + 5x + 1.
Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f an der Stelle 1!
lim an = 1 an ≠ 1 für alle n
n→∞
f(x) = x² + 5x + 1
f(an) = an² + 5an + 1
lim f(an) = 1² + 5 + 1
n→∞
lim f(an) = 7
n→∞
lim f(x) = 7
x→1
Zeigen Sie: An der beliebig gewählten Stelle x0 hat die Funktion f(x) = 5x den
Grenzwert 5x0!
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(x) = 5x
f(an) = 5an
lim f(an) = 5x0
n →∞
lim f(x) = 5x0
x→x0
lim 5x = 5
x→1
lim (x² + 1) = 2
x→1
Grenzwertsätze für Funktionen
Wenn die Funktionen f und f1 an der Stelle x0 einen Grenzwert haben, so gilt:
lim (f(x) + f1(x)) = lim f(x) +
lim f1(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f(x) - f1(x)) = lim f(x) -
lim f1(x)
x→x0
x→x0 x→x0
lim (f(x) * f1(x)) = lim f(x) *
lim f1(x)
x→x0
x→x0
x→x0
lim (f(x) / f1(x)) = lim f(x) /
lim f1(x)
lim f1(x) ≠ 0
x→x0
x→x0 x→x0
x→x0
Den Grenzwert der Funktion f(x) = x² + 1 an der Stelle 1 können wir jetzt
folgendermaßen berechnen.
f(x) = x² + 1
Zerlegung:
f1(x) = x²
f2(x) = x
lim f2(x) = 1
x→1
f3(x) = 1
lim f3(x) = 1
x→1
f(x) = f2(x) * f(2)x + f3(x)
lim f(x) = 1 * 1 + 1
x→1
lim f(x) = 2
x→1
Hat die Funktion f(x) = (x² - 5x) / (x² + 8x) (Bedingung x ≠ 0) an der Stelle 0
einen Grenzwert?
f(x) = (x * (x - 5)) / (x * (x + 8)) x ≠ 0
f(x) = (x - 5) / (x + 8)
f1(x) = x - 5
f2(x) = x
lim f2(x) = 0
x→0
f3(x) = 5
lim f3(x) = 5
x→0
lim f1(x) = 0 - 5
x→0
lim f1(x) = - 5
x→0
f4(x) = x + 8
f2(x) = x
lim f2(x) = 0
x→0
f5(x) = 8
lim f5(x) = 8
x→0
lim f4(x) = 0 + 8
x→0
lim f4(x) = 8
x→0
f(x) = f1(x) / f4(x)
lim f(x) = -5 / 8
x→0
Hat die Funktion f mit f(x) = (x² + 2x) / x (Bedingung x ≠ 0) an der Stelle 0
einen Grenzwert?
f(x) = x * (x + 2) / x
x ≠ 0
f(x) = x + 2
f1(x) = x
lim f1(x) = 0
x→0
f2(x) = 2
lim f2(x) = 2
x→0
f(x) = f1(x) + f2(x)
lim f(x) = 0 + 2
x→0
lim f(x) = 2
x→0
Es ist der Grenzwert der Funktion f mit f(h) = ((x0 + h)² - x0²) / h (Bedingung
h ≠ 0) an der Stelle 0 zu bestimmen.
f(h) = ((x0 + h)² - x0²) / h
f(h) = (x0² + 2x0h + h² - x0²) / h
f(h) = (2x0h + h²) / h
f(h) = h * (2x0 + h) / h
f(h) = 2x0 + h
f1(h) = 2x0
lim f1(h) = 2x0
h→0
f2(h) = h
lim f2(h) = 0
h→0
f(h) = f1(h) + f2(h)
lim f(h) = 2x0 + 0
h→0
lim f(h) = 2x0
h→0
Aufgaben
Berechnen Sie folgende Grenzwerte!
1a)
lim x³
x→3
f(x) = x³
f1(x) = x
lim f1(x) = 3
x→3
f(x) = f1(x) * f1(x) * f1(x)
lim f(x) = 3 * 3 * 3
x→3
lim f(x) = 27
x→3
b)
lim (1 - x²)
x→1
f(x) = 1 - x²
f1(x) = 1
lim f1(x) = 1
x→1
f2(x) = x²
lim f2(x) = 1
x→1
f(x) = f1(x) - f2(x)
lim f(x) = 1 - 1
x→1
lim f(x) = 0
x→1
c)
lim (5x4
+ 3x³ - x² + 1)
x→3
f(x) = (5x4
+ 3x³ - x² + 1)
lim f(x) = 405 + 81 - 9 + 1
x→3
lim f(x) = 478
x→3
2a)
lim x4
x→3
f(x) = x4
lim f(x) = 3 * 3 * 3 * 3
x→3
lim f(x) = 81
x→3
b)
lim (1 - x²)
x→-1
f(x) = 1 - x²
lim f(x) = 1 - 1
x→-1
lim f(x) = 0
x→-1
c)
lim (5x4
+ 3x³ - x² + 1)
x→-1
f(x) = (5x4
+ 3x³ - x² + 1)
lim f(x) = 5 + -3 -1 + 1
x→-1
lim f(x) = 2
x→-1
3a)
lim 1 / (1 + x²)
x→-2
f(x) = 1 / (1 + x²)
lim f(x) = 1 / (1 + 4)
x→-2
lim f(x) = 1 / 5
x→-2
b)
lim x / (1 + x²)
x→-2
f(x) = x / (1 + x²)
lim f(x) = -2 / (1 + 4)
x→-2
lim f(x) = -2 / 5
x→-2
c)
lim (x² - 1) / (x + 1)
x→-1
f(x) = (x² - 1) / (x + 1) x ≠ -1
f(x) = (x + 1) * (x - 1) / (x + 1)
f(x) = x - 1
lim f(x) = -1 + -1
x→-1
lim f(x) = -2
x→-1
d)
lim (x² + 4x) / (x³ - 5x)
x→1
f(x) = (x² + 4x) / (x³ - 5x)
lim f(x) = (1 + 4) / (1 - 5)
x→1
lim f(x) = -5 / 4
x→1
e)
lim (x³ - 8x² + 5x) / (x³ + 6x² - x)
x→0
f(x) = (x³ - 8x² + 5x) / (x³ + 6x² - x)
f(x) = (x * (x² - 8x + 5)) / (x * (x² + 6x - 1))
f(x) = (x² - 8x + 5) / (x² + 6x
- 1)
lim f(x) = (0 - 0 + 5) / (0 + 0 - 1)
x→0
lim f(x) = -5
x→0
f)
lim 1 / (x - 1)
x→3
f(x) = 1 / (x - 1)
x ≠ 1
lim f(x) = 1 / (3 - 1)
x→3
lim f(x) = 1 / 2
x→3
4a)
lim x / (1 + x²)
x→-2
f(x) = x / (1 + x²)
lim f(x) = -2 / 1 + 4
x→-2
lim f(x) = -2 / 5
x→-2
b)
lim (x + 1) / (1 + x²)
x→-2
f(x) = (x + 1) / (1 + x²)
lim f(x) = -1 / 5
x→-2
c)
lim (x² - 4) / (x - 2)
x→2
f(x) = (x² - 4) / (x - 2)
x ≠ 2
f(x) = (x + 2) * (x - 2) / (x - 2)
f(x) = (x + 2)
lim f(x) = 2 + 2
x→2
lim f(x) = 4
x→2
d)
lim (x² + 4x) / (x³ - 5x)
x→0
f(x) = (x² + 4x) / (x³ - 5x)
f(x) = x * (x + 4) / x * (x² - 5)
f(x) = (x + 4) / (x² - 5)
lim f(x) = (0 + 4) / (0 - 5)
x→0
lim f(x) = -4 / 5
x→0
e)
lim (x³ - 8x² + 5x) / (x³ + 6x² - x)
x→2
f(x) = (x³ - 8x² + 5x) / (x³ + 6x² - x)
f(x) = x * (x² - 8x + 5) / x * (x² + 6x - 1)
f(x) = (x² - 8x + 5) / (x² + 6x - 1)
lim f(x) = (4 - 16 + 5) / (4 + 12 - 1)
x→2
lim f(x) = -7 / 15
x→2
f)
lim 3x - 1 + (1 / x - 1)
x→3
f(x) = 3x - 1 + (1 / x - 1)
x ≠ 1
f(x) = ((3x - 1) * (x - 1) + 1) / (x - 1)
f(x) = (3x² - 3x - x + 1 + 1) / (x - 1)
f(x) = (3x² - 4x + 2) / (x - 1)
x→3
f(x) = (3 * 9 - 12 + 2) / (3 - 1)
x→3
f(x) = 17 / 2
x→3
5a)
lim (h² + h) / h
h→0
f(h) = (h² + h) / h h ≠ 0
f(h) = h * (h + 1) / h
f(h) = h + 1
lim f(h) = 0 + 1
h→0
lim f(h) = 1
h→0
b)
lim ((3 + h)² - 9) / h
h→0
f(h) = ((3 + h)² - 9) / h h ≠ 0
f(h) = (h² + 6h + 9 - 9) / h
f(h) = (h² + 6h) / h
f(h) = h * (h + 6) / h
f(h) = h + 6
lim f(h) = 0 + 6
h→0
lim f(h) = 6
h→0
c)
lim ((x0 + h)³ - x0³) / h
h→0
f(h) = ((x0 + h)³ - x0³) / h h ≠
0
Binom: Summe aus zwei Gliedern
Binomische Formel (a + b)³
(a + b)³ = a³ + 3a²b +
3ab² + b³
f(h) = (x0³ + 3x0²h + 3x0h² + h³ - x0³) / h
f(h) = (3x0²h + 3x0h² + h³) / h
f(h) = h * (3x0² + 3xoh + h²) / h
f(h) = 3x0² + 3xoh + h²
lim f(h) = 3x0² + 3 * x0 * 0 + 0²
h→0
lim f(h) = 3x0²
h→0
6a)
lim (h - h²) / h
h→0
f(h) = (h - h²) / h h ≠ 0
f(h) = h * (1 - h) / h
f(h) = 1 - h
lim f(h) = 1 - 0
h→0
lim f(h) = 1
h→0
b)
lim ((3 + h)² - 9) / h
h→1
f(h) = ((3 + h)² - 9) / h h ≠ 0
f(h) = (h² + 6h + 9 - 9) / h
f(h) = (h² + 6h) / h
f(h) = h * (h + 6) / h
f(h) = h + 6
lim f(h) = 1 + 6
h→1
lim f(h) = 7
h→1
c)
lim (a(x0 + h)² - ax0²) / h
h→0
f(h) = (a(x0 + h)² - ax0²) / h
h ≠ 0
f(h) = (a * (x0² + 2x0h + h²) - ax0²) / h
f(h) = (ax0² + a2x0h + ah² - ax0²) / h
f(h) = (a2x0h + ah²) / h
f(h) = h * (a2x0 + ah) / h
f(h) = a2x0 + ah
lim f(h) = a * 2 * x0 + a * 0
h→0
lim f(h) = 2x0a
h→0
Stetigkeit
4 Funktionen an der Stelle 1
1. Funktion
f(x) = x² + 1
f(1) = 2
lim f(x) = 2
x→1
2. Funktion
f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
x ≠ 1
f(1) nicht definiert
f(x) = x + 1 für alle x ≠ 1
lim f(x) = 2
x→1
3. Funktion
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
f(1) = 2,5
lim f(x) existiert nicht
x→1
4. Funktion
(x² - 1) / (x - 1)
für x ≠ 1
f(x) =
3
für x = 1
f(1) = 3
lim f(x) = (x² - 1) / (x - 1)
x→1
lim f(x) = (x + 1) * (x - 1) / (x - 1)
x→1
lim f(x) = (x + 1)
x→1
lim f(x) = 2
x→1
Der Graph von f lässt sich in einer Umgebung der Stelle 1 nur im Falle der
ersten Funktion ohne Absetzen des Stiftes zeichnen.
Stetigkeit Definition
Die Funktion f ist stetig an der Stelle x0
1. f ist an der Stelle x0 definiert
und
2. lim f(x) existiert
Die Funktion muss sogar in einer Umgebung von x0 (ε-Umgebung) definiert
sein.
x→x0
und
3. lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion
f(x) = x² + 1 ist an der Stelle x0 = 1 stetig.
1.Die Funktion f ist an der Stelle x0 = 1 definiert.
f(1) = 2
2. lim f(x) existiert
x→x0
lim f(x) = 2
x→1
3. lim f(x) = f(x0)
x→x0
lim f(x) = f(1)
x→1
Die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) ist an der Stelle x0 = 1 nicht stetig.
lim f(x) existiert
x→1
Die Funktion ist aber an der Stelle x0 nicht definiert.
Die Funktion
1/2x + 1
für x < 1
f(x) =
1/2x + 2
für x ≥ 1
ist an der Stelle x0 = 1 nicht stetig.
Die Funktion ist an der Stelle x0 definiert.
f(1) = 2,5
lim f(x) existiert nicht
x→1
Die Funktion
(x² - 1) / (x - 1)
für x ≠ 1
f(x) =
3
für x = 1
ist an der Stelle x0 = 1 nicht stetig.
Die Funktion ist an der Stelle x0 definiert.
f(1) = 3
lim f(x) = 2
x→1
aber
lim f(x) ≠ f(1)
x→1
Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x0 = 0 stetig.
f(0) = 0
lim f(x) = 0
x→0
lim f(x) = f(0)
x→0
Die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) ist an der Stelle x0 = 1 nicht stetig.
f(1) nicht definiert
Die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) ist an jeder Stelle x0 des offenen Intervalls
(2, 3) stetig.
f ist in I stetig
x0 aus dem offenen Intervall (2, 3)
1.Die Funktion f ist an der Stelle x0 definiert.
f(x0) = 1 / (x0 - 1)
2. lim f(x) existiert
x→x0
lim f(x) = 1 / (x - 1)
x→x0
lim f(x) = 1 / (x0 - 1)
x→x0
3. lim f(x) = f(x0)
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) ist an jeder Stelle x0 des geschlossenen
Intervalls [2, 3] stetig.
f ist in I stetig
x0 aus dem geschlossenen Intervall [2, 3]
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
lim f(an) = f(2)
n→∞
oder
lim f(an) = f(3)
n→∞
oder
Die Folge (an) verläuft ganz im Intervall.
Die Funktion f(x) = 1 / x ist im Intervall [1, 2] und auch im Intervall (0, 2)
stetig.
Die Funktion f(x) = 1 / x ist im Intervall (-1, 1) unstetig. Die Zahl 0
liegt im Intervall und f ist nicht für 0 definiert.
Für x ≠ 0 ist die Funktion f(x) = 1 / x stetig.
f(x0) = 1 / x0
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(x) = 1 / x
f(an) = 1 / an
lim f(an) = 1 / x0
n →∞
lim f(x) = 1 / x0
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion
1, falls x eine
rationale Zahl
f(x) =
2, falls x eine
irrationale
Zahl
ist an jeder Stelle definiert, aber an jeder Stelle x0
unstetig.
(an) ist eine Folge von rationalen Zahlen
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
lim f(an) = 1
n→∞
(an) ist eine Folge von irrationalen Zahlen
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
lim f(an) = 2
n→∞
lim f(x) existiert nicht
x→x0
Die Funktion
1, falls x eine
rationale Zahl
f(x) =
2, falls x eine
irrationale
Zahl
hat an jeder beliebigen Stelle x0 keinen Grenzwert, da für die Folgen (an)
für rationale bzw.
irrationale Zahlen die Funktion f(an) gegen verschiedene Zahlen konvergiert.
Die Funktion ist deshalb an jeder Stelle x0 unstetig.
Aufgaben
1)Prüfen Sie, ob folgende Funktionen an der Stelle x0 = 0 stetig sind!
a) f(x) = x + 1
f(x0) = x0 + 1
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an + 1
lim f(an) = x0 + 1
n→∞
lim f(x) = x0 + 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion f(x) = x + 1 ist an der Stelle x0 = 0 stetig.
b) f(x) = x²
f(x0) = x0²
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an²
lim f(an) = x0²
n→∞
lim f(x) = x0²
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion f(x) = x² ist an der Stelle x0 = 0 stetig.
c) f(x) = x² / x
f(x0) ist nicht definiert
Die Funktion f(x) = x² / x ist an der Stelle x0 = 0 unstetig.
2)Prüfen Sie, ob folgende Funktionen an der Stelle x0 = 2 stetig sind!
a) f(x) = x + 2
f(x0) = x0 + 2
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an + 2
lim f(an) = x0 + 2
n→∞
lim f(x) = x0 + 2
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion f(x) = x + 2 ist an der Stelle x0 = 2 stetig.
b) f(x) = x²
f(x0) = x0²
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an²
lim f(an) = x0²
n→∞
lim f(x) = x0²
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Die Funktion f(x) = x² ist an der Stelle x0 = 2 stetig.
c)
x - 1 für x ≤ 2
f(x) =
x + 1 für x > 2
f(x0) = x0 - 1
f ist an der Stelle x0 definiert
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
lim an = 2 an ≠ 2 für alle n
n→∞
an = 2 - 1/n
n > 0
x ≤ 2
f(an) = an - 1
f(an) = 2 - 1/n - 1
f(an) = 1 - 1/n
lim f(an) = 1
n→∞
an = 2 + 1/n
n > 0
x > 2
f(an) = an + 1
f(an) = 2 + 1/n + 1
f(an) = 3 + 1/n
lim f(an) = 3
n→∞
lim f(x) existiert nicht
x→x0
Die Funktion
x - 1 für x ≤ 2
f(x) =
x + 1 für x > 2
hat an der Stelle x0 = 2 keinen Grenzwert, da für die Folge an = 2 + 1/n
und die Folge an = 2 - 1/n die Funktion f gegen verschiedene Zahlen konvergiert.
Die Funktion ist deshalb an der Stelle x0 = 2 unstetig.
Beweisen Sie, dass folgende Funktionen stetig sind (das heißt, an jeder Stelle
ihres Definitionsbereiches stetig sind)!
3a) f(x) = x
D(f) = R
f(x0) = x0
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an
lim f(an) = x0
n→∞
lim f(x) = x0
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
b) f(x) = 3x + 4
D(f) = R
f(x0) = 3x0 + 4
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = 3an + 4
lim f(an) = 3x0 + 4
n→∞
lim f(x) = 3x0 + 4
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
c) f(x) = 3
D(f) = R
f(x0) = 3
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = 3
lim f(an) = 3
n→∞
lim f(x) = 3
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
d) f(x) = 1 / x²
D(f)
= R \ {0}
f(x0) = 1 / x0² x0 ≠ 0
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = 1 / an²
lim f(an) = 1 / x0²
n→∞
lim f(x) = 1 / x0²
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
4a) f(x) = x²
D(f) = R
f(x0) = x0²
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an²
lim f(an) = x0²
n→∞
lim f(x) = x0²
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
b) f(x) = 2x² - 1
D(f) = R
f(x0) = 2x0² - 1
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = 2an² - 1
lim f(an) = 2x0² - 1
n→∞
lim f(x) = 2x0² - 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
c) f(x) = - 2
D(f) = R
f(x0) = -2
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = -2
lim f(an) = -2
n→∞
lim f(x) = -2
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
d) f(x) = (1 / x) + 1
D(f)
= R \ {0}
f(x0) = (1 / x0) + 1 x0 ≠ 0
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = (1 / an) + 1
lim f(an) = (1 / x0) + 1
n→∞
lim f(x) = (1 / x0) + 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Eigenschaften stetiger Funktionen
Satz über die Annahme der Zwischenwerte
Wenn f eine in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion ist und
f(a) ≠ f(b),
so nimmt f im Intervall [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b) wenigstens
einmal an.
Unterschied zwischen Satz und
Definition
Definition = Festlegung
Satz = logische Erkenntnisse aus einer Festlegung
Mit Hilfe dieser Definition können Nullstellen einer Funktion näherungsweise
berechnet werden.
f(x) = x³ - x - 3
f(0) = -3
f(2) = 3
f ist im Intervall [0, 2] stetig
f hat in diesem Intervall eine
Nullstelle
x0. weil
-3.....................0......................3
Intervall verkleinern
f(1) = -3
f(1,5) = -1,125
f(1,6) = -0,504
f(1,7) = 0,213
Eine Nullstelle x0 von f liegt zwischen 1,6 und 1,7.
weil -0,504......0....0,213
f(x) = 1 / x
D(f) = {x ∈ R | 0 < x <1}
Der Wertebereich von f ist die Menge aller y mit y > 1. Diese Menge enthält
keine
größte und auch keine kleinste Zahl. y = 1 gehört nicht mit zum Wertebereich von
f.
f(x) = x²
D(f) = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2}
Der Wertebereich von f ist die Menge aller y mit 0 ≤ y ≤ 4.
In dieser Menge ist 0 die kleinste und 4 die größte Zahl.
y = 0 und y = 4 gehören mit zum Wertebereich von f.
Maximum von f im Intervall I
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≤ f(x0)
Minimum von f im Intervall I
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≥ f(x0)
Satz vom Maximum und Minimum
Wenn f eine in einem abgeschlossenen Intervall [a, b] stetige Funktion ist,
so hat f in [a, b] ein Maximum und ein Minimum.
Aufgaben
Beweisen Sie, dass folgende Funktionen f im angegebenen
abgeschlossenen Intervall I eine
Nullstelle haben!
1a) f(x) = x² - 3; I = [0, 2]
1.Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
f(x) = x² - 3
D(f) = R
f(x0) = x0² - 3
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an² - 3
lim f(an) = x0² - 3
n→∞
lim f(x) = x0² - 3
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
f(0) = 0² - 3
f(0) = -3
f(2) = 2² - 3
f(2) = 4 - 3
f(2) = 1
Nullstelle bedeutet f(x) = 0
f(0) < f(x) < f(2)
-3 < 0 < 2
2.
entsprechend dem Satz über
die Annahme der Zwischenwerte:
Da f im Intervall [0, 2] stetig ist und f(0) = -3 bzw. f(2) = 1 hat f in diesem Intervall
wenigstens eine Nullstelle.
1b) f(x) = x7 - 12; I = [1, 2]
1.Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
f(x) = x7 - 12
D(f) = R
f(x0) = x07 - 12
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an7 - 12
lim f(an) = x07 - 12
n→∞
lim f(x) = x07 - 12
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
f(1) = 17 - 12
f(1) = -11
f(2) = 27 - 12
f(2) = 128 - 12
f(2) = 116
Nullstelle bedeutet f(x) = 0
f(1) < f(x) < f(2)
-11 < 0 < 116
2.
entsprechend dem Satz über
die Annahme der Zwischenwerte:
Da f im Intervall [1, 2] stetig ist und f(1) = -11 bzw. f(2) = 116 hat f in diesem Intervall
wenigstens eine Nullstelle.
2a) f(x) = x³ + 2x - 8; I = [1, 2]
1.Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
f(x) = x³ + 2x - 8
D(f) = R
f(x0) = x0³ + 2x0 - 8
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = an³ + 2an - 8
lim f(an) = x0³ + 2x0 - 8
n→∞
lim f(x) = x0³ + 2x0 - 8
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
f(1) = 1 + 2 - 8
f(1) = -5
f(2) = 8 + 4 - 8
f(2) = 4
Nullstelle bedeutet f(x) = 0
f(1) < f(x) < f(2)
-5 < 0 < 4
2.
entsprechend dem Satz über
die Annahme der Zwischenwerte:
Da f im Intervall [1, 2] stetig ist und f(1) = -5 bzw. f(2) = 4 hat f in diesem Intervall
wenigstens eine Nullstelle.
2b) f(x) = (1 / x²) - 3; I = [1/2, 1]
1.Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
f(x) = (1 / x²) - 3
D(f) = R \ {0}
f(x0) = (1 / x0²) - 3
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = (1 / an²) - 3
lim f(an) = (1 / x0²) - 3
n→∞
lim f(x) = (1 / x0²) - 3
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
f(1/2) = 1
f(1) = -2
Nullstelle bedeutet f(x) = 0
f(1/2) > f(x) > f(1)
1 > 0 > -2
2.
entsprechend dem Satz über
die Annahme der Zwischenwerte:
Da f im Intervall [1/2, 1] stetig ist und f(1/2) = 1 bzw. f(1) = -2 hat f in diesem Intervall
wenigstens eine Nullstelle.
Bestimmen Sie eine Nullstelle der angegebenen Funktion näherungsweise auf eine
Stelle nach dem Komma!
3) f(x) = x³ + x - 6
f(x) = 0
f(1,6) = -0,304
f(1,7) = 0,613
1,6 < x < 1,7
x= 1,634365293
Nullstellenberechnung mit dem Taschenrechner CASIO fx-991ES
ALPHA x ³ + ALPHA
x - 6 ALPHA CALC =
0 SHIFT , ALPHA
x SHIFT SOLVE
Solve for x 1,634365293
4) f(x) = x³ + 2x - 8
f(x) = 0
f(1,6) = -0,704
f(1,7) = 0,313
1,6 < x < 1,7
f(x) = 1,670244697
ALPHA x ³ + ALPHA
2x - 8 ALPHA CALC =
0 SHIFT , ALPHA
x SHIFT SOLVE
Solve for x 1,670244697
Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen im angegebenen Intervall ein Maximum und
ein Minimum haben,
und bestimmen Sie diese gegebenenfalls!
5a) f(x) = 5 - x; [5, 7]
Die Funktion f(x) = 5 - x fällt im Intervall [5, 7] monoton und ist stetig.
Ihr Maximum 0 nimmt sie deshalb an der Stelle 5 und ihr Minimum -2 an der Stelle
7 an.
b) f(x) = 2x - 1/2; (-1, √2)
offenes Intervall
Es gibt in dem offenen Intervall (-1, √2) keine x0 mit den Eigenschaften:
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≤ f(x0).
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≥ f(x0).
Deshalb gibt es kein Maximum und kein Minimum. Die
Definition (Maximum / Minimum)
verlangt ein abgeschlossenes Intervall.
6a) f(x) = x² - 4x + 1; [0, 5]
abgeschlossenes Intervall
D(f) = R
Die Funktion ist für alle x0 in ihrem Definitionsbereich
stetig.
Die Funktion ist monoton wachsend.
Minimum im angegebenen Intervall an der Stelle x = 0
f(0) = 1
Maximum im angegebenen Intervall an der Stelle x = 5
f(5) = 6
6b) f(x) = 1 / x; [0, 4]
D(f) = R \ {0}
Die Funktion hat in dem vorgegebenen Intervall kein Maximum und ein Minimum.
7*) Beweisen Sie mit Hilfe des
Satzes über die Annahme der
Zwischenwerte folgende Aussage!
Wenn f im Intervall [a, b] stetig ist und f(a) < 0 und f(b) > 0, so hat f im
Intervall [a, b] eine Nullstelle.
Als Beweis gilt die Herleitung der Richtigkeit einer Aussage aus eindeutig
erkennbar wahren oder bereits bewiesenen Aussagen.
Behauptung: Die Funktion f besitzt im Intervall [a, b] eine Nullstelle x0.
f ist stetig
f(a) < 0
f(b) > 0
Nullstelle bedeutet:
f(x0) = 0
f(a) < 0 < f(b)
f(a) < f(x0) < f(b)
x0 ∈ [a, b]
Umkehr des Satzes über die Annahme der Zwischenwerte
Laut Definition nimmt f im Intervall [a, b] jeden Wert zwischen f(a) und f(b)
wenigstens einmal an.
Übungen und Anwendungen
1) Untersuchen Sie nachstehende Folgen (an) auf Monotonie und Beschränktheit!
Bestimmen Sie, falls die Folgen konvergent sind, jeweils den Grenzwert!
a) an = (-1)n * 1 / n²
(-1)n bedeutet
Vorzeichenwechsel
n 1
2 3
4 5
an -1 1/4
-1/9 1/16 -1/25
Die Folge ist aufgrund des Vorzeichenwechsels nicht monoton.
Die Folge ist beschränkt.
eine von vielen oberen Schranken = 1/4
eine von vielen unteren Schranken = -1
Grenzwert g = 0
|an -g| < ε
|an - 0| < ε
|an| < ε
1 / n² < ε // Aufgrund des Betrages wird (-1)n
vernachlässigt.
So klein ε auch gewählt wird, stets ist 1 / n² kleiner (n→∞).
Deshalb ist 0 Grenzwert der Folge (an).
b) an = (n² + 1) / (n² + n)
n 1
2 3
4 5
6
an 1
5/6 10/12 17/20
26/30 37/42
an 1
0,833 0,833 0,850
0,866 0,880
Die Folge ist nicht monoton. Für alle n mit n ≥ 3 wächst die Folge streng
monoton.
Die Folge ist beschränkt
lim an = 1
n→∞
|an - g| < ε
|an - 1| < ε
|((n² + 1) / (n² + n)) - 1| < ε
|((n² + 1) - (n² + n)) / (n² + n)| < ε
|(1 - n) / (n² + n)| < ε
entspricht ohne Betragszeichen
(n - 1) / (n² + n) < ε
c) an = (n² + 1) / n²
entspricht an = 1 + 1 / n²
n 1
2 3
4 5
an 2 5/4
10/9 17/16 26/25
an 2 1,25 1,11
1,06 1,04
Die Folge fällt monoton.
Die Folge ist beschränkt.
lim an = 1
n→∞
|an - g| < ε
|an - 1| < ε
|((n² + 1) / n²) - 1| < ε
|((n² + 1) - n²) / n²| < ε
|1 / n²| < ε
1 / n² < ε
d) an = n! / n²
n 1
2 3
4 5
an 1 1/4
6/9 24/16 120/25
an 1 0,25
0,66 1,5 4,8
Die Folge ist nicht monoton. Für alle n mit n ≥ 2 wächst die Folge streng
monoton.
Die Folge ist nach unten beschränkt.
Die Folge ist divergent.
Dienst Ahrensburg 30.05. 2009
e) an = 3n
n 1
2 3
4 5
an 3 9
27 81 243
Die Folge ist streng monoton wachsend.
Die Folge ist nach unten beschränkt und divergent.
f) an = 1 / 3n
n 1
2 3
4 5
an 1/3 1/9
1/27 1/81 1/243
Die Folge ist streng monoton fallend.
Die Folge ist nach oben und unten beschränkt.
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 0.
g) an = (2n² + 5) / (3n³ - 10)
n 1
2 3
4 5
an - 7/7 13/14 23/71
37/182 55/365
an -1 0,92
0,32 0,20
0,15
Die Folge ist nicht monoton. Für alle n mit n ≥ 2 fällt die Folge streng
monoton.
Die Folge ist nach oben und unten beschränkt.
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 0.
h) an = (-1)n * (n + 1) / n²
n 1
2 3
4 5
an -2 3/4
-4/9 5/16 -6/25
Die Folge ist nicht monoton.
Die Folge ist nach oben und unten beschränkt.
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 0.
i) an = 2 - 5 / n²
n 1
2 3
4 5
100
an -3 0,75 1,44
1,68 1,8 1,9995
Die Folge ist streng monoton wachsend.
Die Folge ist nach oben und unten beschränkt.
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 2.
k) an = 2 + 5 / n²
n 1
2 3
4 5
100
an 7 3,25
2,55 2,31 2,2 2,0005
Die Folge ist streng monoton fallend.
Die Folge ist nach oben und unten beschränkt.
Sie ist konvergent und hat den Grenzwert 2.
Grenzwert einer Folge Beispiel
2) Zeigen Sie unter Verwendung der Grenzwertdefinition, dass die Folgen
Nullfolgen sind!
a) an = 1 / √n
Behauptung:
lim an = 0
n→∞
|an - g| < ε
|an - 0| < ε
|1 / √n| < ε
1 / √n < ε
n > 1 / ε²
Wie man auch eine positive Zahl ε wählt, stets gilt dann für fast alle n: n >
1 / ε².
Ergebnis:
Die Folge an = 1 / √n hat die Zahl 0 als Grenzwert.
3
b) an = 1 / √n
Behauptung:
lim an = 0
n→∞
|an - g| < ε
|an - 0| < ε
3
|1 / √n| < ε
3
1 / √n < ε
n > 1 / ε³
Wie man auch eine positive Zahl ε wählt, stets gilt dann für fast alle n: n >
1 / ε³.
Ergebnis:
3
Die Folge an = 1 / √n hat die Zahl 0 als Grenzwert.
3) Begründen Sie, dass die Folgen unbeschränkt wachsen!
a) an = √n
Behauptung:
√n < √n + 1
Begründung:
√n < √n + 1 /²
n < n + 1
3
b) an = √n²
3
3
√n² < √(n + 1)² /³
n² < (n + 1)²
n² < n² + 2n + 1 / -n²
0 < 2n + 1
4) Beweisen Sie die folgenden Aussagen!
a) Ist (an) eine Nullfolge, die nur positive Glieder hat, so ist (1 / an) eine
Folge, die unbeschränkt wächst.
lim an = 0
n→∞
an = 1 / n
1 / an = n
an = n
Die Folge an = n wächst unbeschränkt.
Es gibt nur endlich viele n mit n
< s.
b) Ist (an) eine unbeschränkt wachsende Folge, so ist (1 / an) eine Nullfolge.
an = n
1 / an = 1 / n
an = 1 / n
|an - 0| < ε
1 / n < ε
n > 1 / ε
5a) Formulieren Sie einen entsprechenden Satz wie in Aufgabe 4a) für Nullfolgen,
die nur negative Glieder haben,
und beweisen Sie diesen Satz!
Ist (an) eine Nullfolge, die nur negative Glieder hat, so ist (1 / an) eine
Folge, die unbeschränkt fällt.
lim an = 0
n→∞
an = -1 / n
1 / an = -n
an = -(n)
b) Formulieren Sie einen entsprechenden Satz wie in Aufgabe 4b) für unbeschränkt
fallende Folgen,
und beweisen Sie diesen Satz!
Ist (an) eine unbeschränkt fallende Folge, so ist (1 / an) eine Nullfolge.
an = -(n)
1 / an = -1 / n
an = -(1 / n)
|an - 0| < ε
1 / n < ε
// Betrag von an immer positiv, deshalb wird aus -(1/n) 1/n
n > 1 / ε
6) Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz, und bestimmen Sie gegebenenfalls
den Grenzwert!
a) an = (-1)n * 1 / n
n 1
2 3
4 5
an -1 1/2
-1/3 1/4 -1/5
Die Folge ist konvergent.
lim an = 0
n→∞
b) an = 1 / 2n
Die Folge ist konvergent.
lim an = 0
n→∞
c) an = (-1)n * 1 / 2n
n 1
2 3
4 5
an -1/2 1/4 -1/8
1/16 -1/32
Die Folge ist konvergent.
lim an = 0
n→∞
d) an = 1 / n!
Die Folge ist konvergent.
lim an = 0
n→∞
e) an = (-1)n
n 1
2 3
4 5
an -1 1
-1 1
-1
Die Folge ist divergent.
weiteres Beispiel für divergent
f) an = (n + 1) / (n² + 1)
n 1
2 3
4 5
an 1 3/5
4/10 5/17 6/26
Die Folge ist konvergent.
lim an = 0
n→∞
g) an = (n² + 1) / (n + 1)
n 1
2 3
4 5
an 1 5/3
10/4 17/5 26/6
Die Folge wächst unbeschränkt. Sie ist divergent.
h) an = (n² - 1) / (n - 1)
n ≠ 1
an = n + 1
n 2
3 4
5 6
an 3/1 8/2 15/3
24/4 35/5
an 3 4
5 6
7
Die Folge wächst unbeschränkt. Sie ist divergent.
Grenzwert berechnen
i) an = (5n² - 7n + 8) / (5 - 7n
+ 8n²)
n 1
2 3
4 5
an 6/6 14/7 32/56 60/105 98/170
Die Folge ist konvergent.
(n² * (5 - 7/n + 8/n²)) / (n² * (5/n² - 7/n + 8))
(5 - 7/n + 8/n²) / (5/n² - 7/n + 8)
(5 - 0 + 0) / (0 - 0 + 8)
lim an = 5 / 8
n→∞
7) Berechnen Sie!
a)
lim (1² + 2² + 3² + ... + n²) / 6n³
n→∞
Summenformel der
Quadratzahlen
lim (2n³ + 3n² + n) / 6 * 6n³
n→∞
lim (2n³ + 3n² + n) / 36n³
n→∞
n³ * (2 + 3/n + 1/n²) / (n³ * 36)
(2 + 3/n + 1/n²) / 36
(2 + 0 + 0) / 36
lim an = 2 / 36
n→∞
b)
lim (n + 1)! / (n! - (n + 1)!)
n→∞
(n! * (n + 1)) / (n! - (n! * (n + 1)))
(n! * (n + 1)) / n! * (1 - 1 * (n + 1))
(n! * (n + 1)) / n! * (1 - n - 1)
(n + 1) / -n
n * (1 + 1/n) / (n * -1)
(1 + 1/n) / -1
lim an = -1
n→∞
8) Untersuchen Sie die Folgen auf Monotonie, Beschränktheit, Existenz von
Grenzen und Konvergenz!
a) an = sin (n * π / 2)
Bogenmaß eines Winkels
Einheit: rad
Vollwinkel: 2π
Umrechnung in Gradmaß: 2π = 360°
π / 2 = 90°
n 1
2 3
4 5
6 7
8
an 1 0
-1 0
1 0 -1 0
Monotonie: nicht monoton
Beschränktheit: nach oben und unten beschränkt
obere Grenze: 1
untere Grenze: -1
Konvergenz: divergent
b) an = 1/n * sin (n * π / 2)
n 1
2 3
4 5
6 7
8
an 1 0
-1/3 0 1/5
0 -1/7 0
Monotonie: nicht monoton
Beschränktheit: nach oben und unten beschränkt
obere Grenze: 1
untere Grenze: -1/3
Konvergenz: konvergent
Grenzwert: 0
9) Bilden Sie zu der Folge an = (-1)n
die Folge der Partialsummen, und untersuchen Sie diese auf Konvergenz!
an = (-1)n Vorzeichenwechsel
n 1
2 3
4 5
6 7
8
an -1 1
-1 1
-1 1 -1
1
sn -1 0
-1 0
-1 0 -1
0
sn = sin ((n + 2) * π / 2) * sin (n * π / 2)
Probe:
s6 = sin (8 * 90°) * sin ( 6 * 90°)
s6 = sin (720) * sin (540)
s6 = 0
s7 = sin (9 * 90°) * sin (7 * 90°)
s7 = sin (810) * sin (630)
s7 = -1
Die Folge (sn) ist divergent.
10) Untersuchen Sie die zu diesen Folgen gehörenden Partialsummenfolgen
bezüglich Konvergenz!
a) an = (1/2)n
n 0
1 2
3 4
an 1 1/2
1/4 1/8 1/16
sn 1 1,5
1,75 1,875 1,9375
a0 = 1
q = 1/2
sn = (1/2n+1 - 1) / (1/2 - 1)
sn = (1/2n+1 - 1) / (-1/2)
Die Folge (sn) ist konvergent.
lim sn = (0 - 1) / -1/2
n→∞
lim sn = 2
n→∞
b) an = 2n
n 0
1 2
3 4
5
an 1 2
4 8
16 32
sn 1 3 7 15 31
63
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
a0 = 1
q = 2
sn = (2n+1 - 1) / (2 - 1)
Die Folge (sn) ist divergent.
11) Gegeben sei die geometrische Folge an = qn.
a) Berechnen Sie die Glieder a0, a1, a2, a3, a4, a5 für den Fall q = 0,9 und für
den Fall q = 1,1!
an = 0,9n
n 0
1 2
3 4
5
10
an 1 0,9
0,81 0,729 0,6561 0,59049
0,348678
an = 1,1n
n 0
1 2
3 4
5
10
an 1 1,1
1,21 1,331 1,4641 1,61051
2,59374246
b) Berechnen Sie a10 für die unter a) angegebenen Werte von q!
c) Für welche n liegen die Glieder der Folge an = 0,9n
außerhalb der ε-Umgebung von 0,
wenn ε = 10-3 ist?
Hinweis: Rechnen Sie
logarithmisch!
ε =
10-3 = 0,001
0,9n = 0,001
n * lg 0,9 = lg 0,001
n = lg 0,001 / lg 0,9
n = -3 / -0,045757
n = 65,5630
n ≤ 65
d) Für |q| < 1 ist an = qn eine
Nullfolge.
Untersuchen Sie die zu der geometrischen Folge an = qn
gehörende Partialsummenfolge (sn)
für den Fall, dass |q| < 1 ist, auf Konvergenz!
|q| < 1
an = qn
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
q = 0,9
a0 = 1
an = 0,9n
sn = (qn+1 - 1) / (q - 1)
n 0 1 2 3 4
5 10
an 1 0,9 0,81 0,729 0,6561 0,59049 0,348678
sn 1 1,9 2,71 3,439 4,0951 4,68559
6,861
sn = (qn * q - 1) / (q - 1)
lim sn = (0 * q - 1) / (q - 1) //Für
|q| < 1 ist an = qn
eine Nullfolge.
n→∞
lim sn = -1 / (q - 1)
n→∞
lim 0,9n = 10
n→∞
|sn - g| < ε
|[(qn+1 - 1) / (q - 1)] - [-1 / (q -
1)]| < ε
|(qn+1 - 1 + 1) / (q - 1)| < ε
|(qn+1) / (q - 1)| < ε
Die Folge (sn) ist für |q| < 1 konvergent.
lim sn = -1 / (q - 1)
n→∞
Summenformel für
geometrische Folge Beispiel
12) Einem Quadrat mit der Seitenlänge a1 sei ein zweites einbeschrieben, dessen
Eckpunkte
auf den Mitten der Seiten des ersten Quadrates liegen. In der gleichen Weise sei
dem
zweiten Quadrat ein drittes, dem dritten ein viertes usf. einbeschrieben.
a) Die Längen a1, a2, a3, ..., an, ... der so bestimmten Quadrate bilden eine
unendliche
Folge (an). Geben Sie die Glieder a1, a2, a3 und an dieser Folge in Abhängigkeit
von a1 an!
a1 = a1 * 1/20
a2 = a1 * 1/21
a3 = a1 * 1/2²
an = a1 * 1/2n-1
b) Berechnen Sie die Summe der Umfänge aller dieser Quadrate!
Umfang Quadrat = 4a
n 1
2 3
4
5
an a1 a1/2
a1/4 a1/8
a1/16
sn a1 1,5a1 1,75a1
1,875a1 1,9375a1
an = a1 * 1/2n-1
sn = a1 * (qn - 1) / (q -1)
q = 1/2
Gesamtumfang:
sn = 4a1 * (qn - 1) / (q -1)
sn = 4a1 * (1/2n - 1)
-0,5
c) Berechnen Sie die Summe der Flächeninhalte aller dieser Quadrate!
Fläche Quadrat = a * a
sn = a1 * a1 * (1/2n - 1)
-0,5
13) Ein Halbkreis habe die Bogenlänge b1 und den Radius r.
Der Radius jedes weiteren Halbkreises ist halb so groß wie der
Radius seines unmittelbaren Vorgängers.
a) Die Längen b1, b2, b3 ..., bn, ... der Halbkreisbögen bilden eine unendliche
Folge (bn).
Geben Sie die Glieder b1, b2, b3 und bn dieser Folge in Abhängigkeit von r an!
Kreisumfang = 2πr
Halbkreisbogen = πr
n 1
2 3
4
5 10
bn πr
πr/2 πr/4
πr/8
πr/16 πr/512
sn πr
1,5πr 1,75πr
1,875πr 1,9375πr
1,9980πr
bn = πr * 1/2n-1
sn = 2πr * (1 - 1/2n)
s5 = 2πr * (1 - 1/32)
s5 = 2πr * 31/32
s5 = 1,9375πr
22. Beweis
einer Summenformel durch Vollständige Induktion
b) Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass für die Summe sn der ersten n
Glieder
der Folge (bn) gilt: sn = 2πr (1 - 1/2n)!
n
Σ πr * 1/2k-1
= 2πr * (1 - 1/2n)
k=1
1.Induktionsanfang
Für n = 1 gilt die Aussage πr * 1/21-1
= 2πr * (1 - 1/21)
πr
= πr
2. Induktionsschritt
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebiges, aber festes n gelte
n
Σ πr * 1/2k-1 =
2πr * (1 - 1/2n)
k=1
Induktionsbehauptung:
dann gilt auch
n+1
Σ πr * 1/2k-1 =
2πr * (1 -
1/2n+1)
k=1
n+1 n
Σ πr * 1/2k-1 =
Σ
πr * 1/2k-1 +
πr * 1/2n
= 2πr * (1 - 1/2n) + πr *
1/2n
k=1 k=1
rechte Seite
2πr * (1 - 1/2n) + πr *
1/2n =
2πr - 2πr1/2n
+ πr1/2n
=
2πr - 1πr1/2n
=
2πr * (1- 1/2 * 1/2n)
=
2πr * (1 -
1/2n+1)
c) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (sn)!
sn = 2πr (1 - 1/2n)
lim sn = 2πr - 2πr
/ 2n
n→∞
lim sn = 2πr - 0
n→∞
lim sn = 2πr
n→∞
14) Man stelle sich einen Turm vor, der aus unendlich vielen
übereinanderstehenden Würfeln aufgebaut ist.
Der unterste Würfel W0 habe die Kantenlänge 1, der unmittelbar daraufstehende
Würfel W1 die Kantenlänge
1/3, der auf diesem stehende Würfel W2 die Kantenlänge 1/9 usf. Die Kantenlänge
jedes Würfels beträgt 1/3
der Kantenlänge des unmittelbar unter ihm befindlichen Würfels.
a) Ermitteln Sie die Kantenlänge des Würfels Wn!
n 0
1 2
3 4
5
Wn 1 1/3
1/9 1/27 1/81
1/243
sn 1 4/3 13/9 40/27 121/81
364/243
Wn = 1/3n
b) Wie hoch ist der Turm bis zum n-ten Würfel einschließlich?
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
a0 = 1
q = 1/3
sn = (qn+1 - 1) / (q - 1)
sn = (1/3n+1 - 1) / (1/3 - 1)
sn = (1/3n+1 - 1) / (-2/3)
s5 = (1/36 - 1) / (-2/3)
s5 = 364/243
s5 = 1,497942
c) Wie hoch ist der Turm insgesamt?
sn = (1/3n+1 - 1) / (-2/3)
sn = (1/3n * 1/3 - 1) / (-2/3)
lim sn = 0 * 1/3 -1/(-2/3)
n→∞
lim sn = -1/(-2/3)
n→∞
lim sn = 3/2
n→∞
d) Ermitteln Sie das Volumen des n-ten Würfels Wn!
V = 1 * 1/33n
e) Wie groß ist das Volumen des gesamten Turms?
an = 1/27n
n 0
1 2
3
4
5
an 1 1/27
1/729 1/19683
1/531441 1/14348907
sn 1 28/27
757/729 1,03845
a0 = 1
q = 1/27
sn = a0 * (qn+1 - 1) / (q - 1)
sn = (1/27n+1 - 1 / (1/27 - 1)
sn = (1/27n * 1/27 - 1) / (1/27 - 1)
sn = (1/27n * 1/27 - 1) / (1/27 - 1)
lim sn = (0 - 1) / (-26/27)
n→∞
lim sn = (-1) / (-26/27)
n→∞
lim sn = 27/26
n→∞
15) Gegeben sei ein regelmäßiges in den Einheitskreis einbeschriebenes Achteck.
Man fälle von einer Ecke P0
das Lot auf den Radius, der zu einer benachbarten Ecke des Achtecks gezogen ist.
Der Fußpunkt sei P1. Von
diesem fälle man wiederum das Lot auf den Radius, der zur nächsten Ecke des
Achtecks führt usf.
Es sei sn = P0P1 +
P1P2 + ... +
Pn-1Pn.
Einheitskreis bedeutet: Länge des Radius =
1
a) Berechnen Sie s1 = P0P1!
sin 45° = P0P1 /
1
s1 = (√2) / 2
b) Berechnen Sie s2 = P0P1 +
P1P2!
n 1 2 3
4 5
an (√2) / 2
1/2
(√2) / 4
1/4 (√2) / 8
sn (√2) / 2
(1 + (√2)) / 2 (2 + 3(√2)) / 4
sn 0,707
1,207
1,560
an = ((√2) / 2)n
s2 = (1 + (√2)) / 2
c) Berechnen Sie sn!
q = a1 = (√2) / 2
sn= a1 * (qn - 1) / (q -1)
sn = ((√2) / 2)n
- 1
1 -
√2
d) Ermitteln Sie den Grenzwert von (sn)!
q = a1 = (√2) / 2
sn= a1 * (qn - 1) / (q -1)
sn= q * (qn - 1) /
q *(1 -1/q)
sn= (qn - 1) / (1 -1/q)
sn= (qn - 1) / (1 -1/q)
sn =
(qn - 1) / (1- √2 )
lim sn =
(qn - 1) / (1- √2 )
n→∞
lim sn = (0 - 1) / (1- √2 )
//Für |q| < 1 ist (qn ) eine Nullfolge.
n→∞
lim sn = 1 + √2
n→∞
16) Gegeben sei die Folge (sn) mit sn = 2n / (n + 1).
a) Berechnen Sie die ersten fünf Glieder der Folge (sn)!
n 1
2 3
4 5
sn 1 4/3
6/4 8/5 10/6
b) Weisen Sie nach, dass die Folge (sn) monoton wächst!
an+1 - an ≥ 0
[2(n + 1) / ((n + 1) + 1)] - 2n / (n + 1) ≥ 0
[(2n + 2) / (n + 2)] - 2n / (n + 1) ≥ 0
[(2n + 2) * (n + 1) - 2n * (n + 2)] / [(n + 1) * (n + 2)] ≥ 0
[2n² + 2n + 2n + 2 - (2n² + 4n)] / [(n + 1) * (n + 2)] ≥ 0
[2n² + 4n + 2 - 2n² - 4n] / [(n + 1) * (n + 2)] ≥ 0
2 / [(n + 1) * (n + 2)] > 0
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (sn)!
sn = 2n / (n + 1)
n * 2
n * (1 + 1/n)
2 / (1 + 1/n)
lim sn = 2 / (1 + 0)
n→∞
lim sn = 2
n→∞
d) Wie viele Glieder der Folge (sn) sind kleiner als 1,99?
2n / (n + 1) = 1,99
2n = 1,99 * (n + 1)
2n = 1,99n + 1,99
0,01n = 1,99
n = 199
198 Glieder der Folge (sn) sind kleiner als 1,99.
e) Nun sei (sn) die Partialsummenfolge einer Folge (an). Berechnen Sie die
ersten fünf Glieder der Folge (an)!
n 1
2 3
4 5
6
an 1 1/3
1/6 1/10 1/15 1/21
sn 1 4/3
6/4 8/5 10/6 12/7
f) Geben Sie eine Zuordnungsvorschrift für die Folge (an) an!
an = 2 / (n² + n)
17) Gegeben sei die Zahlenfolge (an) mit an = (5n + 3) / p.
Wählen Sie p so, dass
a) (an) den Grenzwert 1 hat;
p = 5n
(5n + 3) / 5n =
n * (5 + 3/n) / n * 5 =
(5 + 3/n) / 5
lim an = (5 + 0) / 5
n→∞
lim an = 1
n→∞
b) (an) den Grenzwert 1/2 hat;
p = 10n
an = (5n + 3) / 10n
n * (5 + 3/n) / n * 10
(5 + 3/n) / 10
lim an = (5 + 0) / 10
n→∞
lim an = 1/2
n→∞
c) (an) ist eine Nullfolge;
p = n²
n² * (5/n + 3/n²) / n² * 1
(5/n + 3/n²) / 1
lim an = (0 + 0) / 1
n→∞
lim an = 0
n→∞
d) (an) divergent ist!
p = 1
an = (5n + 3) / 1
18)* Zeigen Sie, dass für jede konvergente Folge (an) gilt:
a)
lim an = a genau dann, wenn
n→∞
lim (an - a) = 0;
n→∞
lim an = x
n→∞
lim a = a
n→∞
x - a = 0
x = a
lim an = a
n→∞
b)
lim an = 0 genau dann, wenn
n→∞
lim |an| = 0!
n→∞
Behauptung:
lim an = 0
n→∞
|an - g| < ε
|an - 0| < ε
|an| < ε
Voraussetzung:
lim |an| = 0
n→∞
|an - g| < ε
||an| - 0| < ε
||an|| < ε
|an| < ε
19) Gegeben sei eine geometrische Folge (an) mit a1 = 32 und a2 = 8.
a) Nennen Sie die ersten 6 Glieder dieser Folge, und veranschaulichen
Sie diese in einem Koordinatensystem!
n 1
2 3
4 5
6
an 32
8 2
1/2 1/8 1/32
b) Bestimmen Sie an!
an = 32 * (1/4)n -1
c) Bilden Sie zu der Folge (an) die Folge (sn) der Partialsummen!
n 1
2 3
4 5
6
an 32
8 2
1/2 1/8
1/32
sn 32 40
42 42,5 42,625
42,65625
sn = a1 * (qn -1) / (q - 1)
q = 1/4
a1 = 32
sn = 32 * ((1/4)n -1) / -0,75
d) Untersuchen Sie beide Folgen auf Monotonie, Beschränktheit, Existenz
von Grenzen und Konvergenz!
an = 32 * (1/4)n-1
Monotonie: monoton fallend
Beschränktheit: nach oben und unten beschränkt
Existenz von Grenzen: 32 ist die obere Grenze, 0 ist die untere Grenze
Konvergenz: konvergent
sn = 32 * ((1/4)n -1) / -0,75
Monotonie: monoton steigend
Beschränktheit: nach oben und unten beschränkt
Existenz von Grenzen: 128/3 ist die obere Grenze, 32 ist die untere Grenze
Konvergenz: konvergent
Beispiel einer Nullfolge
e) Berechnen Sie die Grenzwerte beider Folgen, falls diese existieren!
an = 32 * (1/4)n-1
Für |q| < 1 ist (qn ) eine Nullfolge.
lim an = 32 * 0
n→∞
lim an = 0
n→∞
sn = 32 * ((1/4)n - 1 ) / -0,75
Für |q| < 1 ist (qn) eine Nullfolge.
lim sn = 32 * (0 - 1) / -0,75
n→∞
lim sn = -32 / -0,75
n→∞
lim sn = 128/3
n→∞
20) Berechnen Sie folgende Grenzwerte!
a)
lim (x² - 5x + 2)
x→-1
lim (x² - 5x + 2) = 1 + 5 + 2
x→-1
lim (x² - 5x + 2) = 8
x→-1
b)
lim (x² - 2x + 3) / (x² - 2)
x→3
lim (x² - 2x + 3) / (x² - 2) = (9 - 6 + 3) / (9 - 2)
x→3
lim (x² - 2x + 3) / (x² - 2) = 6/7
x→3
c)
lim (z² - 6z + 17)
z→0
lim (z² - 6z + 17) = 0 - 0 + 17
z→0
lim (z² - 6z + 17) = 17
z→0
d)
lim (2a² - 2a - 6)
a→2
lim (2a² - 2a - 6) = 8 - 4 - 6
a→2
lim (2a² - 2a - 6) = -2
a→2
e)
lim (18h³ - 12h² + 6h) / h
h→0
(18h³ - 12h² + 6h) / h =
h * (18h² - 12h + 6) / h * 1 =
(18h² - 12h + 6) / 1
lim (18h² - 12h + 6) / 1 = (0 - 0 + 6) / 1
h→0
lim (18h² - 12h + 6) / 1 = 6
h→0
f)
lim x² / x
x→0
x² / x = x / 1
lim x / 1 = 0
x→0
g)
lim x / x
x→0
x / x = 1 / 1
lim 1 / 1 = 1
x→0
h)*
lim (x² - 4x + 3) / (x² + x - 2)
x→1
(x² - 4x + 3) / (x² + x - 2) =
[(x - 1) * (x - 3)] / [(x - 1) * (x + 2)] =
(x - 3) / (x + 2)
lim (x - 3) / (x + 2) = (1 - 3) / (1 + 2)
x→1
lim (x - 3) / (x + 2) = -2/3
x→1
i)*
lim (x² - x - 6) / (x² + 7x + 10)
x→-2
(x² - x - 6) / (x² + 7x + 10) =
[(x + 2) * (x - 3)] / [(x + 2) * (x + 5)] =
(x - 3) / (x + 5)
lim (x - 3) / (x + 5) = (-2 - 3) / (-2 + 5)
x→-2
lim (x - 3) / (x + 5) = -5/3
x→-2
Grenzwertsätze für
Funktionen, Herleitung aus den
Grenzwertsätzen für Zahlenfolgen
21)* Sind u und v Funktionen mit
lim u(x) = g1 und
x→x0
lim v(x) = g2 so gilt
x→x0
lim (u(x) + v(x))
x→x0
=
lim u(x) + lim v(x)
x→x0 x→x0
=
g1 + g2
Beweisen Sie diesen Satz!
Hinweis: Wählen Sie eine beliebige Folge (xn) mit
lim xn = x0 und xn ≠ x0 für alle n und xn ∈ U für alle n
n→∞
(wobei U eine geeignete Umgebung von x0 ist), und zeigen
Sie, dass die Folge (u(xn) + v(xn)) gegen g1 + g2 konvergiert!
xn = x0 - 1/n
lim xn = x0
n→∞
lim (u(xn)) = g1
n→∞
lim (v(xn)) = g2
n→∞
Behauptung:
Die Folge (u(xn) + v(xn)) konvergiert gegen g1 + g2.
Bei jedem positiven ε gilt für fast alle n:
g1 + g2 - ε < (u(xn) + v(xn)) < g1 + g2 + ε.
g1 - ε / 2 < (u(xn)) < g1 + ε / 2
"ε / 2 ist wie ε eine beliebig positive reelle Zahl"
gilt für fast alle n
g2 - ε / 2 < (v(xn)) < g2 + ε / 2
"ε / 2 ist wie ε eine beliebig positive reelle Zahl"
gilt für fast alle n
g1 - ε / 2 < (u(xn)) < g1 + ε / 2
+
g2 - ε / 2 < (v(xn)) < g2 + ε / 2
=
g1 + g2 - ε < (u(xn) + v(xn)) < g1 + g2 + ε
"entspricht der Behauptung"
22) Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind!
a) Es sei
lim an = g.
n→∞
Wenn (an) nur positive Glieder hat, so ist g nicht negativ.
Begründen Sie die Behauptung indirekt, indem Sie annehmen, dass g negativ sei!
Wenn g negativ und an nur positiv dann gilt folgender Satz nicht:
Wie man auch eine ε-Umgebung von g wählt, stets gilt:
Für fast alle n liegt an in der ε-Umgebung von g.
b) Es sei
lim an = g
n→∞
Wenn (an) nur nur negative Glieder hat, so ist g nicht positiv.
Wenn g positiv und an nur negativ dann gilt folgender Satz nicht:
Wie man auch eine ε-Umgebung von g wählt, stets gilt:
Für fast alle n liegt an in der ε-Umgebung von g.
c) Es sei
lim an = g
n→∞
Wenn g > 0 ist, so gilt für fast alle n, dass an > 0 ist.
Wie man auch eine ε-Umgebung von g wählt, stets gilt:
Für fast alle n liegt an in der ε-Umgebung von g.
ε-Umgebung von g > 0
an > 0
d) Es sei
lim an = g
n→∞
Wenn g < 0 ist, so gilt für fast alle n, dass an < 0 ist.
Wie man auch eine ε-Umgebung von g wählt, stets gilt:
Für fast alle n liegt an in der ε-Umgebung von g.
ε-Umgebung von g < 0
an < 0
23) Geben Sie ein Intervall an, in dem die Funktion f eine Nullstelle hat.
a) f(x) = x² - 3x + 1
f(x) = 0
I = [2, 3]
1. Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
D(f) = R
f(x0) = x0² - 3x0 + 1
lim an = x0 an ≠ x0
für alle n
n→∞
f(an) = an² - 3an + 1
lim f(an) = x0² - 3x0 + 1
n→∞
lim f(x) = x0² - 3x0 + 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Diese Funktion ist im gesamten Bereich der reellen Zahlen stetig.
Da f im Intervall [2, 3] stetig ist und f(2) = -1 bzw. f(3) = 1 hat f in diesem
Intervall wenigstens eine Nullstelle.
b) f(x) = (1 / x³) - 2
f(x) = 0
I = [0,5, 0,51/4 ]
1. Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
D(f) = R \ {0}
f(x0) = (1 / x0³) - 2
lim an = x0 an ≠ x0 für alle n
n→∞
f(an) = (1 / an³) - 2
lim f(an) = (1 / x0³) - 2
n→∞
lim f(x) = (1 / x0³) - 2
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Da f im Intervall [0,5, 0,51/4] stetig ist und f(0,5) = 6 bzw. f(0,51/4)
= -0,31820 hat f in diesem Intervall wenigstens eine Nullstelle.
c) f(x) = x4 + 3x² - 8x + 1
f(x) = 0
I = [-1, 1]
1. Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
D(f) = R
f(x0) = x04 + 3x0² - 8x0 + 1
lim an = x0 an ≠ x0
für alle n
n→∞
f(an) = an4 + 3an² - 8an + 1
lim f(an) = x04 + 3x0² - 8x0 + 1
n→∞
lim f(x) = x04 + 3x0² - 8x0 + 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Da f im Intervall [-1, 1] stetig ist und f(-1) = 13 bzw. f(1) = -3 hat f in
diesem Intervall wenigstens eine Nullstelle.
d) f(x) = (1 / (x³ - 1)) + 1
f(x) = 0
I = [0, 1/2]
1. Nachweis der Stetigkeit für alle x0 im Definitionsbereich
D(f) = R \ {1}
f(x) = (1 / (x³ - 1)) + 1
f(x0) = (1 / (x0³ - 1)) + 1
lim an = x0 an ≠ x0
für alle n
n→∞
f(an) = (1 / (an³ - 1)) + 1
lim f(an) = (1 / (x0³ - 1)) + 1
n→∞
lim f(x) = (1 / (x0³ - 1)) + 1
x→x0
lim f(x) = f(x0)
x→x0
Da f im Intervall [0, 1/2] stetig ist und f(0) = 0 bzw. f(1/2) = -1/7 hat f
in diesem Intervall wenigstens eine Nullstelle.
24) Untersuchen Sie, ob folgende Funktionen in dem angegebenen Intervall ein
Maximum
und ein Minimum haben! Bestimmen Sie diese gegebenenfalls!
a) f(x) = x² - 6x + 2 [-1, 4]
f(-1) = 1 + 6 + 2
f(-1) = 9
f(4) = 16 - 24 + 2
f(4) = -6
Die Funktion f(x) = x² - 6x + 2 fällt im Intervall [-1, 4] monoton und ist
stetig.
Ihr Maximum 9 nimmt sie deshalb an der Stelle -1 und ihr Minimum -6 an der
Stelle 4 an.
b) f(x) = -x² + 4 [-2, 3]
f(-2) = -4 + 4
f(-2) = 0
f(3) = -9 + 4
f(3) = -5
Die Funktion f(x) = -x² + 4 fällt im Intervall [-2, 3] monoton und ist stetig.
Ihr Maximum 0 nimmt sie deshalb an der Stelle -2 und ihr Minimum -5 an der
Stelle 3 an.
c) f(x) = x² + 2x + 1 [-2, 3]
f(-2) = 4 - 4 + 1
f(-2) = 1
f(3) = 9 + 6 + 1
f(3) = 16
Die Funktion f(x) = x² + 2x + 1 wächst im Intervall [-2, 3] monoton und ist
stetig.
Ihr Maximum 16 nimmt sie deshalb an der Stelle 3 und ihr Minimum 1 an der Stelle
-2 an.
d) f(x) = 1 / (x² + 1) [-1, 1]
f(-1) = 1/2
f(1) = 1/2
Maximum von f im Intervall I
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≤ f(x0)
Minimum von f im Intervall I
Für alle x im Intervall I gilt: f(x) ≥ f(x0)
Für die Funktion f(x) = 1 / (x² + 1) im Intervall [-1, 1] ist 1/2 das Maximum
und
Minimum zugleich entsprechend der Definition.
Inhalt:
A Zahlenfolgen, vollständige Induktion, Kombinatorik
B Grenzwerte von Zahlenfolgen und Funktionen
C Differentialrechnung
D Integralrechnung
abgeschlossenes Intervall
Arithmetische Folgen
Berechung DIN A Standard
Beweis Definition
Beweis eines Grenzwertsatzes für Zahlenfolgen
Beweis
durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3 4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Beweis einer Summenformel durch Vollständige Induktion
Beispiele
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Binom
Binomialkoeffizient
Binomialkoeffizient (a + b)n
Binomische Formel (a +
b)³
Bogenmaß eines Winkels
Catalan-Zahl
Definitionsbereich einer Funktion
divergent
echte Teilmenge
Epsilonumgebung einer Zahl
explizite
Zuordnungsvorschrift
Faktorisierung
Fakultät
Folge der Dreieckszahlen
Geometrische Folgen
Grenzwert berechnen
Grenzwert einer Folge
Grenzwert einer Folge Beispiel
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
Grenzwert einer Funktion an einer Stelle Beispiel
Grenzwerte von Funktionen
Grenzwertsätze für Funktionen
Grenzwertsätze für
Funktionen Herleitung
Grenzwertsätze für Zahlenfolgen
halboffenes Intervall
Halbwertzeit berechnen
Induktion Vollständige Induktion einfache Erklärung
Intervalle
Koeffizient
Kombination
Kombination mit Wiederholung
Kombination ohne Wiederholung
konstante Folgen
konvergent
konvexes ebenes Vieleck Definition
Kreditberechnung
Laufindizes δ
Limes
Limes einer konstanten Folge
Logarithmus
Logarithmengesetze
Maximum von f im Intervall I
Minimum von f im Intervall I
Monotonie von Folgen
Monotonie von Funktionen
Monotoniegesetz
der Addition
Nullfolge
Nullfolge Beispiel
obere Grenze einer Zahlenfolge
offenes
Intervall
Partialsummen
Partialsummenfolge
Permutationen
Potenzgesetz
Reihe
rekursive
Zuordnungsvorschrift
Rentenrechnung nachschüssig
Rentenrechnung vorschüssig
Satz über die Annahme der
Zwischenwerte
Satz und Definition
Unterschied
Satz vom Maximum und Minimum
Satz von der oberen Grenze
Schranken von Zahlenfolgen
stetig
Stetigkeit Definition
Σ Summenzeichen
Sigma
strenge Monotonie
Summenformel der Fünferpotenzen
Summenformel der Quadratzahlen
Summenformeln für arithmetische Folgen
Summenformeln für geometrische Folgen
Summenformel für
geometrische Folge Beispiel
Taschenrechner Nullstellenberechnung
Teilmengen
Triangulierung
unechte Teilmenge
unstetig
untere Grenze einer Zahlenfolge
Unterhaltungsmathematik
Variation
Variation mit Wiederholung
Vorzeichenwechsel
Vorzugszahlenreihen R5 R10 R20 R40
Zahlenbereiche
Zahlenfolgen
Zeichen für entspricht
Zeichen für kleiner gleich und größer gleich in HTML
Zinseszinsrechnung
Kontrolle der Zinsen- und Rentenberechnung
Kombinatorik Berechnung Permutation
Startseite php5 mysql
ε √ ≤
≥ ≙ π
Σ ∈ ≠ ² ³
± n→∞
x→x0 n \ D(f) =
R \ {0} D(f) = {x ∈ R | 0 < x
< 1}
